第4讲 基本不等式及其应用 综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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①已知 ab≠0，求 ab+ba 的最小值；解答过程：ab+ba≥2ab×ba=2；
②求函数 y=x2+5x2+4 的最小值；解答过程：可化得 y=x2+4+1x2+4≥2；
③设 x>1，求 y=x+2x−1 的最小值；解答过程：y=x+2x−1≥22xx−1，当且仅当 x=2x−1 即 x=2 时等号成立，把 x=2 代入 22xx−1 得最小值为4．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】A
【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当 ab0，y=x+2x−1=x−1+2x−1+1≥22+1，当且仅当 x−1=2，即 x=2+1 时取等号，故③的用法有误；
故使用正确的个数是0个，对应选项A.
【点拨】应用基本不等式求最值时，必须严格检验“一正、二定、三相等”三个条件是否同时满足，切忌盲目套用公式.
2.（2025·广东·3月联考）已知正数 a,b,c 满足 2a+6b+3c=8，则 a+b+2cb+c+1a+c 的最小值为（ ）
A. 22 B. 3+224 C. 32−1 D. 5+222
【答案】D
【解析】设 t=a+c，则 b+c=8−2(a+c)=8−2t，
故 a+b+2cb+c+1a+c=a+cb+c+1a+c+1=t8−2t+1t+1
=t−4+48−2t+1t+1=24−t+1t+12
=14(4−t+t)⋅24−t+1t+12
=142t4−t+4−tt+3+12
≥14(22+3)+12=5+224，当且仅当 t=42−4 时取等号.
【点拨】本题原卷选项D存在排版笔误，实际计算结果为 5+224.解题核心在于通过换元法将多元问题转化为一元或双变量问题，再利用“乘1法”构造基本不等式.
3.（2026·江西萍乡·二模）已知 a>0,b>0，4a+b=1，则 ba+1b 的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】因为 a>0,b>0，4a+b=1，
则 ba+1b=ba+4a+bb=ba+4ab+1
≥2ba⋅4ab+1=2×2+1=5.
当且仅当 ba=4ab，即 b=2a，结合 4a+b=1 得 a=16,b=13 时等号成立.
所以最小值为5.
【点拨】处理条件等式求最值时，常将常数项替换为已知表达式，展开后利用基本不等式求解.
4.（2026·湖北十堰·一模）已知正数 x,y 满足 x+y=xy，则 x+4y 的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】因为正数 x,y 满足 x+y=xy，两边同除以 xy 则 1x+1y=1，
可得 x+4y=(x+4y)1x+1y=1+4+4yx+xy=5+4yx+xy
≥5+24yx⋅xy=5+4=9，
当且仅当 4yx=xy，即 x=2y=3 时，等号成立，
所以 x+4y 的最小值为9.
【点拨】遇到“和等于积”的条件，优先考虑两边同除以积，转化为倒数和为定值的形式，再利用“乘1法”求解.
5.（2026·湖北黄冈·一模）已知 x,y 为正实数，且 x+y=1，则 x+9yxy 的最小值为（ ）
A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】由题可得 x+9yxy=1y+9x，
因为 x+y=1，
所以 1y+9x=(x+y)9x+1y=9+1+9yx+xy=10+9yx+xy
≥10+29yx⋅xy=10+6=16.
当且仅当 9yx=xy，即 x=34,y=14 时取等号.
故选：B.
【点拨】分离分子是处理分式求最值的常见手段，分离后结合已知条件构造基本不等式的形式.
6.（2025·上进·5月测评）已知正实数 x,y 满足 x2+y=6，则 lg3x+lg9y 的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】lg3x+lg9y=lg3x+12lg3y=lg3x+lg3y=lg3(xy).
因为 x2+y=6，且 x,y>0，
由基本不等式 x2+y≥2xy，即 6≥2xy，
所以 xy≤3，当且仅当 x2=y=3 时等号成立.
因为 y=lg3t 在 (0,+∞) 上单调递增，
所以 lg3(xy)≤lg33=1.
故最大值为1.
【点拨】对数运算与基本不等式的结合，关键在于利用对数运算法则将和转化为积，再利用基本不等式求真数的最值.
7.（2026·厦门双十·适应练习）设 a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1，若 1lga3+1lgb3=1，则 a+9b 的最小值为（ ）
A. 3 B. 63 C. 9 D. 18
【答案】B
【解析】由换底公式可得 1lga3+1lgb3=1⇒lg3a+lg3b=1⇒lg3(ab)=1⇒ab=3.
因为 a>0,b>0，
所以 a+9b≥2a⋅9b=29ab=227=63.
当且仅当 a=9b，即 a=33,b=33 时等号成立.
所以最小值为 63.
【点拨】利用对数的换底公式将条件转化为乘积为定值，进而直接利用基本不等式求和的最小值.
8.（2026·精诚·二模）已知 00，且 x+2y=2，则 (xy)max=12
【答案】BCD
【解析】对于A，∵x0，且 x+2y=2 时，2=x+2y≥2x⋅2y=22xy，∴xy≤22，即 xy≤12，
当且仅当 x=2y=1 时，xy 取最大值 12，故D正确.
【点拨】应用基本不等式时，必须保证各项均为正数，若为负数则需提取负号转化为正数再使用.三角函数求最值常利用 sin2x+cs2x=1 进行代换.
12.若 x,y∈R+，(x−y)2=(xy)3，则 1x+1y 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【解析】因为 (x−y)2=(xy)3 且 x,y∈R+，则两边同除以 (xy)2，得 1y−1x2=xy，
又因为 1x+1y2=1y−1x2+4xy=xy+4xy≥2xy⋅4xy=4，
当且仅当 xy=4xy，即 xy=2，结合 1y−1x2=2 可解得 x=2+2,y=2−2 时等号成立，
所以 1x+1y≥4=2.
【点拨】通过代数变形找出目标式与已知条件之间的联系，利用完全平方公式的展开式进行转化是解题的突破口.
13.已知 x>0，y>0，满足 x2+2xy−2=0，则 2x+y 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】6
【解析】由 x2+2xy−2=0，得 y=2−x22x=1x−x2，
因为 y>0，所以 x∈(0,2)，
所以 2x+y=2x+1x−x2=3x2+1x≥23x2⋅1x=232=6.
当且仅当 3x2=1x 即 x=63 时等号成立，
所以 2x+y 的最小值是 6.
【点拨】消元法是求最值的基本方法之一，将双变量问题转化为单变量问题后，再利用基本不等式求解.
14.若 a>0，b>0，c>0，a+b+c=2，则 4a+b+a+bc 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2+22
【解析】由题意，a>0，b>0，c>0，a+b+c=2，
设 a+b=m，c=n，则 m>0,n>0，且 m+n=2.
故 4a+b+a+bc=4m+mn=4m+2−nn=4m+2n−1
=m+n24m+2n−1=124+2+4nm+2mn−1
=3+2nm+mn−1=2+2nm+mn≥2+22nm⋅mn=2+22.
当且仅当 2nm=mn，即 m2=2n2，结合 m+n=2 解得 m=4−22,n=c=22−2 时取得等号.
【点拨】通过整体换元简化表达式，再利用“乘1法”将分式展开，是处理此类连加分式求最值的有效策略.
15.（13分）利用基本不等式证明：已知 a,b,c 都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
【答案】见解析
【解析】∵a,b,c 都是正数，
∴a+b≥2ab>0（当且仅当 a=b 时取等号）；3 分
b+c≥2bc>0（当且仅当 b=c 时取等号）；6 分
c+a≥2ca>0（当且仅当 c=a 时取等号）；9 分
将上述三个不等式同向相乘可得：
(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab⋅2bc⋅2ca=8abc，11 分
当且仅当 a=b=c 时取等号，
即 (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc 成立.13 分
【点拨】本题考查基本不等式的连用.在连续使用基本不等式并相乘时，必须确保不等式两边均为正数，且各不等式取等号的条件能够同时满足.
16.（15分）（2024·河南·阶段练习）已知 x，y，z 为正数，证明：
（1） 若 xyz=2，则 1x+1y+1z≤x2+y2+z22；
（2） 若 2x+y+2z=9，则 x2+y2+z2≥9．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1） 因为 xyz=2，所以 2x=yz≤y2+z22，同理可得 2y≤x2+z22，2z≤x2+y22，3 分
将以上三式相加可得：
2x+2y+2z≤y2+z22+x2+z22+x2+y22=x2+y2+z2，5 分
两边同除以2，故 1x+1y+1z≤x2+y2+z22，
当且仅当 x=y=z 时等号成立．7 分
（2） 由柯西不等式可得：
(22+12+22)(x2+y2+z2)≥(2x+y+2z)2，11 分
即 9(x2+y2+z2)≥(2x+y+2z)2，
因为 2x+y+2z=9，
所以 9(x2+y2+z2)≥92=81，13 分
所以 x2+y2+z2≥9，
当且仅当 x2=y1=z2，结合 2x+y+2z=9 即 x=2,y=1,z=2 时等号成立．15 分
【点拨】第一问巧妙利用乘积条件将倒数转化为两数之积，再利用基本不等式放缩；第二问是典型的利用柯西不等式求平方和最小值的模型，注意构造系数.
17.（15分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y (元) 与月处理量 x (吨) 之间的函数关系可近似的表示为 y=12x2−200x+80000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.
（1） 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2） 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】（1）400吨 （2）不获利，最大利润为−40000元，至少补贴40000元
【解析】（1） 由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为：
yx=12x2−200x+80000x=12x+80000x−2003 分
≥212x⋅80000x−200=240000−200=200；5 分
当且仅当 12x=80000x，即 x=400 时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.7 分
（2） 设该单位每个月获利为 S 元，则
S=100x−y=100x−12x2−200x+8000010 分
=−12x2+300x−80000
=−12(x−300)2−35000，12 分
因为 x∈[400,600]，二次函数 S 在 [400,600] 上单调递减，
所以当 x=400 时，S 取得最大值，Smax=−12(400−300)2−35000=−40000，
即 S∈[−80000,−40000]，14 分
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.15 分
【点拨】实际应用题中，建立正确的函数模型是关键.求平均成本最低时利用基本不等式，求总利润最大时利用二次函数的性质，注意自变量的实际取值范围对最值的影响.
18.（17分）已知 x>0,y>0，求 2xyx2+4y2+xyx2+y2 的最大值.
【答案】223
【解析】因为 x>0,y>0，将原式分子分母同除以 xy 得：
2xyx2+4y2+xyx2+y2=2xy+4yx+1xy+yx，4 分
设 t=xy(t>0)，所以原式化为：
2t+4t+1t+1t=2tt2+4+tt2+1=2t(t2+1)+t(t2+4)(t2+4)(t2+1)
=3t3+6tt4+5t2+4=3(t3+2t)t4+5t2+4，
分子分母同除以 t2 得：
3t+2tt2+5+4t2，8 分
令 u=t+2t(t>0)，由基本不等式得 u≥2t⋅2t=22.11 分
此时 t2+4t2=t+2t2−4=u2−4，
所以原式 =3uu2−4+5=3uu2+1=3u+1u，14 分
因为函数 f(u)=u+1u 在 [22,+∞) 上单调递增，
所以当 u=22 时，f(u) 取得最小值 22+122=924，
此时原式取得最大值 3924=432=223.
当且仅当 t=2t，即 t=2，也就是 x=2y 时等号成立.
故最大值为 223.17 分
【点拨】齐次分式求最值，常通过分子分母同除以某一项转化为单变量函数.本题两次使用换元法，第二次换元后利用对勾函数的单调性求最值是核心技巧.
19.（17分）（2024·湖北孝感·开学考试）截至 2022 年 12 月 12 日，全国新型冠状病毒的感染人数突破 44200000 人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
（1） 我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量 c(t)(单位：mg/L) 随着时间 t(单位：h).的变化用指数模型 c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数 k=0.1(单位：h−1)，刚注射这种新药后的初始血药含量 c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？ (精确到 0.01，参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)
（2） 为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为 48a 平方米 (a>0)，侧面长为 x 米，且 x 不超过 8，房高为 4 米.房屋正面造价 400 元 / 平方米，侧面造价 150 元 / 平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
【答案】（1）6.93小时 （2）当01时，x=8
【解析】（1） 由题意得，c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，
设该药在病人体内的血药含量变为 1000mg/L 时需要是时间为 t1，
由 c(t1)=2000e−0.1t1≥1000，2 分
得 e−0.1t1≥12，4 分
两边取自然对数得 −0.1t1≥−ln2，
∴t1≤ln20.1≈
∴ 该新药对病人有疗效的时长大约为 6.93h.7 分
（2） 由题意，底面积为 48a，侧面长为 x，则正面长为 48ax 米，9 分
故总造价 y=400×4×48ax+2×150×4x，
即 y=76800ax+1200x,(01 时，函数 y=76800ax+1200x 在 (0,8a) 上单调递减，
因为 x∈(0,8]，所以函数在 (0,8] 上单调递减，
可得当 x=8 时总价最低；
综上，当 01 时，侧面长 x=8 时总价最低.17 分
【点拨】本题是含参的最值问题.在利用基本不等式求最值时，求出的等号成立条件必须与自变量的实际取值范围进行比对，若等号条件不在范围内，则需利用函数的单调性求解边界最值.1
2
3
4
5
A
D
A
D
B
6
7
8
9
10
A
B
B
BC
ACD
11
12
13
14
15
BCD
2
6
2+22
见解析
16
17
18
19
见解析
（1）400吨 （2）不获利，最大利润为−40000元，至少补贴40000元
223
（1）6.93小时 （2）当01时，x=8