人教A版 (2019)必修 第一册集合的基本运算导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册集合的基本运算导学案及答案，文件包含译林版九年级上册英语期末听力测试卷一-参考答案docx、译林版九年级上册英语期末听力测试卷一docx、译林版九年级上册英语期末听力测试卷一mp3等3份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
集合间的基本运算知识梳理
一、核心运算定义与性质
1.交集
定义：由所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的交集，记作，读作“交”。
符号表示：且。
Venn图表示：阴影部分为（两圆重叠区域）。
基本性质：
1.交换律：；
2.结合律：；
3.自反性：；
4.与空集关系：；
5.包含关系：，；若，则。
示例：设，，则；设，，则。
2.并集
定义：由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与集合的并集，记作，读作“并”。
符号表示：或（注：“或”为逻辑“或”，包含既属于又属于的元素）。
Venn图表示：阴影部分为（两圆覆盖的全部区域）。
基本性质：
1.交换律：；
2.结合律：；
3.自反性：；
4.与空集关系：；
5.包含关系：，；若，则。
示例：设，，则；设，，则（全体实数集）。
3.补集
前提：研究集合关系时，所涉及的所有集合都必须是某个给定全集的子集，全集是包含研究对象所有元素的集合（通常根据实际问题确定，如无特殊说明，全集可为实数集）。
定义：对于一个集合，由全集中所有不属于集合的元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集，记作，读作“在中的补集”。
符号表示：且。
Venn图表示：阴影部分为（矩形内圆外的区域，矩形代表全集，圆代表集合）。
基本性质：
1.互补性：，；
2.双重补集：；
3.与全集关系：，；
4.包含关系：若，则。
示例：设，，则；设，，则。
二、常考结论与技巧
1.德·摩根定律（补集的核心运算律）
定律内容：
1.（“交的补等于补的并”）；
2.（“并的补等于补的交”）。
推广应用：对多个集合仍成立，如。
应用场景：当需要求“多个集合交集的补集”或“多个集合并集的补集”时，可转化为补集的并或交，简化运算。
2.集合运算的分配律
分配律内容：
1.（交集对并集的分配律）；
2.（并集对交集的分配律）。
示例验证：设，，，则，，二者相等。
3.集合运算与包含关系的转化（高频考点）
核心转化式：
1.；
2.；
3.。
应用价值：将抽象的运算关系转化为直观的包含关系，尤其适用于含参数的集合问题（如由直接得出，进而分情况讨论参数）。
4.容斥原理（元素个数计算）
二元容斥：对于有限集合、，元素个数满足（“并集元素个数=两集合元素个数之和-交集元素个数”）。
5.数集运算的数轴辅助技巧
适用场景：以不等式形式表示的数集（如区间型集合）的交、并、补运算。
操作步骤：
1.画数轴，标注全集（如）；
2.在数轴上分别表示出集合、等的范围（空心点表示不包含端点，实心点表示包含端点）；
3.交集：取数轴上重叠的区间；并集：取覆盖的所有区间；补集：取全集内未覆盖的区间。
易错提醒：端点值需单独验证是否满足集合条件（如与的交集为空集，并集为）。
6.空集的运算特性（易忽略点）
结论1：若，则，且。
结论2：若，则，且。
应用：已知两集合交集为空或并集为全集时，可借助补集转化为包含关系，缩小参数讨论范围。
7.交叉运算的简化结论
结论1：（“交集吸收并集”）；（“并集吸收交集”）。
结论2：，可推广至个集合。
三、易错点总结
1.“或”“且”逻辑混淆：并集中的“或”包含“既属于又属于”的情况，不可遗漏公共元素；交集中的“且”要求元素同时满足两集合条件，不可扩大范围。
2.全集定义模糊：补集运算必须依赖明确的全集，若题目未指定，默认全集为实数集，但涉及整数、正实数等特殊场景时需调整。
3.参数问题漏解：涉及、等含参数的问题时，需优先考虑集合为空集的情况（如一元二次方程判别式小于0时，对应集合为空集）。
4.端点值处理失误：数轴分析时，混淆空心点与实心点（如与的差异），导致交集、并集范围出错。
5.容斥原理误用：计算有限集元素个数时，忽略“交集元素重复计数”，直接用代替。
题型分类
知识讲解与常考题型
【题型一：交集并集补集的概念及其运算】
例题精选
【例题1】（24-25高三上·福建三明·阶段练习）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，与集合求交集即可得解.
【详解】因为，则，又，
所以.
故选：B
【例题2】（25-26高二上·山西·开学考试）已知全集，，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的并集与补集运算计算.
【详解】因为，，所以.
又因为，所以
故选：D
相似练习
【相似题1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知全集，集合，，则（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【分析】解方程求得集合，利用并集的意义求得，进而求得.
【详解】由题意得，又，则，
所以或．
故选：C.
【相似题2】（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）先求集合，根据集合的交集和并集运算即可求解；
（2）根据集合的补集和交集运算即可求解.
【详解】（1）由题意有，
所以，
；
（2）所以，
或，
所以，
【解题策略】
一、核心概念与符号规范（必记）
集合运算本质是元素的“筛选”与“整合”，核心定义及符号如下：
关键性质：
交集：；；若，则。
并集：；；若，则。
补集：；；。
二、核心运算方法（按类型选）
1.列举法集合：直接找元素
适用场景：元素明确列出（如）。
交集：筛公共元素；并集：合并去重；补集：全集剔中元素。
2.描述法集合：转范围/条件
适用场景：含不等式、函数条件（如）。
数轴法（数集首选）：
交集取区间重叠部分，并入取覆盖部分，补集取剩余部分。
示例：，，则，。
条件推导法（非数集）：
交集用“且”逻辑，并集用“或”逻辑，补集用“属于且不属于”逻辑。
3.含参数集合：分类+验证
适用场景：集合含未知参数（如）。
步骤：①讨论特殊情况（如时是否为空集）；②化简集合；③运算；④验证互异性。
三、高考高频题型与模板
题型1：已知运算结果求参数范围
模板：
1.定类型：数集用数轴法；
2.画区间：标出已知集合，设参数区间；
3.列条件：如则区间无重叠；
4.验端点：验证边界值是否有效。
题型2：运算与方程/不等式结合
模板：
1.化简集合：解方程/不等式；
2.讨参数：判断集合是否为空集；
3.算运算：分情况求交/并/补；
4.整结果：用集合/区间表示。
四、避坑指南（5大易错点）
1.漏判空集：含参数时先看集合是否为空；
2.端点错取：分清“实心”（含端点）与“空心”（不含）；
3.忽略全集：补集运算先明确；
4.逻辑混淆：交集“且”、并集“或”别颠倒；
5.并集漏去重：合并元素需去重复值。
【题型二：由交集并集补集求参数范围】
例题精选
【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 .
【答案】{或}
【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解.
【详解】因为，
所以当时，；当时，.
因为，所以.
方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足；
当时，或，解得或.
即实数的取值范围为或.
方法二 ，考虑的反面，
显然时符合；
当时，需满足且，即且.综上得.
由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或.
故答案为：或.
【例题2】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知集合．若，则的取值集合为．
(1)求集合．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合中元素与集合的关系列不等式关系即可得的取值集合；
（2）根据集合运算关系列不等式关系即可得实数的取值范围.
【详解】（1）若，则，解得，
所以的取值集合为；
（2）若，则，则，即，
则或，
要满足，则或，解得或，
所以实数的取值范围是.
相似练习
【相似题1】（22-23高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若___________，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）可得出，时，得出集合，然后进行并集的运算即可；
（2）若选条件①，可得出，然后讨论是否为空集：时，得出；
时，得出，然后解出的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出的取值范围．
【详解】（1）时，，，
∴；
（2）若选择①，则，
时，，解得；
时，，解得：；
综上知，实数的取值范围是；
若选择②，则的子集，，
时，，解得；
时，或，解得：或
综上所述，的取值范围是：；
若选择③，则：
时，，解得；
时，或者解得：或
综上知，实数的取值范围是：．
【相似题2】（22-23高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，
【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；
选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；
选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合.
【详解】（1）解：当时，，
又因为，故.
（2）解：若选①，当时，，则，满足，
当时，，若，则或，解得或.
综上所述，；
若选②，，则.
当时，，满足；
当时，，因为，则或，解得或.
综上所述，；
若选③，当时，，满足；
当时，则，因为，则或，解得或.
综上所述，.
【解题策略】
一、核心逻辑：从“运算结果”到“参数约束”
集合运算结果（如、）本质反映集合间的包含、无公共元素等关系，解题关键是将运算语言转化为参数的不等式（组）约束，核心路径：
运算结果→集合关系（区间无重叠/完全覆盖等）→列参数条件→验证端点
二、解题模板：四步通用法（高考适配）
步骤1：化简已知集合，明确“固定范围”
先解不等式、方程或结合定义，将不含参数的集合转化为明确的区间（数集）或元素（有限集），示例：
方程解集：；
不等式解集：（直接标数轴更直观）。
步骤2：分析参数集合，讨论“特殊情况”
含参数的集合（如）需优先讨论空集或边界特殊值（高考漏解重灾区）：
1.空集讨论：若集合可能为空（如一次不等式、二次方程），先求时的参数范围。
例：中，且时；
2.次数讨论：二次型集合（如），先分“一次”（）和“二次”（）讨论。
步骤3：转化运算条件，列“参数约束”
根据运算结果，结合集合类型选对应方法列条件：
步骤4：验证端点与特殊值，合并结果
1.端点验证：将不等式等号值代入原集合，检查运算结果是否成立。
例：，，时成立，需保留等号；
2.特殊值验证：验证等特殊情况的参数是否满足题意；
3.合并范围：将不同情况的参数范围用“并集”连接，用区间或集合表示。
三、高考高频题型拆解（附核心思路）
题型1：数集交集为空求参数（最常考）
题目：设，，若，求的范围。
思路：
①化简：，；
②特殊情况：恒非空，无需讨论空集；
③列条件：数轴上无重叠→；
④验证：时，成立。
结论：。
题型2：并集为全集求参数
题目：设全集，，，若，求的范围。
思路：
①空集讨论：时即，此时，舍去；
②非空讨论：时，需覆盖，列；
③求解：且，无交集，故无解。
题型3：补集包含关系求参数
题目：设，，，若，求的范围。
思路：
①求补集：；
②列条件：→；
③验证：时，包含关系成立。
结论：。
四、避坑指南（高考5大易错点）
1.漏判空集：含参数集合未讨论，如时恒满足，需优先考虑；
2.端点取舍错误：交集为空时临界值可能可取（如有效），并集覆盖需包含端点；
3.补集忽略全集：计算前必明确（非默认时需特别注意）；
4.有限集漏验元素：如，需同时满足和中其他元素∉；
5.范围合并错误：不同情况的参数范围用“并集”连接（如与的结果）。
【题型三：容斥原理及其应用】
例题精选
【例题1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
【答案】2
【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数.
【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学，
，
则，
且，
则，
所以三项比赛都参加的有2人，
故答案为：2.
【例题2】（24-25高一上·广西·期中）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（ ）
A．91B．93C．95D．97
【答案】B
【分析】利用容斥原理求解即可.
【详解】因为同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，
所以同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣但对打篮球不感兴趣的有人，
同时对打羽毛球和打篮球感兴趣但对骑自行车不感兴趣的有人，
同时对骑自行车和打篮球感兴趣但对打羽毛球不感兴趣的有人，
因为有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，
所以有人只对骑自行车感兴趣，
有人只对打羽毛球感兴趣，
有人只对打篮球感兴趣，
则该栋楼房的居民人数为.
故选：B.
相似练习
【相似题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人．
【答案】46
【分析】根据题意，把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图和容斥原理可知，当取最大值时最大，验证可得最终结果.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，
选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合.
由题意知，
且，
则，
由
，
可得，
当且仅当时，最大，此时．
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．
故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人．
故答案为：46．
【相似题2】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）阅读不仅可以获取知识，还可以陶冶人的情操，培养人独立思考的能力．某班在电子阅览室开展“书香学子”阅读活动，据统计知周一、周二、周三参加阅览的同学人数分别是，若这三天中只有一天参加阅览的同学共计20人，则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由已知，作出图，结合题意，根据设出的未知量，列出方程组，讨论出答案.
【详解】由已知，

作出如图所示的图，由题意得，
则有，
所以，即．
因为要让x最大，所以需要最小．
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则，满足题意．
则这三天都到电子阅览室阅览的同学人数的最大值是4．
故选：B.
【解题策略】
一、核心公式（必记）
容斥原理本质：先加总数，再减重叠，补回多减。
1.两个集合（基础）
公式：
符号说明：表示集合的元素个数（又称“基数”），为与的并集基数，为与的交集基数。
2.三个集合（高考拓展）
公式：
逻辑：加三个集合基数→减两两交集基数→补回三者交集基数（前两步多减了一次共同重叠部分）。
二、高频考向与解题关键
1.直接计数（送分题）
特征：已知部分集合基数、交集基数，求未知量。
关键：直接代入公式解方程。
示例：50人班级，喜欢数学的集合（），喜欢语文的集合（），两科都喜欢的，则两科都不喜欢的人数=总人数。
2.与方程结合（中档题）
特征：集合为方程解集，通过容斥原理建立参数关系。
关键：先求各集合基数（方程实根个数），再代入公式列参数方程。
3.实际应用（压轴素材）
特征：统计、计数背景（次品检测、选科调查等）。
关键：将实际类别对应为集合，转化为“并集/交集基数”问题。
三、解题模板（三步法）
1.定集合：将“类别/事件”对应具体集合，明确计数目标（并集/交集/补集基数）；
2.代公式：梳理已知基数、交集基数，按集合个数选择对应公式列方程；
3.验结果：验证结果为非负整数，“都不满足”类问题用“总个数”计算。
四、避坑指南（3大易错点）
1.混淆“基数与元素”：公式计算的是元素个数（），而非元素本身，需先求基数再代入；
2.漏补三者交集：三个集合运算时，必加，牢记“减两两重叠，补三者重叠”；
3.忽略补集逻辑：求“都不满足”的个数，需先算并集基数，再用总个数减去，不可直接套用基础公式。
【题型四：利用Venn图求集合】
例题精选
【例题1】【多选题】（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可.
【详解】因为，画出韦恩图如图．
对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误；
对于选项B，由德摩根公式可知，，
结合韦恩图可知，，即，故B正确；
对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确；
对于选项D，由德摩根公式可知，，
结合韦恩图可知，当时，D错误．
故选：BC．
【例题2】【多选题】（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项BC不正确.
故选：AD.
相似练习
【相似题1】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或
(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得；
（2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围.
【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示.
因为，或，
所以，
则图中阴影部分表示．
（2）因为，或，
由，得，
所以当时，，解得，符合题意；
当时，或，
此时不等式组无解，
不等式组的解集为，
综上，的取值范围为．
【相似题2】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集，
因为，所以，当时，则，

又因为为的真子集，A错；
对于B选项，若，则，B错；

对于C选项，因为，
所以，，C错；
对于D选项，因为，所以，，D对.
故选：D.
【解题策略】
一、核心逻辑：Venn图的“可视化”价值
Venn图以封闭曲线（圆）的重叠、包含、分离关系，将集合的元素归属与数量关联直观呈现，核心作用：
1.转化“集合语言”为“图形语言”，简化抽象关系；
2.清晰展示交集（重叠区）、并集（合并区）、补集（剩余区）；
3.快速拆解容斥原理中的重叠计数问题。
二、解题模板：Venn图“四步应用法”
步骤1：定“圈”——画基础图形
用矩形表示全集，明确研究范围；
用圆表示子集合（2个集合画2个圆，3个集合画3个圆）；
按已知关系画圆的位置：则小圆在大圆内，则两圆分离。
步骤2：填“数”——标注区域基数
按“从内到外、不重不漏”顺序填元素个数（基数）：
2个集合（3个区域）：
①重叠区：；
②仅区：；
③仅区：。
3个集合（7个区域）：
①中心重叠区：；
②仅两两重叠区：等；
③仅单个集合区：等。
步骤3：列“式”——建方程求解
结合区域组合找关系列等式：
并集个数：所有圆覆盖区域的和（或）；
补集个数：矩形内圆外区域（或“都不满足”的个数）；
未知基数：根据区域和=全集个数或并集个数列方程。
步骤4：验“果”——验证一致性
所有区域和需等于（涉及全集时）；
单个集合的区域和需等于其基数（如仅区+重叠区=）。
三、避坑指南：3大易错点
1.填数顺序错：3个集合需先填中心区，再填两两重叠区，最后填单区域，避免重复；
2.区域含义混：勿将“仅属于的区域”当作，需包含重叠部分；
3.漏全集边界：求“都不满足”的个数时，需用减去圆内区域和。
四、Venn图与公式适配原则
简单关系优先画图：2个集合、已知部分基数的问题，图形比公式直观；
复杂参数结合公式：3个集合求未知量时，画图标注后联用容斥公式；
补集问题必画图：涉及或“都不满足”时，图形可快速定位区域。
课后针对训练
一、单选题
1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·陕西·阶段练习）有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记
是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）
A．B．的不同子集的个数为8
C．D．
二、多选题
8．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）设集合，，则下列命题中真命题为（ ）
A．，B．若，则
C．若，则D．若，则
9．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．（21-22高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 .
四、解答题
11．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知集合，，，若___________，求的值及．
12．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知集合．
(1)求的子集；
(2)若，求的取值范围．
13．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知集合，若，求实数的值.
14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若时，存在集合，使，求出所有的集合；
(3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由．
15．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，，全集．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
16．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】先分别求出集合，再应用交集定义求解.
【详解】，，
则.
故选：C.
2．C
【分析】利用集合的补集和并集的运算法则进行求解即可.
【详解】，，，
，.
故选：C.
3．D
【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可.
【详解】，
错误，错误，错误，
，
所以，D正确，
故选：D
4．D
【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断.
【详解】A：若，则，所以，
与矛盾，故A错误；
B：若，则，所以，
与矛盾，故B错误；
C：若，则，
由，得，所以，
与矛盾，故C错误；
D：若，则，
由，得，
所以，故D正确.
故选：D
5．A
【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解.
【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、.
由题意得总人数，且，
则.
参加各项目的人数总和为，
该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次，
故，
将代入可得，即，
联立方程组，
解得，即种球类训练都参加的人数为人，
故选：A.
6．B
【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断.
【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图，
对A：，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D错误；
故选：B.

7．D
【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可.
【详解】，
由，，，，，
作出图，如图所示，

由图可知，，，故A，正确；
集合的子集个数为个，故B正确；
因为，所以，错误.
故选：D
8．ACD
【分析】利用一元二次不等式求解集合A，根据交集为空集求解a的范围判断A，根据并集运算判断B，根据补集运算及元素和集合的关系判断C，根据集合关系判断D.
【详解】集合，
对于A，当时，，即，，正确；
对于B，当时，，
所以，错误；
对于C，当时，，所以，此时，正确；
对于D，当时，在数轴上把集合、表示出来，如图：

由图知，正确.
故选：ACD.
9．ACD
【分析】对于A、B、C，由韦恩图直接判断即可，对于D，适当进行分析再结合韦恩图判断即可.
【详解】对于A，由韦恩图可知：阴影区域的元素都在集合中但不在中，故选项A正确；
对于B， 表示集合与公共元素以外的全集中的所有元素组成的集合，
阴影区域表示的集合是它的真子集，故选项B错误；
对于C，表示集合中元素除去集合与集合的公共元素剩余的元素
构成的集合，就表示为阴影区域，故选项C正确；
对于D，由于，所以 ，
与选项A相同，故选项D正确.
故选：ACD.
10．19
【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到，求出答案.
【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集，
就是两者都爱好的，要使中人数最多，则，
要使中人数最少，则，即，解得，
.
故答案为：19
11．选①：，；
选②：，或，.
【分析】由条件可解得集合和，再由条件得集合的一个元素，从而即可求解.
【详解】由，.
若选①：因，所以，又因，所以.
所以，解得或.
当时，，，满足，故舍去；
当时，，满足，.
故，此时.
若选②：因，且，，所以，得，解得或.
当时，，，满足.
当时，，，满足.
故，或，.
12．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义即可求出答案.
（2）根据题干分两种情况分类讨论并列式计算.
【详解】（1）由题意得，则，的子集为．
（2）当时，，得；
当时，，得或．
故的取值范围为．
13．或
【分析】先求集合，分类求出集合，再利用给定交集运算的结果求解..
【详解】由，解得或，所以，
又方程，即，解得或，
又因为，所以，
当时，即时，，满足题意，
当时，由得，
综上所述，或.
14．(1)，
(2)，，，，，
(3)能，
【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可；
（2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可；
（3）由题设可得，进而分和讨论求解即可.
【详解】（1）当时，，
，
所以，．
（2）当时，，
又因为，所以，
因为（是非空集合，且是的真子集），，
所以这样的集合共有6个：，，，，，．
（3）能，由，可得，
若，此时由，可得；
若，由（1）知，
① 当时，，即，
此时，不是的一个子集，舍去；
② 当时，，即，
此时，此时是的一个子集；
③ 当时，，即，
此时，此时是的一个子集．
综上可得，当或时，满足，
此时实数的取值范围为．
15．(1)，=；
(2)
【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可；
（2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可.
【详解】（1）当时，，
由，
所以，
又因为或，
所以=.
（2）由可得，
所以当时，有，解得，
当时，有，解得．
综上，所以的取值范围为．
16．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据交集的概念计算即可；
（2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以；
（2）由题意，，所以，
集合，所以或，
所以或，
所以或.
故实数m的取值范围为或.
运算类型
核心定义
符号表示
本质特征
基础示例
交集
属于且属于的元素集合
取公共元素
，，则
并集
属于或属于的元素集合
取全部元素（去重）
，，则
补集
属于全集且不属于的元素集合
取剩余元素
，，则
运算结果示例
集合类型
转化方法与约束条件
数集（区间）
数轴法：与区间无重叠
例：，→
任意集合
包含关系：
需分和列条件
数集（区间）
补集+包含：先求，再确保其被覆盖
有限集（元素）
元素匹配：且中其他元素∉
例：→且1∉C
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
C
C
D
D
A
B
D
ACD
ACD