福建省泉州市永春县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份福建省泉州市永春县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共13页。试卷主要包含了一组数据，已知一次函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：本试卷共6页。满分150分。
1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本考号、姓名等信息。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上。
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．中国芯片技术已经获得重大突破，7纳米芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7纳米米，则0.00000007用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．点关于轴对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的函数是正比例函数，则应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在平行四边形中，，对角线与相交于点，，，则的周长为（ ）
A．12B．14C．15D．19
6．一组数据：1，3，5，7，8，8，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，8B．5，7C．6，5D．6，8
7．已知一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象经过第一、二、三象限B．它的图象经过第一、三、四象限
C．它的图象经过第一、二、四象限D．它的图象经过第二、三、四象限
8．体育测试中，小明和小东进行1000米跑测试，小明平均速度是小东的1.1倍，小明比小东少用了30秒，设小东的平均速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
10．如图，在正方形中，，点、为对角线上的点，且，，点在正方形边上，则满足的点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．化简：__________．
12．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择__________．
13．菱形两条对角线的长分别为5和8，则这个菱形面积为__________．
14．反比例函数的解析式为，则在每一个象限内，随的增大而__________．
15．将直线向上平移5个单位，平移后得到直线解析式为，则原直线的解析式为__________．
16．如图，在矩形中，点是对角线BD的中点，点、分别在边、上，且过点，若，，则的长为__________．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
计算：．
18．（8分）
先化简，再求值：，其中．
19．（8分）
如图，四边形是平行四边形，、分别是、上的点，．求证：．
20．（8分）
某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表：
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照1：1：3确定每个人的综合成绩，应该录取谁？
21．（8分）
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数的图象上，求点的坐标．
22．（10分）
为加强对校园欺凌事件的预防，某县准备为试点学校采购一批甲、乙两种型号的AI语音识别一体机．经过市场调查发现，今年每套乙型一体机的价格比每套甲型一体机的价格多0.1万元，且用4.5万元购进甲型一体机与用6万元购进乙型一体机的数量相等．
（1）求今年每套甲型、乙型一体机的价格各是多少万元？
（2）该县明年预计增加试点学校，需采购甲型、乙型一体机共100套，且乙型的数量不少于甲型数量的，考虑物价因素，预计明年每套甲型AI语音识别一体机的价格比今年上涨20%，每套乙型一体机的价格不变，那么该县明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
23．（10分）
【问题情境】
对于任意正实数，，∵，
∴，
∴，只有当时，等号成立．
结论：在（，均为正实数）中，若为定值，则，当，有最小值．
【深入探究】
（1）根据上述内容，若，求的最小值；
【拓展延伸】
（2）探索应用：如图，已知，，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，轴于点，依次连结、、、，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
24．（13分）
如图，在正方形中，是射线上一点，连接，过点作，交射线于点．
图1 图2 备用图
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，
①求证：；
②求的值．
25．（13分）
如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积；
（3）点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）
永春县2024年春季八年级期末教学质量监测数学参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．B；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．B；8．D；9．A；10．B
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．；12．；13．20；
14．减小；15．；16．16．
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17．（8分）解：原式
18．（8分）解：原式
当时，原式
19．（8分）解：∵四边形是平行四边形
∴，
在和中
∴
∴
20．（8分）
解：（1）甲平均分为（分）
乙平均分为（分）
∵
∴以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人；
（2）甲综合成绩为（分）
乙综合成绩为（分）
∵
∴应该录取甲候选人．
21．（8分）解：（1）将代入中，得
解得
∴该函数的表达式为
（2）∵点在该函数的图象上
∴
解得
∴点的坐标为
22．（10分）
解：（1）设今年每套甲型的价格为万元，则乙型的价格为万元
由题意得：
解得：
经检验，是方程的解且符合题意
答：今年每套甲型的价格为0.3万元，乙型的价格为0.4万元；
（2）设明年需采购甲型一体机台，则乙型一体机台，利润为
∵乙型的数量不少于甲型数量的
∴
解得：
由题意得：
∵
∴随的增大而减小
∴当时，有最小值
（万元）
答：该县明年至少需要投入37.6万元才能完成采购计划．
23．（10分）
解：（1）依题意得：即
∴的最小值为6．
（2）设点坐标为
依题意得，
只有当时，等号成立
∴四边形面积的最小值为32，此时，点，点
∴
∴四边形为矩形
∵，
∴四边形为正方形．
24．（13分）解（1）∵四边形为正方形，是正方形的对角线
图1
∴
∵
∴，∴．
（2）①如图1，过点作于点，过点作于点
图1
∴
∵四边形为正方形，是正方形的对角线
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
②如图2，将绕点逆时针旋转90°，得到，连接
图2
由旋转的性质可得：为等腰直角三角形
∴，
∵
∴
∵
∴四边形为矩形，∴
∴．
25．（13分）解：（1）将代入得解得
∴反比例函数的表达式为
（2）∵轴，∴
∵点是的中点
∴，
∵轴于点，∴点和点横坐标相等
将代入得
∴点坐标为
设的解析式为，将代入得解得
∴的解析式为
将代入，得
∴点坐标为
∴，∴
（3）①当在轴正半轴时，如图1
在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得
过点作轴于点
图1
∵为等边三角形，∴，
在中，，∴，
设，则，由勾股定理得
即
解得（负值舍去）
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴，，∴
在中，
∴
∴，
∴，∴点坐标为
∵为反比例上的点
∴
即
∵为整数且在轴正半轴上
∴
②当在轴负半轴时，如图2
图2
在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得
过点作轴于点
∵为等边三角形
∴，
在中，
∴，∴
设，则，由勾股定理得
即，解得（负值舍去）
∴，，
同理可证：
∴，
在中，
∴，∴
∴
∴
∴点坐标为
∵为反比例上的点
∴，即
∵为整数且在轴负半轴上
∴
∴综上所述，的值为1或-5．甲
乙
丙
丁
平均数（分）
9.0
9.5
9.5
9.5
方差
3.1
3.1
6.6
5.2
候选人
文化水平/分
艺术水平/分
组织能力/分
甲
78
89
82
乙
84
92
76