初中人教版（2024）15.1 图形的轴对称课时作业

这是一份初中人教版（2024）15.1 图形的轴对称课时作业，共9页。试卷主要包含了56等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.56
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•顺义区期末）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：A．
2．（2分）（2023•锦江区二模）已知点A（4，3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝﹣3对称，则平面内点B的坐标为（ ）
A．（0，﹣3）B．（4，﹣9）C．（4，0）D．（﹣10，3）
解：设点B的横坐标为x，
∵点A（4，3）与点B关于直线x＝﹣3对称，
∴＝﹣3，
解得x＝﹣10，
∵点A、B关于直线x＝﹣3对称，
∴点A、B的纵坐标相等，
∴点B（﹣10，3）．
故选：D．
3．（2分）（2022秋•罗定市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BCD＝30°，CD是△ABC的高，且BD＝2，则AD的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝4，
∴AB＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝6．
故选：A．
4．（2分）（2022秋•宜州区期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝2，则BC的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠C＝30°，
∴CD＝2CE＝4，
∵BA＝BC，BD平分∠ABC，
∴AC＝2CD＝8，
∴BC＝AC＝8，
故选：D．
5．（2分）（2021秋•孟村县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若AD＝3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（ ）
A．19B．16C．29D．18
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，AB＝2AD＝6，
∵△ACE的周长是13，
∴AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝13，
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC＝6+13＝19．
故选：A．
6．（2分）（2022秋•中卫期中）若点P（a﹣2，3）和点Q（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象D．第四象限
解：点P（a﹣2，3）和点Q（﹣1，b+5）关于y轴对称，得
a﹣2＝1，b+5＝3．
解得a＝3，b＝﹣2．
则点P（1，3）在第一象限，
故选：A．
7．（2分）（2022秋•青田县期中）如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
解：如图所示：
满足条件的点C有9个，
故选：B．
8．（2分）（2022秋•江汉区期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵BP＝BP，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE＝PQ，
∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图所示：
∵∠AEB＝90°，∠ABE＝70°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝20°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝125°．
故选：B．
9．（2分）（2021秋•依安县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
∴1+1+2＝4，
故选：A．
10．（2分）（2021秋•林口县期末）若a，b，为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣4|+＝0，则△ABC的周长为（ ）
A．8B．6C．8或10D．10
解：根据题意，a﹣4＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，
不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，
能组成三角形，
周长为2+4+4＝10．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 6 ．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故答案为：6．
12．（2分）（2022秋•赣县区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2022的值为 1 ．
解：∵E（2m，﹣n），F（3﹣n，﹣m+1）关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴（m﹣n）2022＝（﹣4+5）2022＝1．
故答案为：1．
13．（2分）（2022秋•大兴区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若∠A＝α，∠CPD＝β，当△PCD周长取到最小值时，α，β之间的数量关系是 α＝β ．
解：如图，连接AP．
∵MN垂直平分AC，
∴PA＝PC，∠PAC＝∠PCA，
∴PC+PD＝PA+PD，
当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．
∴△PCD周长最小值＝PC+PD+CD＝AD+CD．
∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∵∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠CAD，
∴∠BAC＝∠CPD，
即α＝β．
故答案为：α＝β，
14．（2分）（2022秋•海港区期末）如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 ②⑤ （填序号）．
解：①过点B作∠B的角平分线，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，
∴△ABD和△BCD是等腰三角形，
∴①正确；
②不能分成两个小等腰三角形；
③过点A作∠A的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD和△ACD是等腰三角形；
∴③正确；
④把点A分成36°和72°的角，
∴∠BAD＝36°，∠CAD＝72°，
∵∠A＝108°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠B，∠ADC＝∠CAD
∴△ABD和△ACD是等腰三角形；
∴④正确；
⑤不能分成两个小等腰三角形．
∴②⑤不能分成两个小等腰三角形
故答案为：②⑤．
15．（2分）（2022秋•灵宝市校级期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是 100°或142° ．
解：连接AD，
∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DH⊥AC，DG⊥AB，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝69°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠EDP2＝142°，
同理可得Rt△DEG≌Rt△DP1H，
∴∠EDG＝∠P1DH，
∴∠EDP1＝∠GDH＝100°，
故答案为：100°或142°，
16．（2分）（2020秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝3，DE＝5，则线段EC的长为 2 ．
解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠CFE＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
17．（2分）（2021春•峡江县期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝ 12 ．
解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝BF＝10，
∴AC＝AF+FC＝12．
故答案为：12．
18．（2分）（2021秋•浠水县期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°且OP＝6cm，点P和点P1关于射线OA对称，点P和点P2关于射线OB对称，则△P1OP2的周长是 18 cm．
解：连接OP1，OP2，P1P2．
∵点P和点P1关于射线OA对称，点P和点P2关于射线OB对称，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠BOP2，OP＝OP1＝OP2＝6（cm），
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴△P1OP2是等边三角形，
∴△P1OP2的周长为3×6＝18（cm），
故答案为：18．
19．（2分）（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为 134° ．
解：连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝62°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣62°﹣51°＝67°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，
故答案为134°．
20．（2分）（2021秋•闵行区校级月考）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝4，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 5 ．
解：如图，作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，连接OM'，ON'，连接M'N'，即为MP+PQ+QN的最小值，
根据轴对称的定义得∠N'OQ＝∠M'OB＝30°，∠ONN'＝60°，
∴△ONN'为等边三角形，△OMM'为等边三角形，
∴∠N'OM'＝90°，OM'＝OM＝3，ON'＝ON＝4，
在Rt△M'ON'中，M'N'＝＝5，
∴MP+PQ+QN的最小值为5，
故答案为：5．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•苍溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长．
（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13﹣5＝8，
∴AC＝AB＝8，
22．（6分）（2022秋•沂源县期中）如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN＝5cm，求△OEF的周长．
解：根据轴对称的性质得：OE＝EM，OF＝FN
△OEF的＝OE+OF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝5cm
∴△OEF的周长为5cm．
23．（6分）（2021秋•源城区校级期末）如图，将一张长方形纸条ABCD按沿EF所在直线折叠，若折叠角∠FEC＝64°．
（1）求∠1的度数．
（2）求证：△EFG是等腰三角形．
（1）解：∵一张长方形纸条ABCD折叠，折叠角∠FEC＝64°．
∴∠GEF与∠FEC重合，
∴∠GEF＝∠FEC＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠GEB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
（2）证明：∵∠FGE＝∠1＝52°，
∵AD∥BC，
∴∠GFE＝∠FEC＝64°，
∴∠GEF＝180°﹣52°﹣64°＝64°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴△EFG是等腰三角形．
24．（6分）（2022秋•磁县期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求．
25．（6分）（2023春•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
26．（6分）（2022秋•北京期末）如图，△ABC中，AB＜AC，点D为BC边中点，∠BAD＝α．作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB交直线AB'于点F．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AB'E和∠AFC的度数（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AB，AF，CF之间的数量关系，并证明．
解：（1）如图：
∵点B关于直线AD的对称点B'，
∴AB＝AB′，
∴△ABE≌△AB′E，
∴∠BAF＝∠BAD＝a，∠AEB＝∠AEB′＝90°，
∴∠AB′E＝90°﹣a，
∵CF∥AB，
∴∠AFC＝180°﹣2a；
（2）AF＝AB+CF；
理由：如图：
连接B′C，B′D，
∵点B关于直线AD的对称点B'，D平分BC
∴BD＝CD＝DB′，
∴∠BB′C＝90°，
∴∠CB′B＝90°﹣∠AB′B＝a，
∴∠B′CF＝180°﹣∠CB′B﹣∠F＝a，
∴∠CB′B＝∠B′CF，
∴CF＝CB′，
∵AB＝AB′，
∴AF＝AB′+B′F＝AB+CF．
27．（8分）（2022秋•和平区校级期末）如图，在等边△ABC外侧作直线AP，记∠BAP＝α（0°＜α＜60°），点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，CD交AP于P，交AB于E．
（1）当α＝20°时，求∠ACP的大小；
（2）试找出PA、PC、PD三条线段的长度之间满足的用等号连接的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵B，D关于AP对称，
∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝20°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠DAC＝100°，AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝40°，即∠ACP＝40°；
（2）结论：PC＝PB+PA．
理由：连接PB．在PC上取一点J，使得PB＝PJ，连接BJ．
∵∠DAC＝60°+2α，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣60°﹣2α）＝60°﹣α，
∴∠BCE＝∠PAE＝α，
∵∠AEP＝∠BEC，
∴∠APC＝∠EBC＝60°，
∴∠APD＝∠APB＝120°，
∴∠BPC＝60°，
∵PB＝PJ，
∴△PBJ是等边三角形，
∴∠PBJ＝∠ABC＝60°，BJ＝BP，
∴∠APB＝∠CBJ，
∵BA＝BC，
∴△ABP≌△CBJ（SAS），
∴PA＝CJ，
∴PC＝PJ+CJ＝PB+PA．
28．（8分）（2022秋•海淀区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α．作△ACD，使得AC＝CD．
（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝ α （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH＝BC；
（3）若△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD与∠BAC满足什么关系？请直接写出你的结论．
（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠ACD与∠BAC互余，
∴∠ACD＝90°﹣α，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，
故答案为α；
（2）证明：作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，AC＝AD，
∴∠EAC＝∠BAC，∠ACH＝∠ACD，CE＝BC，
∴∠EAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD），
∵∠ACD与∠BAC互补，
∴∠EAC+∠ACH＝×180＝90°，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ACH，
∵∠AHC＝∠AEC＝90°，AC＝AC，
∴△ACH≌△ACE（AAS），
∴CH＝EC＝BC；
（3）
∠ACD＝∠BAC或∠ACD与∠BAC互补；理由如下：
如图1，作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，
∵△ABC与△ACD的面积相等，
∴AC×BN＝AC×DM，
∴BN＝DM，
∵DC＝AB，
∴Rt△DMC≌Rt△BNA（HL），
∴∠ACD＝∠BAC；
如图2，作CF⊥AB于F，DG⊥AC交AC延长线于G，
∵△ABC与△ACD的面积相等，
∴AC×DG＝AB×CF，
∴DG＝CF，
∵AC＝CD，
∴Rt△ACF≌Rt△CDG（HL），
∴∠BAC＝∠DCG，
∵∠DCG+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC与∠ACD互补．
29．（8分）（2022秋•全南县期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：DE＝DB+EC．
（2）如图2，若F是∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACG的平分线的交点，（1）中的其他条件不变，请猜想线段DE，DB，EC之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（1）证明：如图，
∵△ABC中BF、CF平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠4．
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠6＝∠5．
∴BD＝DF，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE．
（2）解：DE+EC＝BD，理由：
∵BF分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC．
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴BD＝DF．
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF＝∠FCG．
∵DF∥BC，
∴∠DFC＝∠FCG，
∴∠ACF＝∠DFC，
∴CE＝EF，
∴EF+DE＝DF，即DE+EC＝BD