2025-2026学年上海市长宁区延安中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

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生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、填空题（共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，3，，，则 ．
2．若复数，其中为虚数单位，则 ．
3．某高校需要从4名男学生和3名女学生中选出3名学生去“上海进博会”做志愿者，则选出的3名学生中，恰有1名女学生的概率是 ．
4．某校高三年级有400人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ．
5．已知随机变量服从正态分布，，若，则 ．
6．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 ．
7．（5分）在等比数列中，，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是 ．
8．（5分）已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ．
9．（5分）已知向量，，若，，则 ．
10．（5分）在平面直角坐标系中，已知直线和点，，动点满足，且动点的轨迹上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是 ．
11．（5分）已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为 ．
12．（5分）定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当，，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
14．“”是“的二项展开式中存在常数项”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
15．（5分）在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得
A．B．
C．平面D．平面平面
16．（5分）设正数，，不全相等，，函数．关于说法①对任意，，，都为偶函数，②对任意，，，在，上严格单调增，以下判断正确的是
A．①、②都正确B．①正确、②错误C．①错误、②正确D．①、②都错误
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤。
17．（14分）设，．
（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
（2）若，在△中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值．
18．（14分）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的距离．
19．（14分）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表．
（1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率；（2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率．
20．（18分）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆．若直线与圆相切，求点的坐标；
（3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴于点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
21．（18分）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点是否为函数的1度点，并说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，3，，，则 ， ．
解：，3，，，
，3，，，
故答案为：，．
2．若复数，其中为虚数单位，则 ．
解：，
．
故答案为：．
3．某高校需要从4名男学生和3名女学生中选出3名学生去“上海进博会”做志愿者，则选出的3名学生中，恰有1名女学生的概率是 ．
解：从4名男学生和3名女学生中选出3名学生总的方法数为，
恰有一名女生则是从三个女生中选一个，再从4个男生里面选两个，
方法数为，
选出的3名学生中，恰有1名女学生的概率是．
故答案为：．
4．某校高三年级有400人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 160 ．
解：已知高三年级有400人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，
则样本量为．
故答案为：160．
5．已知随机变量服从正态分布，，若，则 0.4 ．
解：由可得，
则，故，
所以．
故答案为：0.4．
6．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 ．
解：因为所求双曲线与双曲线具有相同的渐近线，所以设双曲线的标准方程为，
代入点，得，得，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：．
7．（5分）在等比数列中，，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是 ．
解：设等比数列的公比为，
则，解得，
故，
，
，
所以，
，
，
则，解得．
故答案为：．
8．（5分）已知函数，若方程有2个根，则的范围是， ．
解：因为，
当时，由，，
此时，
所以在，上单调递增，
所以当时，，，
当时，所以，，
综上，函数的值域为，，
作出函数的图象与直线如图所示：
函数有2个零点，
即与有2个交点，
所以，即，．
故答案为：，．
9．（5分）已知向量，，若，，则 ．
解：因为，
可设，由可得，，，
所以，解得，
所以，故．
故答案为：．
10．（5分）在平面直角坐标系中，已知直线和点，，动点满足，且动点的轨迹上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是 ．
解：设点，则，
即，所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
要在圆上至少存在两点到直线的距离等于，
则需圆心到直线的距离，
解得．
故答案为：．
11．（5分）已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为 ．
解：由题意知△和△为等边三角形，取中点为，连接，，如图所示，则，
由平面平面，平面平面．平面，
故平面，，有，
球心在平面的投影为△的外心，球心在平面的投影为△的外心，有，，
则在△中，，，
所以外接球半径，
空间四边形外接球的表面积．
故答案为：．
12．（5分）定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当，，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则 ．
解：由题意易知：当时，因为，，所以，所以，所以，；
当时，因为，，所以，所以，，所以，3，，；
当时，因为，，所以，所以，，所以，3，4，7，8，，；
当时，因为，，所以，所以，，
所以，3，4，7，8，9，13，14，15，，；
当时，因为，，所以，所以，，
所以，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，，，
由此类推：，所以，
即，，，，，
以上个式子相加得，，
解得，所以，
则，
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
解：对于，幂函数在上单调递减，
当时，（a）（b），即，故错误；
对于，幂函数在上单调递减，
当时，（a）（b），即，故错误；
对于，幂函数在上单调递减，
当时，（a）（b），即，故错误；
对于，幂函数在上为增函数，
因为，所以（a）（b），即，故正确．
故选：．
14．“”是“的二项展开式中存在常数项”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，，，
令，且，，，
当时，，满足题意，
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件，
故选：．
15．（5分）在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得
A．B．
C．平面D．平面平面
解：选项，正方体中，显然有，连接延长，
如果直线交棱于点（图，
则作交于，连接，则是梯形，
作交于，则平面，
如果直线交棱于点（图，
则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此正确；
选项，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，
而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，错；
选项，由选项知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，错；
选项，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，
则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，错．
故选：．
16．（5分）设正数，，不全相等，，函数．关于说法①对任意，，，都为偶函数，②对任意，，，在，上严格单调增，以下判断正确的是
A．①、②都正确B．①正确、②错误C．①错误、②正确D．①、②都错误
解：根据题意，依次分析2个命题：
对于①，，其定义域为，
有，
则为偶函数，①正确；
对于②，可将展开表示为．
考虑．若，其为常值；
若，则当在上逐渐变大时，在上逐渐变大，由在上严格单调增，可知严格增；
若，则将视为，类似知严格增．对与亦有类似结论．
鉴于，，不全为1，故在上严格增，②正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤。
17．（14分）设，．
（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
（2）若，在△中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，求的最小值．
解：（1）设，，当函数的最小正周期为时，
得，
此时，
因为，所以，
所以当，即时，
函数在上取到最大值1；
（2）当时，，则，
当为锐角时，，
因此满足时，，得，
此时，即，
由余弦定理得，即，
因此的最小值为，在时取到．
18．（14分）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的距离．
解：（1）证明：直三棱柱中，所有棱长均为4，是的中点，
上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形，
连接，交于点，则为，的中点，
在△中，，分别为边，的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）取中点，则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
为上的点，平面，
到平面的距离即为直线与平面的距离，
，
直线与平面的距离为：．
19．（14分）学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表．
（1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率；（2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率．
解：（1）设“抽到第一袋“为事件，“抽到第二袋“为事件，
“恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表“为事件，
则，
，
故；
（2）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表，
可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率，
故．
第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表，
可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，故．
20．（18分）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆．若直线与圆相切，求点的坐标；
（3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴于点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
解：（1）椭圆的离心率是，
解得，
故椭圆方程为：．
（2）圆，即，
故圆心，半径，，
设直线的方程为，即，
直线与圆相切，则，解得，
当时，，解得或（舍，故，
当 时，，解得 或（舍，故，
故 或；
（3）设，，，，，，
，，三点共线，则，即，，，
解得，同理可得，
．
21．（18分）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点是否为函数的1度点，并说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
解：（1）原点是函数的一个1度点，理由如下：
对求导得，
则曲线在点，处的切线方程为，
该切线过点，，解得，
原点是函数的一个1度点．
（2）证明：，设，
则在点处的切线方程为，
则该切线过点，当且仅当，
设，则当时，，函数在上单调递增，
因此当时，，则方程无解，
点是的一个0度点．
（3）函数，求导得，
对任意，曲线在点处的切线方程为，
则点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，
设，则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点，
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求；
若，，当或时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
则函数在时取得极大值，在时取得极小值（a），
又，，
因此当（a）时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；
当（a）时，仅上有一个零点，不合要求；
当（a）时，仅上有一个零点，也不合要求，
因此两个不同的零点当且仅当或（a），
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或（a），
的全体2度点构成的集合为或，．