数学八年级上册（2024）16.1.1 同底数幂的乘法教学设计

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16．1.1 同底数幂的乘法
教师备课 素材示例
●复习导入 复习旧知识、引入新课题：
由学生独立完成下列题目，教师引导学生复习乘方的相关知识．
(1)求n个相同乘数的积的运算，叫作 乘方 ，乘方的结果叫作 幂 ，则写成乘方的形式为 an ，其中a叫作 底数 ，n叫作 指数 ，an读作“ a的n次方 ”或“ a的n次幂 ”；
(2)a3表示 3 个 a 相乘，把a3写成乘法的形式为a3＝ a·a·a ；
(3)a3，a4，a，a2，它们的指数相同吗？它们的底数相同吗？
(4)式子102×103的意义是什么？这个积中的两个因式有何特点？
(5)怎样计算102×103？谈谈你的想法；
(6)怎样计算a2·a3？谈谈你的想法；
(7)通过以上例子你有何发现？你能用字母来表示吗？谈谈你的想法．
【教学与建议】教学：通过乘方概念的形成过程推导出同底数幂的乘法性质．建议：分小组讨论后完成解答，在教学时教师要充分利用实例．
●归纳导入 填空：（学生完成）
(1)52×53＝( 5×5 )×( 5×5×5 )＝ 5×5×5×5×5 ＝ 55 ；
(2)102×103＝ (10×10)×(10×10×10) ＝ 10×10×10×10×10 ＝ 105 ；
(3)a3·a2＝ (a·a·a)·(a·a) ＝ a·a·a·a·a ＝ a5 .
猜想：
(1)a4·a5＝ ＝ ＝ a9 ；
(2)10m×10n＝＝ ＝ 10m＋n ；
(3)am·an＝ am＋n （m，n都是正整数）.
我们可以这样想：
am·an＝ ＝ ＝ am＋n .
【归纳】同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 .
【教学与建议】教学：教学时教师运用归纳、类比思想进行讲解．建议：教师提出问题让学生大胆探索，以此引起学生的求知欲并引导学生归纳总结．
· 命题角度1 直接利用同底数幂的乘法法则进行计算
熟练运用am·an＝am＋n计算．
【例1】计算x3·x6的结果是(C)
A．x2 B．x3 C．x9 D．x18
【例2】计算(－x2)·(－x)4的结果是 －x6 .
· 命题角度2 同底数幂的乘法法则的逆运算
当一个幂的指数中含有加法运算时，可逆用am＋n＝am·an.
【例3】设am＝4，an＝6，则am＋n等于(D)
A．4 B．6 C．10 D．24
【例4】若3a＝2，3b＝5，则3a＋b+1的值为(A)
A．30 B．10 C．6 D．38
【例5】已知am＝3，am＋n＝9，则an＝ 3 .
幂的含义及其历史
在我国古代，“幂”字的早期含义是泛指方形的东西，到了三国时代，刘徽给《九章算术》作注时第一次在数学中使用幂表示乘积，到明朝徐光启翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂，明确地给幂下了定义．
在西方，作为数学术语的幂，在英语里是pwer，原意是权力、威力或能力，后来引申为数学术语，1591年法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中已有现代意义的幂的概念了．
20世纪初，五四运动前后，我国数学逐渐学习西方，译名很不统一.1935年，当时的教育部公布《数学名词》，确定将“invlutin”译为乘方，“pwer”译为幂或乘幂.1956年中国科学院编订《数学名词》，重新明确“invlutin”为乘方，而“pwer”确定为幂或乘方，为了与“invlutin”相区别，通常认为“pwer”（幂）作为乘方的结果，而不是乘方．
高效课堂 教学设计
1．会运用法则，熟练进行同底数幂的乘法运算．
2．经过知识点的专题训练，培养学生逆向思维能力．
▲重点
运用同底数幂的乘法法则进行计算．
▲难点
逆用同底数幂的乘法法则．
◆活动1 新课导入
复习乘方的意义，师生共同回忆．
an表示n个a相乘，这种运算叫乘方，其结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数，即an＝
◆活动2 探究新知
1．教材P98 问题．
提出问题：
(1)电子计算机工作103 s可以进行多少次运算？能用学过的知识来解决这个问题吗？
(2)式子1016×103表示的意义是什么？
(3)你会计算1016×103吗？怎样计算？
学生完成并交流展示．
2．教材P98 探究．
提出问题：
(1)探究中的式子与1016×103有何共同点？
(2)根据乘方的意义计算探究中的算式，观察计算结果，你能找出计算前后底数和指数的变化规律吗？
(3)你能用简洁的语言总结你发现的规律吗？
学生完成并交流展示．
3．已知3m＝5，3n＝4，求3m＋n的值．
提出问题：
上面已经学习了同底数幂的乘法运算法则，你能否根据同底数幂的乘法运算法则将3m＋n转化成3m·3n，再对其进行计算吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 ，即am·an＝ am＋n （m，n都是正整数）．
2．同底数幂的乘法运算法则的逆用：am＋n＝ am·an （m，n都是正整数）．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P99 例1.
例2 计算：
(1)a2·a5·a7；(2)102×103×105；(3)(b＋1)2·(b＋1)3；(4)xm·x2n+1·xn.
解：(1)原式＝a14；
(2)原式＝1010；
(3)原式＝(b＋1)5；
(4)原式＝xm+3n+1.
例3 计算：
(1)(－a6)·(－a)3·(－a2)·(－a)4；
(2)(p－q)2·(q－p)3·(p－q)4；
(3)1 000×100×10m.
解：(1)原式＝－a15；
(2)原式＝(q－p)9；
(3)原式＝105+m.
例4 已知am＝2，an＝3，求am＋n的值．
解：am＋n＝am·an＝2×3＝6.
练习
1．教材P99 练习第1，2题．
2．化简(－x)3·(－x)2，结果正确的是(D)
A．－x6 B．x6 C．x5 D．－x5
3．下列算式中，结果等于a6的是(D)
A．a4＋a2 B．a2＋a2＋a2 C．a2·a3 D．a2·a2·a2
4．计算：
(1)a·a9；(2)x3n·x2n+2；
(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(3)；(4)(x－y)3·(x－y)2.
解：(1)原式＝a10；
(2)原式＝x5n+2；
(3)原式＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(5)；
(4)原式＝(x－y)5.
5．已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值．
解：4x·4y＝4x＋y＝8×32＝256＝44，∴x＋y＝4.
◆活动5 课堂小结
1．同底数幂的乘法运算法则．
2．同底数幂的乘法运算法则的逆用：am＋n＝am·an（m，n都是正整数）．
1．作业布置
(1)教材P101 习题16.1第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思