福建省福州市延安中学2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份福建省福州市延安中学2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
3. 二次函数图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
4. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定
5. 如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（ ）
A. B. C. D.
6. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 6
8. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
10. 抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一次函数的图象与轴的交点坐标为________．
12. 某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分．
13. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为10，则k的值为________．
14. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是________．
15. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：
则该运动员踢出的足球在第_________s落地．
16. 如图，矩形中，，，为的角平分线，为上一动点，为的中点，连接，则的最小值是________．
三、解答题（共9小题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
18. 已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
19. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为．
（1）求的取值范围；
（2）若，求和的值．
20. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析．
七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
（1）上述表中，________，________，________；
（2）求八年级所抽取学生的平均成绩m；
（3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．
（1）求的面积；
（2）若，结合图象，直接写出对应的自变量的取值范围______．
22. 清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表：
小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题：
（1）y与x之间的函数关系式是：________．
（2）当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？
（3）当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？
23. 如图，在正方形中，是边上一点．
（1）求作正方形，使点分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若，求正方形的面积．
24. 某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题．
问题解决：
（1）如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式：
（2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方；
（3）如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题．
25. 已知抛物线：经过点．
（1）若抛物线还经过点，求的值；
（2）若，当时，函数值小于0，求证：；
（3）抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，，为线段上一动点（不与点，重合），横坐标为，过点作轴交抛物线于点，若，求的值．
数学
（满分150分，完卷时间120分钟）
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行判断即可．
解答过程：解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意；
、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意；
、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意；
、对每一个的值，不一定有唯一的值与之对应，故不是的函数，符合题意．
2. 若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据一元二次方程的一般形式得到，即可得到答案．
解答过程：解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：B
方法提示：此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3. 二次函数图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
答案：A
解析：
思路：二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果．
解答过程：解：二次函数的对称轴是直线，
故选：A．
4. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.3环，方差分别是，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定
答案：A
解析：
思路：本题考查方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，通过比较三人方差大小即可判断谁的成绩最稳定．
解答过程：解：∵，，
∴，
∴甲的成绩波动最小，成绩最稳定，
故选：A．
5. 如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程．根据图象，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得即可．
解答过程：解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得．
故选：A．
6. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”进行解答即可．
解答过程：解：将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为，
故选：A
7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 6
答案：C
解析：
思路：根据菱形的性质可得，，所以，再根据勾股定理可求得，即可得到答案．
解答过程：解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
8. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称轴，增减性是解题的关键．
根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小即可求解．
解答过程：解：∵抛物线为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵距离对称轴有个单位长度，
距离对称轴有个单位长度，
距离对称轴有个单位长度，
根据开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可得：．
故选：D．
9. 已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
答案：D
解析：
思路：分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可．
解答过程：解：反比例函数中，，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且，
分两种情况讨论：
（1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件；
（2）当时，令，，
解得，
在第三象限，y随着x的增大而减小，
时，
综上，自变量的取值范围是或．
10. 抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围．
解答过程：解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点，
，抛物线的对称轴为 ，
，，
两点到对称轴的距离分别为 ，，
当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
恒成立，
，
即，
，
，
解得，符合，
当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
恒成立，
，
即，
解得，即，
结合，得，
综上，m的取值范围为或．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一次函数的图象与轴的交点坐标为________．
答案：
解析：
思路：y轴上所有点的横坐标为，将代入一次函数解析式求出对应值，即可得到交点坐标．
解答过程：解：当时，，
一次函数的图象与轴的交点坐标为．
12. 某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分．
答案：86
解析：
思路：根据加权平均数的计算公式，代入数据计算即可得到最终成绩．
解答过程：解：小鹿的最终成绩为（分）．
13. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为10，则k的值为________．
答案：
解析：
思路：设，则，，再根据“的面积为10”列方程求解即可．
解答过程：解：设，
则，，
的面积为10，
，
，
解得．
14. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是________．
答案：
解析：
思路：根据一元二次方程根与系数的关系得到，，最后根据，即可求解．
解答过程：解：，是一元二次方程的两根，
，，
．
15. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：
则该运动员踢出的足球在第_________s落地．
答案：8
解析：
思路：此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
解答过程：解：由题意可设抛物线解析式为：，
当时，；当时，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得：或，
则该运动员踢出的足球在第落地，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，为的角平分线，为上一动点，为的中点，连接，则的最小值是________．
答案：
解析：
思路：建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式可求的最小值．
解答过程：解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
∵矩形中，，，
∴，，，
点，点，点，，
为的角平分线，
，
，
，
点，
设直线的解析式为，
将点，代入上式，得：
，解得：
直线解析式为，
设点，
为的中点，
点，
，
，
当时，的最小值为．
三、解答题（共9小题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
解析：
思路：（1）根据配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
（1）解：移项，得，
两边同加上4，得，
，
，
，；
（2）解：移项，得，
因式分解，得，
，
，
，．
18. 已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
答案：
证明：平行四边形中，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
解析：
思路：本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，由可得，再证四边形是平行四边形，推出，，等量代换即可得出．
解答过程：略
19. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为．
（1）求的取值范围；
（2）若，求和的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据方程有两个实数根得到，再解不等式即可；
（2）先将代入方程求解，一元二次方程根与系数的关系求解．
（1）解：∵的两个实数根分别为，
，
即，
；
（2）解：把代入方程得：，
，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
，
．
20. 2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析．
七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100；
八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96．
七、八年级抽取的学生的成绩统计表
（1）上述表中，________，________，________；
（2）求八年级所抽取学生的平均成绩m；
（3）若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数．
答案：（1）90；90；93
（2）八年级所抽取学生的平均成绩m为87
（3）估计此次活动中八年级学生成绩超过90分的约有300名
解析：
思路：（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数的计算公式计算即可；
（3）用样本所占的百分比估计总体的数量即可．
（1）解：；
；
八年级学生成绩的数据中重复次数最多的是93，
众数；
（2）解：，
八年级所抽取学生的平均成绩m为87．
（3）解：（名），
∴估计此次活动中八年级学生成绩超过90分的有名．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．
（1）求的面积；
（2）若，结合图象，直接写出对应的自变量的取值范围______．
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：（1）把点代入直线，求出m的值，然后把点A代入，求出k的值，再求出B点的坐标，利用三角形的面积公式，即可求出答案；
（2）结合图象，利用图象法，即可求出当时，自变量x的取值范围．
（1）解：∵函数的图象与直线交于点，
∴将点代入有：，
∴，
∴将点代入有：，
∴，
设点B的坐标为，则将点代入，
可得，
解得（舍去）或，
∴
设直线交轴于点，则，
∴；
（2）解：由（1）可知，点，点B，
∴当时，有
自变量x的取值范围为：或；
故答案为：或．
方法提示：本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数图像和性质．
22. 清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表：
小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题：
（1）y与x之间的函数关系式是：________．
（2）当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？
（3）当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？
答案：（1）
（2）销售单价为15元或21元
（3）当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元
解析：
思路：（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可；
（3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：由题意列方程：，
解得，，
答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元．
（3）解：设日销售利润为W元，
则由题意知
，
，
抛物线开口向下
当时，W有最大值200，
答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元．
23. 如图，在正方形中，是边上一点．
（1）求作正方形，使点分别落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若，求正方形的面积．
答案：（1）见解析 （2）13
解析：
思路：本题考查了尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）在上取点，使，在上取点，使，在上取点，使，顺次连接点，，由四边形为所作的正方形；
（2）证明，求得，利用勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．
（1）解：如图，正方形即为所作；
；
（2）解：正方形，
．
，
正方形，
．
，
．
，
，
．
在中，．
正方形的面积．
24. 某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题．
问题解决：
（1）如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式：
（2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方；
（3）如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题．
答案：（1）
（2）解：当时，，
解得或（舍去）
∵，且，
∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方；
（3）钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题
解析：
思路：（1）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解；
（2）当时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可；
（3）求出直线的解析式，设，则，得出的最大值，然后根据临界点求值进行判断．
（1）解：根据题意得，，抛物线顶点坐标为，
假设抛物线解析式为，
将代入解析式得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：略；
（3）解：设的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患，
当时，，
解得，
∵，
∴不存在遮挡不足问题
∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题．
25. 已知抛物线：经过点．
（1）若抛物线还经过点，求的值；
（2）若，当时，函数值小于0，求证：；
（3）抛物线与直线交于，两点，它们的横坐标分别为，，为线段上一动点（不与点，重合），横坐标为，过点作轴交抛物线于点，若，求的值．
答案：（1）

（2）证明： 抛物线过点，
，整理得 ，
∵，抛物线过，且时，
抛物线与轴的另一个交点横坐标大于，
抛物线对称轴 ，即，
，
，即 ，
将代入得： ，即，
，

∴ ，
，
，即，得证．
（3）或
解析：
思路：（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式,联立方程消去即可求得的值；
（2）利用抛物线过A点得到，结合时和推出，代入待证不等式化简即可证明；
（3）联立抛物线与直线方程，利用的纵坐标差结合题给的关系求出的值，再代入A点坐标得到的值．
（1）解：已知抛物线过,，
将两点坐标代入解析式得： ，
得到： ， 整理得，
∴；
（2）略
（3）解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴联立抛物线与直线方程得： ，整理得到 ，
由题意得方程的两根为，，
∴，
轴，横坐标为，
，，
∴，
在线段上，不与，重合，
，
又∵，
∴，
因此得 ，
又 抛物线过，代入得： ，
整理得 ，
∴．0
2
3
6
…
0
…
年级
平均数
中位数
众数
七年级
a
70
八年级
m
b
c
销售单价元
16
18
20
22
日销售量束
24
20
16
12
发现问题确定目标
遮阳棚抗风加固
公交车安全停靠
模型抽象与图形表示
遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示．
公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．）
条件与规范整理
如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）．
车身完全覆盖要求：
公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．
垂直安全间隙要求：
车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞．
实测数据采集
棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米．
已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响．
0
2
3
6
…
0
…
年级
平均数
中位数
众数
七年级
a
70
八年级
m
b
c
销售单价元
16
18
20
22
日销售量束
24
20
16
12
发现问题确定目标
遮阳棚抗风加固
公交车安全停靠
模型抽象与图形表示
遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示．
公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．）
条件与规范整理
如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）．
车身完全覆盖要求：
公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．
垂直安全间隙要求：
车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞．
实测数据采集
棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米．
已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响．