人教版九年级数学上册专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(原卷版+解析)，共61页。试卷主要包含了平行四边形存在性问题，菱形存在性问题，矩形存在性问题，正方形存在性问题等内容，欢迎下载使用。

例．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，，，设的面积为．
①求关于的函数表达式；
②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为，与轴的交点为，在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点．

(1)求点C的坐标；
(2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标；
(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，抛物线经过，两点．

(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得值最小，求最小值；
(3)点为轴上一动点，在拋物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】综合与实践
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．

(1)求抛物线的解析式：
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是直线上方拋物线上一动点，连接，和，交于点M，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点（点在点左侧），与轴交于点．

(1)求的面积；
(2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的一点，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来．
类型三、矩形存在性问题
例．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值及此时点的坐标；
(3)已知是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的对称轴方程；
(2)若点满足，求点的坐标；
(3)设是抛物线的对称轴上一点，是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积．
【变式训练1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点D．交于点E．过点P作的平行线，交y轴于点M．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)在点P的运动过程中，求使四边形为菱形时，m的值；
(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
课后训练
1．如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点、为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上的动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线上的动点，当点在第四象限时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)已知点为轴上一动点，点为平面内任意一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点．

(1)求出抛物线与直线的解析式；
(2)已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，求的最大面积；
(3)若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标．
4．在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，和．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；
(3)若点P为抛物线（））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法
类型一、平行四边形存在性问题
例．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，，，设的面积为．
①求关于的函数表达式；
②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为，与轴的交点为，在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②点到直线的距离的最大值为，此时点的坐标为
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①在图1中，过点作轴，交于点，求得直线的解析式为．点的坐标为，则点的坐标为，根据三角形的面积公式得出；
②根据二次函数的性质得出当时，取最大值，最大值为．勾股定理求得，等面积法求得点到直线的距离，进而得出的坐标；
（3）如图2，连接，交抛物线对称轴于点，因为抛物线与轴交于，两点，所以抛物线的对称轴为直线，由平行四边形的性质及平移规律可求出点的坐标；当时，不存在．
【详解】（1）(1)将，代入，
得解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）①在图1中，过点作轴，交于点．

设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴
②
∵，
∴当时，取最大值，最大值为．
∵、，
∴线段，
∴点到直线的距离的最大值为，
当时，，则此时点的坐标为
（3）如图，连接，交抛物线对称轴于点，

抛物线与轴交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
在中，当时，，
，
，
，
，
点的坐标为；
当时，不存在，理由如下，
若四边形是平行四边形，则，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标，
又，
不存在，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点．

(1)求点C的坐标；
(2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标；
(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点N的坐标为：，，，见解析
【详解】（1）解：在中，令，得，
解得：，，
，
直线经过点，
，解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得，
解得：，
；
（2）如图1，设点，则点，

，
，
当时，取得最大值，此时，；
（3），
抛物线顶点为，
如图2，点为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：

①为对角线时，的中点与的中点重合，
，，解得：，，
，
②为对角线时，的中点与的中点重合，
，，解得：，，
，
③为对角线时，的中点与的中点重合，
，，
解得：，，
，
综上所述，点N的坐标为：，，．
【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，要分情况讨论求解，以防遗漏．
【变式训练2】如图，抛物线经过，两点．

(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得值最小，求最小值；
(3)点为轴上一动点，在拋物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）把，两点代入求出、的值即可；
（2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可；
（3）分点在轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，，
此拋物线的解析式为；
（2）如图，连接，交对称轴于点，

拋物线的解析式为，
其对称轴为直线，
当时，，
，
又，
设的解析式为，
，
解得：，，
的解析式为，
当时，，
，
；
（3）存在，如图所示：

①当点在轴下方时，
抛物线的对称轴为，，
，
②当点在轴上方时，如图，过点作轴于点，
在和中，，，
，即点的纵坐标为
，解得：或，
，，
综上所述符合条件的的坐标有，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
【变式训练3】综合与实践
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．

(1)求抛物线的解析式：
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，或或
(3)或或或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）分两种情况：以C为顶点，即；以D为顶点，即，利用勾股定理及等腰三角形的定义建立方程即可完成；
（3）分三种情况：当是对角线时；当是对角线时；当是对角线时；分别设点E与F的坐标，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是，点C的坐标是，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为；
（2）解：存在
由抛物线解析式知，其对称轴为直线，，
设，则，，，
①以C为顶点，即时；
则，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标，
②以D为顶点，即时，
则，
解得：，
∴点P的坐标为或，
综上，点P的坐标为或或；
（3）解：设点E的坐标为，点F的坐标为，
①当是对角线时；
由中点坐标公式得：，
解得：或（舍去），
∴点E的坐标；
②当是对角线时；
由中点坐标公式得：，
解得：，
∴点E的坐标为或；
③当是对角线时；
由中点坐标公式得：，
解得：或（舍去），
∴点E的坐标；
综上，点E的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，本题有一定的综合性，注意分类讨论．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点G的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．
∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下图，
抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，
设，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）解：存在，点的坐标为或．
如下图，连接，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，，，
∴，，点与点关于对称轴对称，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
如下图，连接，，，
同理可证：是等边三角形，是等边三角形，．∴，
∵，，∴．
∴．∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．
【变式训练1】如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是直线上方拋物线上一动点，连接，和，交于点M，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)或．
(3)符合条件的点有三个，坐标为：，，
【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）由得从而，即，据此列方程求解即可；
（3）分类当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标．
【详解】（1）把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）设，对于抛物线，令，则，
．
，
．
，即．
，
．
，解得，．
点的坐标是或．
（3）设直线解析式是，
把，代入，得
，
∴，
∴．
①当为菱形的对角线时，如图2，垂直平分，

∵，，
∴，
，
此时四边形是正方形．
．
设，则，
，
，解得（不合题意舍去）或，
此时，．
②当为菱形的边时，如图3，

设，则，
∴，，
作于点H，
，
∴．
∴
解得：，，（不合题意舍去）．
或．
，，
综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，．
【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点（点在点左侧），与轴交于点．

(1)求的面积；
(2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的一点，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点的坐标的求解过程写出来．
【答案】(1)；
(2)的最大值为，；
(3)或者；
【分析】（1）根据抛物线的解析式及抛物线与轴的交点坐标即可解答；
（2）根据题意得到直线的解析式为，进而设，，最后利用两点之间的距离公式及等腰直角三角形的性质得到即可解答；
（3）根据平移规律得到新抛物线的解析式及对称轴，再根据菱形的性质分情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴分别交于两点（点在点左侧），
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴设直线的解析式为，
∴解得：，
∴直线的解析式为；
∴设点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∴当的最大值时，，
∴，

（3）解：∵抛物线，
∴，
∵将抛物线沿着水平方向向右平移个单位长度得到新的抛物线，
∴新抛物线为：，
∴原抛物线与新抛物线的交点，
∴，
∴解得：，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
当为菱形的边长时，
设，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或者，
∵的中点坐标位，，
∴的中点坐标，，
∴或者，
∵当为对角线时，无法形成菱形，
∴点不存在，
∴或者，

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．
类型三、矩形存在性问题
例．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)、
【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标；
（3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标．
【详解】（1）解：把点和点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，点C的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：过点O作于一点H，如图所示：
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴点H为的中点，即，
则所在的直线方程为，
∵四边形为矩形，
∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同，
∴设所在的直线解析式为，
∵点A在直线上，
∴可求得，即所在的直线解析式为，
联立的直线方程与抛物线的解析式，
得，解得或，
其中为点A的坐标，即，
∵四边形为矩形，且，
根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标，
即．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）分别令和，求解即可；
（2）先求得平移后的抛物线的解析式，再分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，
令，则，
．
（2），
，
对称轴为．
当为边时，分两种情况：
当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点，
，，
，
，
．
设所在直线解析式为，
将，代入得，，
解得，
所在直线解析式为，
当时，．
．
当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点，
易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为．
当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上，
此种情况不存在．
综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值及此时点的坐标；
(3)已知是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)S最大值为，
(3)存在，点或或或．
【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线，点代入求解；
（2）如图，过点P作，垂足为点D，交于点E，设，确定的解析式，于是，从而，所以时，S最大值为，进而求得；
（3）设，如图，，，，分类讨论：当为对角线时，，由勾股定理，，解得，设点，则，从而得点或；另当为对角线时，，同法求得，当为对角线时，，同法求得点．
【详解】（1）解：设抛物线，
由经过点，得，
∴
∴．
（2）如图，过点P作，垂足为点D，交于点E，

设
设直线的解析式为，得
，解得
∴
则点，
∴
∴当时，S最大值为
，
∴；
（3）存在．
设，如图，，，
当为对角线时，
由勾股定理，
∴，解得，
设点，则
解得
∴点或

如图，当为对角线时，

，即，解得，则
解得
∴点
如图，当为对角线时，

，即，解得，则
解得
∴点
综上，点或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与面积最值问题，二次函数与矩形存在性问题，注意分类讨论，运用数形结合思想，将图形信息转化为数量关系是解题的关键．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的对称轴方程；
(2)若点满足，求点的坐标；
(3)设是抛物线的对称轴上一点，是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)正方形的面积为或
【分析】（1）由可知，，进而求得抛物线解析式为，即可得抛物线的对称轴方程；
（2）由题意可知，可知，进而值为线段的垂直平分线，设其与交于点，可得，可求得的解析式为，联立求解即可；
（3）由四边形是正方形，可知是等腰直角三角形，可得，，设，与轴交于点，分当点在轴上方时和当点在轴下方时分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，，当时，，即：，，
把，，代入得：，解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴方程为；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴为线段的垂直平分线，
设其与交于点，则点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴，
设的解析式为，代入，可得，解得，
∴的解析式为，
联立，解得：或（舍去）
∴

（3）∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，与轴交于点，
当点在轴上方时，过点作于，此时，

则
∴，则，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
则，，即：，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，（舍去），
∴，则，
∴正方形的面积为；
当点在轴下方时，过点作于，此时，

则
∴，则，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
则，，
即：，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，（舍去），
∴，则，
∴正方形的面积为；
综上，正方形的面积为或．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，垂直平分线的判定，正方形的性质及全等三角形的判定及性质，添加辅助线，利用数形结合是解决问题的关键．
【变式训练1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点D．交于点E．过点P作的平行线，交y轴于点M．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)在点P的运动过程中，求使四边形为菱形时，m的值；
(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)
(3)，
【分析】（1）分别令，，可求出点，，，再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）作于点，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可得到，再由点，可得，，，然后根据菱形的性质，可得到关于m的方程，即可求解；
（3）由（2）得：点，，可得，再求出直线的解析式为，过点E作交直线于点Q，可得，此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；过点E作于点Q，过点Q作轴于点S，可得，是等腰直角三角形，
∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形，即可．
【详解】（1）解：在中，
令，可得，
解得，．
令，得：，
∴，，．
设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，解得：，
直线的函数表达式为；
（2）解：如图，作于点，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点，
∴点，
∴．
∴，
∴．
∵四边形为菱形，
∴．
∴，
解得或0（舍去）；
（3）解：存在，
由（2）得：点，，
∴，
根据题意可设直线的解析式为，
把点代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
如图，过点E作交直线于点Q，
∴点，
∴，
∴，
此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；
如图，过点E作于点Q，过点Q作轴于点S，
由（2）得：，
∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；
∴，
∴点，
对于，
当时，，
此时点，
综上所述，存在点或，使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵解析式的对称轴为，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，

，，
∴，
∴，，
设，
∴，，则，
∵点M在直线上，
∴，解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
课后训练
1．如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点、为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当时，，
(3)或或或
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设，则，进而得到，；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分以为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．
【详解】（1）解：把和代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设，则.
又
∴，
∴，
∴
∴当时，
∴．
（3）解：由题意可得：，
∴的对称轴为
∵抛物线与轴交于点．
∴,
∵,
∴,；
如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴，
∵D在的对称轴为，
∴，
∴,,即点，
∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到；

如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于F，
∵D在的对称轴为，
∴，
∴，
∵，即，
∴ ,即点，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点；

如图：当为矩形对角线时，设，，
∴的中点F的坐标为，
∴，解得：
又∵,
∴，解得：，
联立，解得：，
∴点E的坐标为或．

综上，存在或或或使以点、、、为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上的动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线上的动点，当点在第四象限时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)已知点为轴上一动点，点为平面内任意一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)；；；
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线，过作轴于点，交于点．设，则，，则，当时，的面积最大值为，从而求出此时四边形面积的最大值，点坐标；
（3）设，，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．
【详解】（1）解：将，代入中，
得，解得．
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：作直线，过作轴于点，交于点．

设直线的表达式为：，将，代入中，
得，解得，
．
设，则，，
∵
∴
∴，
∴，
当时，面积的最大值为．
与直线平行，
，
四边形面积的最大值为．
当时，，
（3）解：设，，
I.如图，当点E在原点时，即点，，，

∵四边形为正方形，
∴点，
II.如解图3-2，当四边形为正方形时，，，

作轴，垂足为，作轴，垂足为，
又∵，
∴，
∴
∴，，
同理可得：，
∴，
∴，解得：，（，不合题意舍去）
∴，
∴点，
III.如解图3-3，当四边形为正方形时，

同理可得：，，
∴，
∴，解得：，（，不合题意舍去）
∴，∴点，
IV.如解图3-4，当四边形为正方形时，

同理可得：，，∴，
∴，解得：，（，不合题意舍去）
∴，∴点，
综上所述：点坐标为；；；．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
3．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点．

(1)求出抛物线与直线的解析式；
(2)已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，求的最大面积；
(3)若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点的坐标，当取得最大值时，的面积取得最大值，设，则，进而表示出，根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解；
（3）先求得点的坐标，分为对角线与边两种情况讨论，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为：；
将点代入，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：；
（2）依题意，联立
解得：，
∴
∵,
∴当取得最大值时，的面积取得最大值，
设，则
∴
∴时，取得最大值为，
∴的面积最大值为；
（3）∵是与轴的交点，
当时，，
∴；
①当为边时，
∵，，在轴上，
∴，则点的纵坐标为，
∵在上，
∴，
解得：
∴或，
②当为对角线时，则的中点在轴上，
∴的纵坐标为，
∴
解得：
∴或

综上所述，或或或
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，和．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；
(3)若点P为抛物线（））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，或，或，
【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）由“直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点”，可得出点，的坐标，进而可得出，的值，代入中，可得出，再利用二次函数的性质，即可求出m，代入可得M点的坐标；
（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入点的坐标中，即可得出结论．
【详解】（1）解：将，，代入得：
，解得：，
抛物线的表达式为；
（2）直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，且，
当时，有最大值，此时；
（3），
抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为．
当时，，
点的坐标为，．
假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为．
①当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为，；
②当为对角线时，对角线，互相平分，
，解得：，
点的坐标为，；
③当为对角线时，对角线，互相平分，
，解得：，点的坐标为，．
综上所述，存在以，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出的最大值；（3）利用平行四边形的性质（对角线互相平分），找出关于的一元一次方程．