湖北省黄石市下陆区2025-2026学年八年级下学期期末检测 数学试题（含解析）

这是一份湖北省黄石市下陆区2025-2026学年八年级下学期期末检测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. C. D. 2，2，3
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D. ，
5. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A. 众数是92B. 中位数是84.5
C. 平均数是84D. 第三四分位数是87.5
6. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，为斜边上的中线，E为的中点，若，，则（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 直线与直线平行B. 当时，
C. y随x的增大而增大D. 函数的图象不经过第三象限
9. 如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④．
其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．
12. 若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___
13. 一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是12，则输入x的值是______．
14. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________．
15. 已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，．
（1）________；
（2）若为的中点，则的面积为________．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）（2）
17. 已知E、F分别为平行四边形的边、的中点，证明：．
18. 如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
（1）求b，m的值；
（2）结合图象可知关于x、y的方程组的解是______；
（3）直线：与直线：与x轴组成的图形面积．
19. 为了让学生感悟优秀传统文化的精髓和魅力，学校举行以“书香诗韵润心田”为主题的诗词大赛活动，并从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的大赛成绩（单位：分）进行了统计分析，绘制成如下统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）若七年级的参赛学生人数为200人，请估计该校七年级参赛学生成绩超过90分的人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的诗词知识掌握情况更好，并说明理由．
20. 如图，某社区有一块四边形空地，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据：，，，从点到边的距离（垂足为），恰好是的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元．
（1）求边的长；
（2）请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？
21. 阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
（1）填空：
①
②
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
22. 淘宝某商家购进甲、乙两种商品共200件，若甲种商品进价70元/件，乙种商品进价40元/件，已知在销售过程中，2件甲种商品和3件乙种商品的售价共430元，3件甲种商品比5件乙种商品的售价低20元．
（1）求甲、乙两种商品的售价分别是多少元件？
（2）若商家计划甲、乙两种商品的进货总投入不超过9950元，销售完后总利润大于6620元，有哪几种进货方案？
（3）商家为尽快回笼资金，采取优惠活动，甲种商品售价下调m元，乙种商品售价保持原价，若甲、乙两种商品进价不变，该商家无论用哪种方案进货，这200件商品销售完总利润不变，求m的值及此时的总利润．
23. 综合与实践
【提出问题】
由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：．
（1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下：
在上截取，连接．
则易得在和中
∴
∴
请补全小明的证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上．
①求证：；
②当，时，请求出线段的长．
24. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式；
（3）如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标．
数学
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式；
选项B：，被开方数含分母，∴不是最简二次根式；
选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式；
选项D：满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式．
2. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. C. D. 2，2，3
答案：C
解析：
思路：根据勾股定理的逆定理判断，若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，逐一验证即可得到结果．
解答过程：解：A、，
∴ 不能构成直角三角形；
B、 ，
∴ 不能构成直角三角形；
C、 ，
，能构成直角三角形，符合题意；
D、 ，
∴不能构成直角三角形．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据二次根式运算法则，二次根式的性质，立方根的性质逐一判断选项即可．
解答过程：解：、与不是同类二次根式，无法直接合并，该选项运算错误，不符合题意；
、，该选项运算正确，符合题意；
、，该选项运算错误，不符合题意；
、，该选项运算错误，不符合题意．
4. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D. ，
答案：D
解析：
思路：由平行四边形的判定定理逐项验证即可．
解答过程：解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意．
5. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A. 众数是92B. 中位数是84.5
C. 平均数是84D. 第三四分位数是87.5
答案：D
解析：
解答过程：解：首先将这组数据从小到大排列得：，数据总数．
对于A选项，∵数据中82出现次数最多，∴众数为82，A错误；
对于B选项，中位数为第个和第个数据的平均数，即，B错误；
对于C选项，平均数，C错误；
对于D选项，，因此第三四分位数为第个和第个数据的平均数，即，D正确．
6. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据图象越陡峭速度越快进行分析即可．
解答过程：解：∵最陡峭，次之，最平缓，
∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢，
只有A符合题意．
7. 如图，为斜边上的中线，E为的中点，若，，则（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
答案：D
解析：
思路：由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再结合等腰三角形三线合一的性质，得出，再利用勾股定理求解即可．
解答过程：解：为斜边上的中线，
，
E为的中点，，
，，
在中，．
8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 直线与直线平行B. 当时，
C. y随x的增大而增大D. 函数的图象不经过第三象限
答案：C
解析：
解答过程：解：A选项：直线与直线的相等，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意；
B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意；
C选项：，则随的增大而减小，原结论错误，符合题意；
D选项：，，则一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意．
9. 如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：连接，，利用四边形的内角和得到，再细分成，再由三角形内角和得到，，代入运算即可．
解答过程：解：连接，如图所示：
∵四边形内角和为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴整理可得：．
10. 如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④．
其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④
答案：A
解析：
思路：····本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积，掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键；由正方形的性质可得，，进而得，由垂直得，即得，即可得，进而由得到，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即可得，得到，即可判断②；由勾股定理可得，进而得，过点作的延长线于点，则，，由勾股定理得，即可判断③；由计算即可判断④．
解答过程：解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，故②正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
过点作的延长线于点，则，，
∴，
∴点到的距离为，故③正确；
，
故④错误；
综上，正确结论的为①②③，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．
答案：
解析：
解答过程：解：二次根式有意义，
，
解得：，
x的取值范围是．
12. 若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___
答案：##度
解析：
思路：此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案．
解答过程：解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，，
∵，
又∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最大角的度数是．
故答案为：．
13. 一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是12，则输入x的值是______．
答案：或
解析：
思路：根据程序图，分当时，当时两种情况进行讨论即可解答．
解答过程：解：当时，，
解得：或（舍去），
当时，，
解得：，
综上：输入x的值是或．
14. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________．
答案：
解析：
思路：由菱形的面积公式可得的长，由菱形的性质可得为的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
解答过程：解：四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
，
在中，为的中点，
．
15. 已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，．
（1）________；
（2）若为的中点，则的面积为________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：（1）根据正方形性质和折叠性质可得，，利用证明，得出，结合即可求解．
（2）设，则，，在中利用勾股定理求出与的关系，进而求出与的比值，利用同高三角形面积比等于底边比求解．
解答过程：解：（1）四边形是正方形
，
将沿对折至
，，，
，
在和中
（2）为的中点
设，由（1）知
，
在中，由勾股定理得
即
整理得
解得
，，
与同高，底边分别为和
．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：
；
（2）解：
．
17. 已知E、F分别为平行四边形的边、的中点，证明：．
答案：证明：平行四边形，
，，
E、F分别为边、的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
解析：
思路：利用平行四边形的性质，推出四边形是平行四边形，即可得证．
解答过程：略
18. 如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
（1）求b，m的值；
（2）结合图象可知关于x、y的方程组的解是______；
（3）直线：与直线：与x轴组成的图形面积．
答案：（1），
（2） （3）
解析：
思路：（1）把点代入，求出b的值，即可求出，把点代入即可求出m的值．
（2）根据两直线的交点即可得出方程组的解．
（3）分别求出点A，B的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：把点代入，
得，
∴，
把点代入，得，
∴；
（2）解：∵直线：与直线：相交于点，
∴关于x、y的方程组的解是．
（3）解：在直线：中，令，则，解得，
∴，
直线：中，令，则，解得，
∴，
∴，
∴．
19. 为了让学生感悟优秀传统文化的精髓和魅力，学校举行以“书香诗韵润心田”为主题的诗词大赛活动，并从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的大赛成绩（单位：分）进行了统计分析，绘制成如下统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）若七年级的参赛学生人数为200人，请估计该校七年级参赛学生成绩超过90分的人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的诗词知识掌握情况更好，并说明理由．
答案：（1）90，92
（2）估计该校七年级参赛学生成绩超过90分的人数为100人
（3）八年级学生的诗词知识掌握情况更好，详见解析
解析：
思路：（1）运用中位数和众数作答即可；
（2）运用样本估计总体进行列式，即可作答；
（3）根据平均数和方差即可判断．
（1）解：七年级学生的成绩为：，
则众数为：
八年级学生的成绩为：
则中位数为：
（2）解：（人），
∴估计该校七年级参赛学生成绩超过90分的人数为100人；
（3）解：∵七、八年级抽取的10名学生的平均成绩相等，但八年级学生的成绩的方差较小，
∴八年级学生的成绩更加稳定，
∴八年级的学生的诗词知识掌握情况更好．
20. 如图，某社区有一块四边形空地，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据：，，，从点到边的距离（垂足为），恰好是的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元．
（1）求边的长；
（2）请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？
答案：（1）18m （2）购买草皮的费用为8400元．
解析：
思路：（1）利用勾股定理求出，再根据中点的定义即可求解；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算出面积，然后用面积乘以每平方米的单价即可求解．
（1）解：，
，
在中，，
是的中点，
；
（2）解：连接，
，是的中点，
，
，
，
，
，
（元），
答：购买草皮的费用为8400元．
21. 阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
（1）填空：
①
②
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积．
答案：（1）①；；②；；（2）；（3）
解析：
思路：本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可．
解答过程：解：（1）①；
②；
故答案为：①；；②；；
（2）；
（3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
根据题意得：，，
∴，，
剩余部分的面积为：．
22. 淘宝某商家购进甲、乙两种商品共200件，若甲种商品进价70元/件，乙种商品进价40元/件，已知在销售过程中，2件甲种商品和3件乙种商品的售价共430元，3件甲种商品比5件乙种商品的售价低20元．
（1）求甲、乙两种商品的售价分别是多少元件？
（2）若商家计划甲、乙两种商品的进货总投入不超过9950元，销售完后总利润大于6620元，有哪几种进货方案？
（3）商家为尽快回笼资金，采取优惠活动，甲种商品售价下调m元，乙种商品售价保持原价，若甲、乙两种商品进价不变，该商家无论用哪种方案进货，这200件商品销售完总利润不变，求m的值及此时的总利润．
答案：（1）甲种商品售价元/件，乙种商品售价元/件．
（2）进货方案有三种：方案一：购进甲件，乙件；方案二：购进甲件，乙件；方案三：购进甲件，乙件．
（3）的值为，总利润为元．
解析：
思路：本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，熟练掌握方程与不等式的解法、一次函数性质，准确分析数量关系列方程（组）、不等式（组）是解题关键．
（1）可设甲售价为元/件，乙售价为元/件，根据“件甲和件乙售价共元” “件甲比件乙售价低元”这两个等量关系，列二元一次方程组求解 ．
（2）设甲进货件，那么乙进货件．依据“进货总投入不超元”（甲进价×甲数量 + 乙进价×乙数量 ≤ ）和“总利润大于元”（甲每件利润×甲数量 + 乙每件利润×乙数量 > ）列出不等式组，求出的取值范围，再结合是正整数确定进货方案 ．
（3）设总利润为，甲进货件，先根据利润公式（利润 = 售价 - 进价）列出关于和的表达式，由于“无论哪种进货方案总利润不变”，意味着表达式中的系数为，从而求出，再算总利润 ．
（1）解：设甲种商品售价元/件，乙种商品售价元/件．则
解方程组得， ．
∴甲种商品售价元/件，乙种商品售价元/件．
（2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件．则
解得，
解得
∴，
又为正整数，
∴，，．
当时，；
当时，；
当时，．
∴进货方案有三种：
方案一：购进甲件，乙件；
方案二：购进甲件，乙件；
方案三：购进甲件，乙件．
（3）解：设总利润为元，购进甲种商品件，则购进乙种商品件．
甲商品下调元后，每件利润元；乙商品每件利润元．
∵无论取何值（哪种进货方案），不变，
∴的系数，解得．此时元．
∴的值为，总利润为元．
23. 综合与实践
【提出问题】
由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：．
（1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下：
在上截取，连接．
则易得在和中
∴
∴
请补全小明的证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上．
①求证：；
②当，时，请求出线段的长．
答案：（1）或；
（2）①证明：在上截取，连接，
∵
则，
∵是等腰直角三角形，
∴，则，
∵，
，
∴，
∴；
②
解析：
思路：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）利用全等三角形的判定条件行填补即可；
（2）在上截取，连接，证明，即可求解；
（3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解．
解答过程：（1）由题意，横线处应或．
故答案为：或；
（2）略
（3）∵，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
24. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式；
（3）如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标．
答案：（1），
（2） （3），
解析：
思路：（1）由题意可得：当时，，当时，，可得，．
（2）如图，过作于，设，证明，可得，求解，再进一步求解即可．
（3）情况①：点C在点M左侧，如图，设，在线段上，证明，可得，求解，进一步可得答案；情况②：点C在点M右侧，如图，同理可得： ，进一步可得答案．
（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴当时，，当时，，
∴，．
（2）解：如图，过作于，设，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴，，
设直线为：，
∴，解得：，
∴直线为．
（3）解：如图，设，在线段上，
∴，
当点C在点M的左侧时，如图所示：
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
如图，当点C在点M右侧时，如图所示：
同理可得：，，，
，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
综上：的坐标为：或．
方法提示：本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一次函数的应用，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
91
a
38.4
八年级
92
b
92
2.4
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
91
a
38.4
八年级
92
b
92
2.4