福建省泉州市永春县2025-2026学年八年级下学期期末质量检测 数学试题（含解析）

这是一份福建省泉州市永春县2025-2026学年八年级下学期期末质量检测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 要使分式有意义，必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 钙是人体必需的矿物质，已知成人每人每天钙的摄入量是，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式从左到右变形中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
6. 在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现分别得80分、90分，若将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的最终成绩是（ ）
A. 87分B. 86分C. 85分D. 83分
7. 如图，在矩形中，，，的平分线与的延长线相交于点，与相交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A. B. C. 2D. 4
9. 如图，在菱形中，，，、两点分别从、两点同时出发，以相同的速度分别向终点、移动，连接，在整个移动的过程中，角度的变化情况为（ ）
A. 变大B. 变小C. 不变D. 先变大再变小
10. 如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 计算______．
12. 若与成正比例，且时，则与的函数关系式为__________．
13. 已知菱形的两条对角线、的长分别为8和6，则这个菱形的面积为__________．
14. 某地区近9天每天的最高温度（单位：）分别为：36、29、31、32、31、35、37、37、35，那么这组数据的上四分位数为__________．
15. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________．
16. 如图，在矩形中，，点，分别在边和上，且，，连接，点、分别是，的中点，连接，则的长为__________
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：．
20. 某中学八年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，6次测试的成绩如下（单位：次）：
甲：185，191，190，192，196，198；
乙：183，195，198，185，195，196．
为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表：
（1）填空：____，____；
（2）从平均数和方差两个统计量作为选拔依据，应选拔哪位同学参加比赛，请说明理由．
21. 如图，四边形为矩形．
（1）在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求（1）中的面积．
22. 甲、乙两种型号的抽水机，甲型抽水机每天抽水量是乙型抽水机每天抽水量的1.2倍．每天抽水240吨需要甲型抽水机的台数比每天抽水150吨需要乙型抽水机的台数多一台．
（1）求甲、乙两种型号抽水机每台每天各抽水多少吨？
（2）甲型抽水机每台售价4万元，乙型抽水机每台2.5万元．农场计划采购甲、乙两种型号的抽水机一共15台，要求每天总抽水量不低于820吨．求如何采购甲、乙两种型号的抽水机，才能使总费用最低，最低总费用为多少？
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数图象上，点为轴上一动点，求的最小值．
24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度．
（1）现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）；
【数学思考】
（2）将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式；
【结论运用】
（3）在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明：
．
25. 已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转．
（1）如图1，若．
①直接写出旋转过程中线段的最大值；
②连接、，若、交于点，求的度数；
（2）如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
数学
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 要使分式有意义，必须满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查分式有意义的条件，分式有意义时分母不为0，据此列不等式求解即可得到结果．
解答过程：解：的分母为，
∴，
解得．
2. 钙是人体必需的矿物质，已知成人每人每天钙的摄入量是，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：解：．
3. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用平行四边形对角相等的性质即可求出的度数．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，，
∴．
4. 下列各式从左到右变形中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：对于A选项，，故A错误．
对于B选项， ，故B正确．
对于C选项，，故C错误．
对于D选项， 与没有公因式，无法约分，，故D错误．
5. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
答案：C
解析：
思路：本题主要考查了一次函数的图象和性质．观察图象可得：一次函数、b为常数，且的图象经过第一、二、四象限，即可求解．
解答过程：解：观察图象得：一次函数、b为常数，且的图象经过第一、二、四象限，
，．
故选：C．
6. 在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现分别得80分、90分，若将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的最终成绩是（ ）
A. 87分B. 86分C. 85分D. 83分
答案：D
解析：
思路：根据加权平均数的计算公式，即可计算选手最终成绩．
解答过程：解：根据题意得：该选手的最终成绩为：（分）．
7. 如图，在矩形中，，，的平分线与的延长线相交于点，与相交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查矩形的性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理，利用矩形的性质和角平分线证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质以及线段和差得到，再证明是等腰直角三角形，得到，最后勾股定理计算得到的长．
解答过程：解：矩形，
，，，
，，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
8. 若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：C
解析：
思路：先根据增根使分式分母为0，确定增根的值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值．
解答过程：解：∵原分式方程有增根，
∴使分母为0的根满足，即增根为，
方程两边同乘去分母，得，
将代入整式方程，得，
解得．
9. 如图，在菱形中，，，、两点分别从、两点同时出发，以相同的速度分别向终点、移动，连接，在整个移动的过程中，角度的变化情况为（ ）
A. 变大B. 变小C. 不变D. 先变大再变小
答案：C
解析：
思路：利用菱形的条件证明是等边三角形，再通过证明，推出且，从而始终为等边三角形，不变．
解答过程：解：连接，
四边形是菱形，
．
又，
是等边三角形，
，．
在菱形中，，
．
∵、同时出发，速度相同，
∴设
在和中：
（）．
，．
，
又，
．
中，且，
是等边三角形，
．
即无论、运动到什么位置，始终等于，大小不变．
10. 如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
思路：设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求．
解答过程：解：设，其中．
点是线段的中点，点在轴上，设，
由中点公式，，解得．
又点在的图象上，
∴．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，
解得，．
直线的解析式为．
令，得，即．
由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高，
．
，
，解得．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 计算______．
答案：
解析：
解答过程：解：．
12. 若与成正比例，且时，则与的函数关系式为__________．
答案：
解析：
思路：根据正比例函数的定义设出解析式，代入已知的对应值求出比例系数，即可得到函数关系式．
解答过程：解：设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得，
因此与的函数关系式为．
13. 已知菱形的两条对角线、的长分别为8和6，则这个菱形的面积为__________．
答案：24
解析：
思路：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
解答过程：解：菱形的对角线、的长分别为和，
这个菱形的面积是．
14. 某地区近9天每天的最高温度（单位：）分别为：36、29、31、32、31、35、37、37、35，那么这组数据的上四分位数为__________．
答案：
解析：
思路：先将原数据从小到大排序，再计算上四分位数对应的位置，最后根据位置规则得到结果．
解答过程：解：将这个数据按从小到大排序，得：，
∴上四分位数为的中位数，
即这组数据的上四分位数为．
15. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________．
答案：
解析：
思路：先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解．
解答过程：解：反比例函数中，，
该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
，
，
又，
点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限，
∴ ，
∴的取值范围为．
16. 如图，在矩形中，，点，分别在边和上，且，，连接，点、分别是，的中点，连接，则的长为__________
答案：
解析：
思路：延长交于点，连接，利用和内错角、对顶角证明，从而得出且是的中点．再结合是中点，利用中位线定理和勾股定理求解．
解答过程：解：延长交于点，连接，
四边形是矩形，
，．
，
．
又是的中点，
．
又
．
，．
即是线段的中点．
在中，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
．
，
在中，由勾股定理：
．
．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
答案：0
解析：
解答过程：解：原式
18. 先化简，再求值：，其中．
答案：化简为；值为；
解析：
思路：先进行分式的除法运算，再进行减法运算，最后代入求值即可．
解答过程：解：原式
当时，原式
19. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：．
答案：
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
解析：
思路：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，即可推出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解答过程：略
20. 某中学八年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，6次测试的成绩如下（单位：次）：
甲：185，191，190，192，196，198；
乙：183，195，198，185，195，196．
为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表：
（1）填空：____，____；
（2）从平均数和方差两个统计量作为选拔依据，应选拔哪位同学参加比赛，请说明理由．
答案：（1）或；
（2）选择甲同学参赛．
理由：甲、乙两人的平均数相同，均为192．
，即甲的方差小于乙的方差，
甲同学的成绩更加稳定．
∴应选派甲同学参加比赛．
解析：
思路：（1） 根据方差公式计算甲的方差；将乙的成绩从小到大排列后取中间两数的平均值求中位数．
（2）平均数相同时，方差越小表示成绩越稳定，据此作出选择．
（1）解：甲的平均数，由方差公式：
．
将乙的成绩从小到大排列：183，185，195，195，196，198．
共个数据，中位数为第个与第个数据的平均值，
．
（2）略
21. 如图，四边形为矩形．
（1）在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求（1）中的面积．
答案：（1）点为所求．
（2）10
解析：
思路：（1）由题意可知，为直角三角形，，故只要满足即可，故作的垂直平分线即可；
（2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程求解即可．
（1）略
（2）解：设，则，
由作图已知，点在线段的垂直平分线上，
，
在矩形中，，
，
即，
，即，
．
22. 甲、乙两种型号的抽水机，甲型抽水机每天抽水量是乙型抽水机每天抽水量的1.2倍．每天抽水240吨需要甲型抽水机的台数比每天抽水150吨需要乙型抽水机的台数多一台．
（1）求甲、乙两种型号抽水机每台每天各抽水多少吨？
（2）甲型抽水机每台售价4万元，乙型抽水机每台2.5万元．农场计划采购甲、乙两种型号的抽水机一共15台，要求每天总抽水量不低于820吨．求如何采购甲、乙两种型号的抽水机，才能使总费用最低，最低总费用为多少？
答案：（1）甲型抽水机每台每天抽水60吨，乙型抽水机每台每天抽水50吨．
（2）甲型抽水机购7台，乙型抽水机购8台时费用最低，最低费用为48万元．
解析：
思路：（1）设乙型抽水机每台每天抽水吨，甲型抽水机每台每天抽水吨，以甲型和乙型抽水机的数量关系为等量构造方程求解即可；
（2）设采购甲型抽水机台，列式表示总费用为万元，根据每天总抽水量不低于820吨列出不等式求出范围，利用一次函数的性质求最低费用即可．
（1）解：设乙型抽水机每台每天抽水吨，
甲型抽水机每台每天抽水吨，
则，
，
经检验，符合题意，
．
答：甲型抽水机每台每天抽水60吨，乙型抽水机每台每天抽水50吨．
（2）解：设采购甲型抽水机台，
乙型抽水机（）台，总费用为万元，
，
，
，
，随增大而增大，
∴当时，总费用最低，最低费用为48万元．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数图象上，点为轴上一动点，求的最小值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将代入得出，代入，得出，再将代入反比例函数解析式，即可求解．
（1）解：过，
，
，
∴直线解析式为：．
（2）解：过，
，
，
在反比例函数图像上，
，
在反比例函数图像上，
，
作点关于轴对称点，则，
过点作轴于，则，．
又，，
．
24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度．
（1）现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）；
【数学思考】
（2）将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式；
【结论运用】
（3）在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明：
．
答案：（1）
（2）解：新的不等式：，证明如下：
，
，，
，，
∴，
∴，即．
（3）证明：由（2）可得：，，，，
∴，
即．
，
，
．
解析：
思路：（1）根据盐水会变咸可得盐水浓度变大，据此解答即可；
（2）先计算，再结合，进行判断即可；
（3）得出，，，，据此即可得证．
（1）解：∵生活经验告诉我们，盐水会变咸，
∴蒸发掉克纯水，盐水浓度变大，
∴．
（2）解：略．
（3）证明：略．
25. 已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转．
（1）如图1，若．
①直接写出旋转过程中线段的最大值；
②连接、，若、交于点，求的度数；
（2）如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
答案：（1）①8；②；
（2）存在，的长为或4．
解析：
思路：（1）①根据已知条件，由两点之间线段最短，可以得到线段的最大值
②由已知条件，证明，推得再利用三角形内角和，求出；
（2）分类讨论当矩形旋转到不同位置时构成平行四边形的情况，分别求出线段的长．
（1）①解：由已知，，，
，
当时，的最大值为8；
②解：∵四边形为正方形，
，，
∵四边形为矩形，
，
．
在和中，
，
，
，
，
，
又，，
；
（2）解：①当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形，
此时，点与点重合，
；
②当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形此时，点、、三点共线，
；
③当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形，
此时，
又，，
，
，
又，
，
即点、、在同一条直线上．
在中，，由勾股定理得：
．
综上所述，的长为或4．平均数
中位数
方差
甲
192
191.5
乙
192
33.3
平均数
中位数
方差
甲
192
191.5
乙
192
33.3