福建省泉州市永春县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

福建省泉州市永春县2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．9的平方根是（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平方根的定义，可得9的平方根．

【详解】解：∵，

∴9的平方根为，

故选：C．

【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念和运算是解题的关键．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据同底数幂的乘方、乘法及除法与合并同类项依次计算判断即可．

【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；

B、，选项计算正确，符合题意；

C、，选项计算错误，不符合题意；

D、，选项计算错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】题目主要考查同底数幂的乘方、乘法及除法与合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题关键．

3．如图，在中，，，为的平分线，则的度数是（　　）

A．60° B．70° C．75° D．80°

【答案】C

【分析】由，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，然后利用角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理可求出．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵为的平分线，

∴，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等．也考查了三角形的内角和定理．

4．下列命题中，假命题的是（    ）

A．相等的两个角是对顶角 B．三边对应相等的两个三角形全等

C．等腰三角形的两底角相等 D．全等三角形的对应角相等

【答案】A

【分析】根据对顶角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质即可得出答案．

【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，符合题意；

B、三边对应相等的两个三角形全等，原命题是真命题，不符合题意；

C、等腰三角形的两底角相等，原命题是真命题，不符合题意；

D、全等三角形的对应角相等，原命题是真命题，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查对顶角，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确理解这些知识点是解题的关键．

5．如图，数轴上A，B，C，D四点中，与对应的点距离最近的是（    ）

A．点A B．点B C．点C D．点D

【答案】B

【分析】先估算出的范围，结合数轴可得答案．

【详解】解：∵，即12，

∴

由数轴知，与对应的点距离最近的是点B，

故选：B．

【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．

6．根据下列条件，能唯一画出的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

【详解】解：A．由，则不能画出三角形，故不符合题意；

B．由不能判定三角形全等，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意；

C．符合全等三角形的判定定理“”，能画出唯一的一个三角形，故符合题意；

D．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件、全等三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的5种判定方法是解答问题的关键．

7．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（    ）

A．10 B．13 C．13或17 D．17

【答案】D

【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，

由于，则三角形不存在；

（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，

所以这个三角形的周长为．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

8．已知，，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．9 D．18

【答案】D

【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行求解即可．

【详解】解：∵，，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查同底数幂乘法的逆运算，正确掌握运算法则是解题的关键．

9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（    ）

A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．

B．角平分线上的点到角两边的距离相等．

C．三角形三个内角的平分线交于同一个点．

D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等．

【答案】A

【分析】如图，过点P作于E点，于F点，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，从而可对各选项进行判断．

【详解】解：如图，过点P作于E点，于F点，

∵两把长方形直尺完全相同，

∴，

∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故选：A．

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．

10．如图，在中，，平分，于E，则下列结论：

①平分；②；

③平分；④，其中正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【分析】先运用角平分线性质得到，证明，得到，再运用勾股定理判断即可；

【详解】解：，AD平分，于E，

又，

,

平分，

，

，又，

,

,

正确的有①②④，

故选择：B

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和勾股定理，证明是解题的关键．

二、填空题

11．计算：______．

【答案】##

【分析】根据单项式与多项式的乘法法则计算即可.

【详解】解：，

故答案为：

【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加.

12．命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是：___________________________．

【答案】同位角相等，两直线平行

【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到逆命题．

【详解】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论是：同位角相等，

∴逆命题为：同位角相等，两直线平行，

故答案为：同位角相等，两直线平行．

【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

13．八年级某班50名同学的一次小测成绩被分成5组，第1至4组的频数分别为13、11、8、10，则第5组的频率是______．

【答案】

【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．

【详解】解：第5组的频数为：，

第5组的频率为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查频数与频率，解题的关键是熟练运用频数与频率的关系，本题属于基础题型．用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和．

14．如图，中，，边的垂直平分线分别交于点E、D，若的周长是21，则______．

【答案】9

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【详解】解：∵是线段的垂直平分线，

∴，

∵的周长为21，

∴，

∴又

∴，

故答案为：9．

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

15．如图，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______．

【答案】4

【分析】先根据BA⊥AC，CD∥AB证明∠DCA=∠BAC=90°，再根据等角的余角相等证明∠ACB =∠D，然后通过AAS可证明△ABC≌△ECD从而得出AC=CD=6，利用线段的和差可解.

【详解】∵BA⊥AC，CD∥AB

∴∠DCA=∠BAC=90°，∠B=∠BCD

∴∠B+∠ACB=90°

∵BC⊥DE

∴∠D+∠BCD=90°，

∴∠ACB =∠D.

在△ABC和△ECD中

∴△ABC≌△ECD

∴AC=CD=6.

∵AB=2

∴AE=AC-AB=4.

故填：4.

【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质定理，等角的余角相等.在本题中掌握三角形全等的几种判定定理，并能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此题的关键.

16．如图，在中，，，的平分线交于点D，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是______．

【答案】

【分析】作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，则，利用轴对称的性质及两点之间线段最短得出当时，线段最短，再由勾股定理及斜边上的中线的性质即可求解．

【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，则．

∵根据对称的性质知，

∴．

又∵是的平分线，点P在边上，点Q在直线上，

∴，

∴，

∴点在边上．

∵当时，线段最短．

∵在中，，，

∴，且当点是斜边的中点时，，

此时，

即的最小值是．

【点睛】题目主要考查轴对称的性质及两点之间线段最短，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形是解题关键．

三、解答题

17．计算：

【答案】

【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查多项式除以单项式，正确计算是解题的关键．

18．因式分解：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用平方差公式因式分解即可；

（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．

【详解】（1）解：

（2）

．

【点睛】题目主要考查利用提公因式及公式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．

19．先化简，再求值：，其中，．

【答案】，

【分析】根据完全平方公式，多项式乘以单项式的运算法则进行化简，再将，代入求值即可．

【详解】解：

，

当，时，原式．

【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，完全平方公式，多项式乘以单项式，正确化简是解题的关键．

20．如图，已知，，和交于点，求证：．

【答案】证明过程见详解

【分析】根据角角边判定，即可求解．

【详解】解：∵，（对顶角相等），，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定条件，边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边，及全等三角形的性质是解题的关键．

21．学校为了丰富课后服务内容，欲增加一些体育专项课程，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的项目”问卷调查（每人只选一项）．

根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：

(1)在这次问卷调查中，共问卷调查了多少名学生？

(2)求在扇形统计图中，喜欢“篮球”的所占的圆心角度数；

(3)如果全校共有学生名，请估计该校最喜欢“排球”的学生约有多少人？

【答案】(1)

(2)

(3)全校共有学生名，最喜欢“排球”的学生约有人

【分析】（1）扇形统计图中其它部分占，条形图中其它的人数是人，由此即可求解；

（2）根据圆心角的计算方法，乘以所在比例即可求解；

（3）根据图示算出排球的所占的比例，即可求解．

【详解】（1）解：扇形统计图中其它部分占，条形图中其它的人数是人，

∴问卷调查共有学生（名）．

（2）解：扇形统计图中“篮球”的比例是，

∴“篮球”的所占的圆心角度数为．

（3）解：羽毛球的人数是人，

∴羽毛球的占比是，

∴排球的占比为，

∴（名），

∴全校共有学生名，最喜欢“排球”的学生约有人．

【点睛】本题主要考查数据统计的知识，理解掌握利用个体比例求总体，圆心角的计算方法是解题的关键．

22．如图，BD是四边形的一条对角线．

(1)作的垂直平分线，分别交，于点E．F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹．不要求写作法）；

(2)若，，，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；

（2）连接，根据垂直平分线的性质得出，设，则，利用勾股定理求解即可．

【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求；

（2）证明：连接，

垂直平分线段，

，

∵，，

∴设，则，

∵即

解得：，

∴的长为5．

【点睛】本题综合考查了如何作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理解三角形等，熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化是解题关键．

23．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：如图1，可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

(1)如图2，将一张长方形纸板按图中裁剪成六块，其中有一块是边长为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，三块是长为a，宽为b的全等小长方形，观察图形，因式分解：______；

(2)如图3，若，，，求阴影部分的面积．

【答案】(1)

(2)11

【分析】（1）直接根据图形面积的计算方法即可得出结果；

（2）根据图形表示出阴影部分面积的代数式，然后利用完全平方公式变形得出，即可求解．

【详解】（1）解：根据图形可得：，

故答案为：；

（2）根据图形阴影部分的面积表示为：

，

∵，，

∴，

∴阴影部分的面积为．

【点睛】题目主要考查利用图形进行因式分解及列代数式表示图形的面积，完全平方公式的变形求值等，理解题意，找出图中面积的关系是解题关键．

24．如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接BE，

(1)当时，BE与AC交于点P，

①求证：；

②连接CD，求证：是等腰直角三角形；

(2)如图2，当时，连接CD，过点A作，垂足为M，交CD于点N．求证：．

【答案】(1)①见解析；②见解析；

(2)见解析

【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质即可证明；

②根据旋转的性质得出，，，，由全等三角形的判定得出，即可证明；

（2）延长交延长线于G，过点B作的延长线于点F，根据旋转的性质及矩形的判定得出四边形为矩形，，再由全等三角形的判定得出，，结合图形证明即可．

【详解】（1）证明：①∵将绕点A顺时针旋转得到，，

∴，，

∵，

∴，

∴；

②如图所示：

∵将绕点A顺时针旋转得到，，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（2）延长交延长线于G，过点B作的延长线于点F，如图所示：

∵将绕点A顺时针旋转得到，

∴，

∴， ，四边形为矩形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵四边形为矩形，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质及等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

25．如图1，在中，，，D是AC边上的动点，连接BD，作交BD于点E，交BC于点F．

(1)若，求的度数；

(2)如图2，若，试确定的形状，并说明理由；

(3)如图3，若，，求线段的长度．

【答案】(1)

(2)直角三角形，见解析；

(3)．

【分析】（1）根据等边对等角得出，根据题意可得，求解得出，进而，再由三角形的外角的性质即可得出答案；

（2）在上取点M使，先证明是等边三角形，得出，，即可得出答案；

（3）作交的延长线于M，是等腰三角形，作，得出，，，设，得出，解得：，进而，，最后得出．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；

（2）解：是直角三角形，

在上取点M使，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴是直角三角形；

（3）解：作交的延长线于M，是等腰三角形，作，

∵，

∴，，，

∴，

设，

，，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．