湖南省衡阳市华新实验中学2025-2026学年八年级下学期期末 数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市华新实验中学2025-2026学年八年级下学期期末 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 若把分式中都扩大3倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的3倍B. 不变
C. 扩大到原来的9倍D. 缩小到原来的
4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A. 对角线相等的菱形是正方形B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 有两边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，5），点A在第二象限，反比例函数 的图象经过点A，则k的值是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）
11. 计算：的结果是__．
12. 九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）．
13. 如图，菱形的面积为24，若，则菱形的周长为_______．
14. 如图，已知直线和直线交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是__________．
15. 若方程有增根，则____________．
16. 如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形，，与交于点，与交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共8个小题，17、18题各6分，19题8分，20、21题各9分，22题10分，23、24题各12分）
17. 计算：．
18. 先化简，再在，0，1，2中选取一个适当的数代入求值．
19. 如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
20. 学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现将八年级1班和2班的成绩整理如下：
（1）填写表格；
（2）结合（1）中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由．
21. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
22. 某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案?最多可以购进乙种玩具多少件?
23. 如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点．

（1）求直线的解析式：
（2）请直接写出关于x的不等式的解集．
（3）连结，，试求的面积．
24. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点P是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（b为常数）的“友谊点”为．
（1）已知点，，则点A的“友谊直线”的解析式为_________；直线的“友谊点”的坐标为________．
（2）P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”（）经过点Q与点，求点P的“友谊直线”的解析式．
（3）直线l：（）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”．
①若m为整数，求点P的坐标；
②直线l与x轴，y轴分别相交于点A，B，．N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
数学
一、单选题（共10个小题，每题3分，共30分）
1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
根据分式的分母不为0即可求解．
解答过程：解：要使分式有意义，
则，
解得，
故选：A．
2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答过程：解：，
故选：C．
3. 若把分式中都扩大3倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的3倍B. 不变
C. 扩大到原来的9倍D. 缩小到原来的
答案：B
解析：
思路：本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题．
解答过程：解：把分式中都扩大3倍，则
，
分式的值不变．
故选：B．
4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，根据定义逐项判断即可．
解答过程：解：A.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意；
B.对于每一个x的值，都有唯一确定的y与其对应，符合题意；
C.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意；
D.存在一个x对应2个y的情况，不符合题意．
5. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．
解答过程：解：，
反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小，
点，都在反比例函数的图象上，，
．
∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∴.
故选：B．
6. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A. 对角线相等的菱形是正方形B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 有两边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
答案：C
解析：
思路：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟练掌握矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定方法是解题的关键．根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定定理判断即可．
解答过程：解：A、对角线相等的菱形是正方形，命题正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，命题正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题不正确，符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；
故选：C．
7. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
解答过程：解：∵－20，
∴点P (－2，＋1)在第二象限，
故选：B．
8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用“长度总价单价”表示出两种布的长度，再根据总长度列方程.
解答过程：解：∵设每尺绫布值文，绫布和罗布各1尺共值钱120文，
∴每尺罗布值文，
∵绫布总价为896文，罗布总价为896文，
∴绫布总长度为尺，罗布总长度为尺，
又∵绫布和罗布总长度共丈尺，总长度等于两种布长度之和，
∴列方程得.
9. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行和角平分线，推出均为等腰三角形，得到，进而得到，即可得解．
解答过程：解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，5），点A在第二象限，反比例函数 的图象经过点A，则k的值是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD＝OE，OD＝CE，设A（x，），则C（，−x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，即可得出，解方程组求得k的值．
解答过程：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵∠AOC＝90，
∴∠AOD＋∠COE＝90，
∵∠AOD＋∠OAD＝90，
∴∠OAD＝∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴AD＝OE，OD＝CE，
设A（x，），则C（，−x），
∵AC和OB互相垂直平分，点B的坐标为（2，5），
∴它们的交点F的坐标为（1，），
∴，
解得，
∴k＝−=，
故选：D．
方法提示：
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，正方形的性质，三角形求得的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）
11. 计算：的结果是__．
答案：##
解析：
思路：根据异分母分式减法法则进行计算即可求解．
解答过程：解：原式
．
故答案为：．
方法提示：本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
12. 九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）．
答案：丙
解析：
思路：本题考查了利用方差做决策，熟练掌握方差的稳定性是解题关键．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，由此即可得．
解答过程：解：∵甲、乙、丙三名同学的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，且，
∴丙同学发挥最稳定，
∴派丙同学去参赛更合适，
故答案为：丙．
13. 如图，菱形的面积为24，若，则菱形的周长为_______．
答案：20
解析：
思路：根据菱形的性质得到，，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案．
解答过程：解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的面积为24，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴菱形的周长．
14. 如图，已知直线和直线交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是__________．
答案：
解析：
思路：本题主要考查一次函数图像的性质，两条直线相交的交点为公共解，掌握一元函数图像的性质是解题的关键．根据函数图像可知，两条直线的交点坐标为,由此即可求解．
解答过程：解：∵直线和直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为．
故答案为：．
15. 若方程有增根，则____________．
答案：
解析：
思路：先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到整式方程的解，根据分式方程有增根的条件是未知数的值使分母为0建立关于k的方程，解方程即可得到答案．
解答过程：解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
∵原方程有增根，
∴，即，
∴，
∴．
16. 如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形，，与交于点，与交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
答案：①②③④
解析：
思路：根据正方形的性质得出，，，结合正方形的性质得出，，利用同角的余角相等证明，进而依据“”判定，得出，结合线段的和差关系即可判断结论①；根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定得出是等腰直角三角形，利用三角形内角和定理及对顶角性质计算，即可判断结论②；利用全等三角形面积相等进行割补，得出四边形的面积等于的面积，即可判断结论③；过点作于点，利用勾股定理表示和，结合垂线段最短的性质比较与的大小，进而判断结论④，综上即可求解．
解答过程：解：①∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
②设与相交于点，如图，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故结论②正确；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
④过点作于点，
∵是等腰直角三角形 ，
∴由勾股定理得：，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，即，故结论④正确；
综上所述，正确结论的序号是①②③④．
三、解答题（共8个小题，17、18题各6分，19题8分，20、21题各9分，22题10分，23、24题各12分）
17. 计算：．
答案：
解析：
解答过程：解：
．
18. 先化简，再在，0，1，2中选取一个适当的数代入求值．
答案：；当时，原式的值为
解析：
解答过程：解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴，且，
∴当时，原式．
19. 如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
答案：见解析
解析：
思路：根据平行四边形的性质，可证，，再证，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可求证．
解答过程：证明：，
，，
，
，即，
，即，
四边形是平行四边形．
20. 学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现将八年级1班和2班的成绩整理如下：
（1）填写表格；
（2）结合（1）中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由．
答案：（1）90，90，100；
（2）2班的竞赛成绩更加优秀.
解析：
思路：（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法分别进行计算，即可得出答案；
（2）从平均数、众数、中位数方面进行分析，即可得出答案．
（1）（1）八1班的平均数为：（分）
因为共有20个数，把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是(分)，
因为八2班A级人数所占的比例比较大，所以2班的众数是100分；
故答案为：90，90，100；
（2）解：因为1班、2班的中位数相等，但从平均数和众数两方面来分析，2班比1班的成绩更加优秀，
所以2班的竞赛成绩更加优秀．
方法提示：本题考查统计问题，涉及统计学相关公式，中位数、平均数和众数等知识，属于中等题型．
21. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
答案：（1）
四边形是菱形，
理由：∵，平分，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）的长为
解析：
思路：本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键．
（1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证；
（2）由题意得是等边三角形，根据即可求解.
（1）略
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴4，
22. 某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案?最多可以购进乙种玩具多少件?
答案：（1）甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）共有4种方案．具体方案见解析；最多可以购进乙种玩具28件．
解析：
思路：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，根据购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，可列出不等式组求解．
解答过程：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，
根据题意，得，
解得x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40-x=25．
答：甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，
根据题意，得960＜15y+25（48-y）≤1000，
解得20≤y＜24．
∵y是整数，
∴y取20，21，22，23，共有4种方案．
方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，
方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，
方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，
方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件，
则最多可以购进乙种玩具28件．
答：（1）甲，乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；（2）共有4种方案．方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件，方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件，方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件，方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件，最多可以购进乙种玩具28件．
方法提示：本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第2问以购进这两种玩具的总资金数做为不等量关系列不等式组求解．
23. 如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点．

（1）求直线的解析式：
（2）请直接写出关于x的不等式的解集．
（3）连结，，试求的面积．
答案：（1）
（2）或
（3）解析：
思路：（1）求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）即一次函数值大于反比例函数值，观察图象，写出x的取值范围即可求解；
（3）一次函数与y轴交与C点，可以看成由底均为OC的、组成，根据三角形面积的计算公式即可求解．
（1）由题意，将B点代入双曲线解析式，
，
，
双曲线为．
又在双曲线上，
，
，
将A、B代入一次函数解析式得，
．
直线的解析式为．
（2）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，
，，
不等式的解集为：或．
（3）设一次函数与y轴交与C点，可以看成由底均为OC的、组成，

当时，，
，
．
方法提示：本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是能够正确求出函数关系式．
24. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点P是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（b为常数）的“友谊点”为．
（1）已知点，，则点A的“友谊直线”的解析式为_________；直线的“友谊点”的坐标为________．
（2）P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”（）经过点Q与点，求点P的“友谊直线”的解析式．
（3）直线l：（）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”．
①若m为整数，求点P的坐标；
②直线l与x轴，y轴分别相交于点A，B，．N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
答案：（1），
（2） （3）①；②或或
解析：
思路：（1）按“友谊直线”的定义可求，求出直线的解析式为，根据“友谊点”的定义，即可求解；
（2）将代入解析式求出，根据“友谊点”的定义得P的坐标为， 点的对称得点Q的坐标为，即可求解；
（3）①由一次函数的性质得，求出的值为2，即可求解；②可求点B的坐标为，点A的坐标为，由，求出；分类讨论：当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，即可求解．
（1）解：点的“友谊直线”的解析式为．
，，
直线的解析式为，
直线的“友谊点”的坐标为．
故答案为：；．
（2）解：将代入，
得，
解得：，
．
根据定义，的“友谊点”P的坐标为，且P，Q两点关于x轴对称，
点Q的坐标为．
将代入，
得，
解得，
点P的“友谊直线”的解析式为．
（3）解：①直线l不经过第二象限，
，
解得：．
又为整数，
的值为2．
根据题意，直线l的“友谊点”P的坐标为，
点P的坐标为．
②当时，，
点B的坐标为．
当时，即，
解得，
点A的坐标为．
直线l不经过第二象限，
．
，
，
解得，
，
，，．
，
，
直线轴，
当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，
，
，
解得：，
；
当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，
，
，
解得：；
；
当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，
，，
点向左平移个单位，再向下平移个单位得到，
点向左平移个单位，再向下平移个单位得到，
；
综上所述：点N的坐标为或或．
方法提示：本题考查了新定义，一次函数的性质，平行四边形的判定及性质，理解新定义，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．班级
平均数
众数
中位数
八年级1班
______分
90分
______分
八年级2班
92分
______分
90分
班级
平均数
众数
中位数
八年级1班
______分
90分
______分
八年级2班
92分
______分
90分