2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

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1．若点平面，点平面，则直线 平面．（填合适的符号）
2．已知为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数 ．
3．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有 条．
4．已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，，，6，，则 ．
5．三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是△的 心．
6．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为 ．
7．圆锥的母线长，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为 ．
8．某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是 ．
9．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是的中点，则异面直线与所成角的大小为 ．
10．如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，；现将△，△，△分别沿，，折起，使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥，则点到平面的距离为 ．
11．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 ．
12．在平面上，将两个半圆弧：一个以为圆心、1为半径的部分）和另一个以为圆心、1为半径的部分），与两条直线、围成的封闭图形记为，如图所示阴影部分，记绕轴旋转一周而成的几何体为，过，作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。
13．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
14．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径，高（不含杯脚），已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）
A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗
15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是
A．B．
C．D．
16．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为．若忽略三角形豆腐的厚度，设，，，点在△内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤。
17．如图所示，△是直角三角形，，，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成一个几何体：
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积．
18．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求证：为的中点．
19．在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）直线与平面所成角的大小；
（3）二面角的大小．
20．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影．
（1）证明：直线平面；
（2）当△的面积最大时，求二面角的平面角的大小．
21．在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为；
（1）当，时，若，求正三棱锥的高；
（2）当时，若，且，求正四棱锥底面的边长；
（3）记，试确定与的大小关系，并证明．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分。
1．若点平面，点平面，则直线 平面．（填合适的符号）
解：根据题意，若点平面，点平面，则直线在平面内，即直线平面．
故答案为：．
2．已知为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数 ．
解：因为，，三点不共线，且，
若，，，四点共面，
所以，所以．
故答案为：．
3．在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有 2 条．
解：在三棱柱各棱所在直线中，
根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义有、与直线异面，
所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有2条．
故答案为：2．
4．已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，，，6，，则 ．
解：由题意可得：，，解得．
故答案为：．
5．三棱锥中，顶点在底面的射影在底面内，若其侧面与底面所成角都相等，则点是△的 内 心．
解：如图所示，连接，则平面，
由分别向线段，，作垂线，垂足分别为，，，连结，，，
由三垂线定理知，，和分别为平面，平面，平面与平面所成的角，
即，
又因为，，，为△，△，△的公共边，
所以△△△，
所以，
所以为△的内心．
故答案为：内．
6．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为 6 ．
解：由直观图中，，
可得：原图为直角梯形，上底长为2，下底长为4，高为2，
所以其面积为．
故答案为：6．
7．圆锥的母线长，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为 ．
解：如图所示，
圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角为，
圆锥的底面圆半径为；
该圆锥的表面积为．
故答案为：．
8．某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是 ．
解：作出示意图如下：
因为地球仪上北纬的纬线长度为，
所以北纬所在小圆的周长为，
则该小圆的半径，在△中，，
所以该地球仪的半径，
所以该地球仪的体积是．
故答案为：．
9．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是的中点，则异面直线与所成角的大小为 ．
解：由题意正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，是的中点，
以两对角线与的交点作为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设边长为2，则有，
则，
故直线与所成角的余弦值为，
又，，
所以直线与所成角为．
故答案为：．
10．如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，；现将△，△，△分别沿，，折起，使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥，则点到平面的距离为 ．
解：由正方形性质可得、、，
又，，平面，
所以平面，
又，分别为，中点，则，，
，，
则，
则，
则，
由，
设点到平面的距离为，
则，
即，解得．
故答案为：．
11．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 ．
解：根据题意知，平面是边长为的正三角形，且球与以点为公共点的三个面的切点恰为三角形三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△内切圆的半径是，
则所求的截面圆的面积是．
故答案为：．
12．在平面上，将两个半圆弧：一个以为圆心、1为半径的部分）和另一个以为圆心、1为半径的部分），与两条直线、围成的封闭图形记为，如图所示阴影部分，记绕轴旋转一周而成的几何体为，过，作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积为 ．
解：根据题意可得是一个旋转体，
过点其中，作的水平截面，可得截面为圆环，
由和可得内面小圆的半径为，
外面大圆的半径为，
所以所得截面的面积为，
如图所示：
把一个半径为1、高为的平放圆柱和一个高为2、底面积为的长方体相邻，这两个几何体也是等高的，
用平行的截面面积去截，截得的面积和圆环面积是相等的，
因此利用祖砸原理可得的体积与一个半径为1、高为的平放圆柱和一个高为2、底面积为的长方体体积和是相等的，
因为，
所以的体积是．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分。
13．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，则
解：若，，则或，所以选项错误；
若，，，则，所以选项正确；
若，，则显然错误，所以选项错误；
若，，，则或与异面，所以选项错误．
故选：．
14．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径，高（不含杯脚），已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）
A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗
解：作出轴截面如图，由题意，
，，，设，则，即．
则放入珍珠的最大体积．
一颗珍珠的体积是．
由，得最多可以放入珍珠126颗，
故选：．
15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是
A．B．
C．D．
解：过作平面，交于，过作，交于，
过作，交于，连结，
则平面是所求的平面，
过点作平面平面，
截棱锥所得图形面积为，平面与平面之间的距离为，
，解得，
，即，，，
函数，．
函数的图象如下图：
故选：．
16．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为．若忽略三角形豆腐的厚度，设，，，点在△内部．假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A．B．C．D．
解：空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示：
其中：，和区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱；
，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为，，；
区域内的几何体是高为2的直三棱柱．
因为四边形和为矩形，则，
可得，
同理可得：，，
所以，
可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球，
则，，区域内的几何体的体积之和；
又因为，和区域内的几何体的体积之和；
区域内的直三棱柱体积，
所以的体积为．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤。
17．如图所示，△是直角三角形，，，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成一个几何体：
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积．
解：（1）因为△是直角三角形，，，，
又以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，
将图中阴影部分绕所在直线旋转一周形成一个几何体，为一个圆锥挖去了半个球体，
圆锥的底面半径为3，高为4，球体的半径为2，
所以圆锥的体积为，半球体的体积为，
所以该几何体的体积为；
（2）因为，，，所以，
圆锥的表面积为，
半球体的球面面积为，半球体的底面圆面积为，
所以该几何体的表面积为．
18．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求证：为的中点．
【解答】证明：（1）如图，
，分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又，分别为，的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
又，
平面平面；
（2）平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，则有经过的直线，设交，
则，得，
为的中点，为的中点．
19．在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）直线与平面所成角的大小；
（3）二面角的大小．
解：（1）如图建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，
即，，
，
即异面直线与所成角为；
（2）由（1）的，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
，
直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角为；
（3）由（2）得平面的一个法向量为，
且，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
，
又二面角为锐二面角，
即二面角的余弦值为，
所以二面角的大小为．
20．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影．
（1）证明：直线平面；
（2）当△的面积最大时，求二面角的平面角的大小．
解：（1）证明：点在圆的圆周上，为圆的直径，．
又平面，平面，．
，平面，，
平面，
平面，，
又为在上的投影，，
，平面，，
平面；
（2）平面，平面，，
又为在上的投影，，
，平面，，
平面，
又平面，，
二面角的平面角即为，
又平面，平面，
，即△为直角三角形，
且斜边为定值，
，
当时取等号．
，当时取等号，
此时△为等腰直角三角形，．
21．在正棱锥中，为底面正边形的中心，为棱的中点；设正棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，底面正边形的边长为；
（1）当，时，若，求正三棱锥的高；
（2）当时，若，且，求正四棱锥底面的边长；
（3）记，试确定与的大小关系，并证明．
解：（1）当，时，几何体为正三棱锥，为底面正边形的中心，
所以平面，所以，
取的中点，连接，可得，又，
所以平面，所以，
所以侧面与底面所成的角为，
依题意得，，，
由，可得，所以，
所以，侧面为正三角形，可得几何体为正四面体，
由，可得，所以；
（2）当时，几何体为正四棱锥，
同理可得，．
由，可得，所以，可得，
又由，
可得，解得；
（3）证明：由条件知，，
设正棱锥的侧棱长为，
则
，
则，
于是，①
又由是侧棱与底面所成的角，且，，
可得是侧面与底面所成的角，所以，，
从而由①，可得与相等，所以．