初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.2 分式的乘法与除法第2课时教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.2 分式的乘法与除法第2课时教学设计，共15页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

●归纳导入
1．复习乘方的概念：
2．计算下列各题：
(1)24＝ 2×2×2×2 ＝ 16 ；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,3)× eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,27) ；
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10))) eq \s\up12(5)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10))) ＝ － eq \f(1,100 000) ；
(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(a,b)· eq \f(a,b)＝ eq \f(a2,b2) ；
(5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(a,b)· eq \f(a,b)· eq \f(a,b)＝ eq \f(a3,b3) ；
(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(4)＝ eq \f(a,b)· eq \f(a,b)· eq \f(a,b)· eq \f(a,b)＝ eq \f(a4,b4) .
提问：由以上计算的结果你能推出 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(n)（n为正整数）的结果吗？
分式乘方的法则：分式乘方要 把分子、分母分别乘方 .
【教学与建议】教学：根据乘方的意义和分式乘法的法则推导出分式乘方的运算法则．建议：教学中注意先引导学生观察若干特例后，再归纳出分式乘方的运算法则．
●置疑导入
1．美术课上需要一张边长为 eq \f(b,a) cm的正方形卡纸，它的面积为 eq \f(b2,a2) cm2.
2．一个正方体的容器，它的棱长为 eq \f(b,a) cm，则它的容积为 eq \f(b3,a3) cm3.
3．an＝个 （n为正整数，底数a可以表示一个数，一个整式或代数式，也可以表示一个分式），当底数为分式，m为正整数时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a))) eq \s\up12(m)表示分式的乘方，怎样计算分式的乘方呢？
【教学与建议】教学：从实际生活中的实例引入课题，使学生在实际生活中感受、体会即将学习的相关数学知识，展开对新知识的探索．建议：充分利用例题，让学生推导出分式乘方的运算法则．
· 命题角度1 分式的乘方运算
分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．
【例1】计算：(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b3,2a))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(b6,4a2) ；(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3b,2a))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(9b2,4a2) ；
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y,－3x))) eq \s\up12(3)＝ － eq \f(8y3,27x3) ；(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,x－b))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(9a2,x2－2bx＋b2) .
· 命题角度2 分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算，一般先将除法运算转化为乘法运算，再按照分式的乘法法则统一进行计算．
【例2】(1)化简 eq \f(16－a2,a2＋4a＋4)÷ eq \f(a－4,2a＋4)· eq \f(a＋2,a＋4)，其结果是(A)
A．－2 B．2 C．－ eq \f(2,(a＋2)2) D． eq \f(2,(a＋2)2)
(2)化简：
① eq \f(y2,3x2)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4y,x2)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9x,2y3)))＝ eq \f(3x,8y2) ；
② eq \f(a－b,a＋b)÷ eq \f(1,b－a)· eq \f(1,a－b)＝ － eq \f(a－b,a＋b) .
· 命题角度3 分式的乘除、乘方混合运算
计算分式的乘除、乘方混合运算时，要注意乘方后的符号，并数清分式中负号的个数，从而确定最后结果的符号．此外，还要注意运算顺序：先乘方，再乘除．
【例3】计算：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2x4y2,3z))) eq \s\up12(3)； (2) eq \f(a2－b2,a2＋2ab＋b2)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,a＋b))) eq \s\up12(2)； (3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ab3,－c2d))) eq \s\up12(2)÷ eq \f(6a4,b3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3c,b2))) eq \s\up12(3).
解：(1)原式＝－ eq \f(8x12y6,27z3)；
(2)原式＝ eq \f(a＋b,a－b)；
(3)原式＝－ eq \f(18b3,a2cd2).
· 命题角度4 利用分式的乘除混合运算化简求值
利用分式的乘除运算法则进行化简后，代入已知条件进行求值．
【例4】(1)如果a2＋2a－1＝0，那么式子 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(4,a)))· eq \f(a2,a－2)的值是(C)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)化简求值： eq \f(2ab2,a＋b)÷ eq \f(ab3,a2－b2)·[ eq \f(1,2(a－b))]2，其中a＝－2，b＝3.
解：原式＝ eq \f(1,2b(a－b)).当a＝－2，b＝3时，原式＝ eq \f(1,2×3×(－2－3))＝－ eq \f(1,30).
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握分式乘方的运算法则．
2．能熟练地进行分式的乘方、乘除混合运算．
▲重点
熟练地进行分式的乘方运算．
▲难点
进行分式的乘方、乘除混合运算的符号问题．
◆活动1 新课导入
1．根据乘方的意义计算：
(1)34＝ 3×3×3×3 ＝ 81 ；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,3))) eq \s\up12(4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) ＝ eq \f(1,81) .
2．填空：
(1)am·an＝ am＋n ； (2)am÷an＝ am－n ；
(3)(am)n＝ amn ； (4)(ab)n＝ anbn .
◆活动2 探究新知
1．教材P149 例4.
提出问题：
(1)计算： eq \f(1,3)÷3÷ eq \f(5,2)×5的值，谈谈分数的运算顺序是什么；
(2)分式乘除混合运算的一般步骤是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P149 思考．
提出问题：
(1)根据乘方的意义和分式的乘法法则，你能推出分式的乘方法则吗？
(2)分式的乘除、乘方混合运算的一般步骤是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．分式乘除的混合运算可以统一为 乘法运算 ，再从左到右依次计算．分式乘方、乘除的混合运算，先 乘方 ，再 乘除 ，注意先确定运算结果的 符号 .
2．分式乘方要把分子、分母分别 乘方 ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(n)＝ eq \f(an,bn) ，其中n为正整数，且b≠0.
◆活动4 例题与练习
例1 教材P149 例5.
例2 计算：
(1)－ eq \f(b2,2a)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a2))) eq \s\up12(3)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ab))) eq \s\up12(3)；
解：原式＝ eq \f(a8b2,2)；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－y2,xy))) eq \s\up12(2)÷(x＋y)2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,x－y))) eq \s\up12(3).
解：原式＝ eq \f(x,y2(x－y)).
例3 先化简，再求值： eq \f(a－1,a＋2)· eq \f(a2－4,a2－2a＋1)÷ eq \f(1,a2－1)，其中a满足a2－a＝0.
解：原式＝a2－a－2.∵a2－a＝0，∴原式＝0－2＝－2.
练习
1．教材P150 练习第1，2题．
2．下列计算中，正确的是(D)
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3b))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(12a3,9b3) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－y,x＋y))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(x2－y2,x2＋y2)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y3,x2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(y9,x4) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,a－b))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(27a3,(a－b)3)
3．计算 eq \f(x2,y)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x))) eq \s\up12(2)的结果是(A)
A．－x B．－ eq \f(x2,y) C． eq \f(x,y) D． eq \f(x2,y)
4．计算： eq \f(a2－b2,(a－b)2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b－a,ab))) eq \s\up12(2)÷ eq \f(a＋b,a)＝ eq \f(a－b,ab2) .
5．先化简，再求值： eq \f(b2,a2－ab)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a－b))) eq \s\up12(2)· eq \f(a2b,a－b)，其中a＝ eq \f(1,2)，b＝－3.
解：原式＝ab.当a＝ eq \f(1,2)，b＝－3时，原式＝－ eq \f(3,2).
◆活动5 课堂小结
1．分式乘方的运算法则．
2．分式乘除、乘方混合运算的方法．
1．作业布置
(1)教材P150～151 习题18.2第3，4，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思