2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共5页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题3分，共42分）
1．已知向量，，若，则实数 ．
2．已知数列满足：，，则 ．
3．已知复数满足，则的虚部是 ．
4．已知等差数列中，，为的前项和，则 ．
5．已知，，则在方向上的数量投影是 ．
6．已知复数满足，则的最小值是 ．
7．已知，关于的一元二次方程的一个根是纯虚数，则 ．
8．已知单位向量，满足，则 ．
9．已知数列中，，，为的前项和，则 ．
10．若点，，是半径为1的圆上三点，且，则 ．
11．设等比数列的公比为，为前项积，且满足，，，则下列结论正确的是 ．（填序号）
① ② ③的最大值为 ④若，则
12．在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为 ．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．非充分非必要条件
14．已知复数，，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
15．已知△是边长为的等边三角形，为△所在平面内一点，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
16．已知是锐角△所在平面内的一定点，动点满足：，，则动点的轨迹一定通过△的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
三、解答题（共48分）
17．已知向量，，，且；
（1）求与的夹角；
（2）若，求的值．
18．已知数列的前项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19．已知关于的一元二次方程有两根，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值．
20．（17分）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列．
（1）若是等比数列，且，，，求；
（2）若，令，证明：是等比数列，并求的值；
（3）若是首项为1的等差数列，为公差，，，求正整数的最大值，以及取最大值时的值．
21．对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角．
（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，且，求正数的值；
（3）已知非零向量满足是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．
参考答案
一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题3分，共42分）
1．已知向量，，若，则实数 3 ．
解：因为向量，，且，
所以，
解得．
故答案为：3．
2．已知数列满足：，，则 4 ．
解：由，可得，
故数列是首项为1，公差为的等差数列，
，
则．
故答案为：4．
3．已知复数满足，则的虚部是 ．
解：，则，虚部为．
故答案为：．
4．已知等差数列中，，为的前项和，则 56 ．
解：等差数列中，，为的前项和，
由题意得，．
故答案为：56．
5．已知，，则在方向上的数量投影是 ．
解：由已知可得，，
所以在方向上的数量投影为．
故答案为：．
6．已知复数满足，则的最小值是 ．
解：设，
因为，
则，
故，即复数对应的点的轨迹是以为圆心、半径的圆，
的几何意义是点到原点的距离．
，
由于，原点在圆外，
因此圆上的点到原点的最小距离为，
即的最小值为．
故答案为：．
7．已知，关于的一元二次方程的一个根是纯虚数，则 ．
解：由，关于的一元二次方程的一个根是纯虚数，
设且，将其代入原方程得：，
整理得：，
列方程组：，
由第二个方程，，故，解得．
将代入第一个方程，得，即．
根据复数模的运算性质：对任意复数，，
因此代入，得，
则：，
因此．
故答案为：．
8．已知单位向量，满足，则 ．
解：，
，即．
，为单位向量，
，则．
，．
故答案为：．
9．已知数列中，，，为的前项和，则 ．
解：数列中，，，为的前项和，
所以，
，
，
，
，，
所以数列是最小正周期为4的数列，
则．
故答案为：．
10．若点，，是半径为1的圆上三点，且，则 ．
解：若点，，是半径为1的圆上三点，且，
两边平方得，因此，
因此．
故答案为：．
11．设等比数列的公比为，为前项积，且满足，，，则下列结论正确的是 ①③ ．（填序号）
① ② ③的最大值为 ④若，则
解：由题意等比数列的公比为，为前项积，且满足，，，
可得，所以，则数列为单调数列，
所以由且，可得，所以数列为单调减数列，即，所以①正确；
由数列是等比数列，可得，因为，所以，所以②错误；
数列为单调减数列，所以，所以的最大值为，即③正确；
当时，，所以④错误．
故答案为：①③．
12．在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为 ．
解：由题意设，，，，
由，得，
整理得，，，
，可得，
，，
则
，
的最大值为．
故答案为：．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．非充分非必要条件
解：数列是等比数列，由首项，且公比，得数列单调递增；
反之，由得数列单调递增，不一定有首项，且公比，如，．
“首项，且公比”是“数列单调递增”的充分不必要条件．
故选：．
14．已知复数，，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
解：对于，，则，所以，但得不到，
例如，，满足，但，故选项错误；
对于，令，，满足条件，但，且均不为0，故选项错误；
对于，下面先证明命题“若，则，或”成立．
证明：设，，，，，，
若，则有，
故有，即，两式相乘可得，，
则有，或，或，
①当时，，即；
②当，且时，则，
又因为，不同时为0，所以，即；
③当，且时，则，同理可得，故；
综上所述，命题“若，则，或”成立．
下面我们应用刚证明的结论推证选项，
因为，所以，
所以，或，即或，故选项正确；
对于，令，，
则，
但，故选项错误．
故选：．
15．已知△是边长为的等边三角形，为△所在平面内一点，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
解：建立如图所示的平面直角坐标系：
设，又，，，
则，，，
所以，
所以，
所以，
即，
所以．
故选：．
16．已知是锐角△所在平面内的一定点，动点满足：，，则动点的轨迹一定通过△的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
解：设△边上的高为，
则，
因为，
所以，
所以，
又因为为角平分线上的向量，且，，
所以动点的轨迹一定通过△的内心．
故选：．
三、解答题（共48分）
17．已知向量，，，且；
（1）求与的夹角；
（2）若，求的值．
解：（1）因为向量，，，
又，
所以，
解得，
所以，，
得，
所以，
即与夹角的余弦值为．
又，
所以，
即与的夹角为．
（2）由（1）知，，，
所以，，，
所以，
即，
解得，
所以的值为．
18．已知数列的前项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）数列的前项和为，，
当时，；
当时，由，可得，
相减可得，
不符合首项，
所以．
（2）若不等式对任意，恒成立，
若，则成立，即，得；
若，则，，则恒成立，
即恒成立，
因为在，上单调递增，所以，
则的最大值为，则，
综上，实数的取值范围为．
19．已知关于的一元二次方程有两根，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值．
解：（1）由关于的一元二次方程有两根，，
可得，
且△（1），
由得二次方程两根互为共轭复数，
若△，方程有两个不相等的实根，此时，不满足题意，
若△，方程有两个相等的实根，此时，显然满足，
若△，方程有一对共轭虚根，满足，
因此，
解得或．
（2）若△，即，此时方程有两个实根，
因为，所以两实根同号，
又因为当时，，所以两实根均为正数，
所以，解得，符合，
若△，即或，此时方程有一对共轭虚根，即，
根据复数的性质，共轭复数的模长相等，即，
则，解得，
代入韦达定理得，
，，故舍去，
符合题意，
综上，的值为1或．
20．（17分）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列．
（1）若是等比数列，且，，，求；
（2）若，令，证明：是等比数列，并求的值；
（3）若是首项为1的等差数列，为公差，，，求正整数的最大值，以及取最大值时的值．
解：（1）由题意可知，，，
设等比数列的公比为，则，
所以，．
即，解得，．
（2）因为，所以，
所以．
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
．
（3）由，得，
即，
所以，即．
因为，
所以，
因为，，所以，
所以，解得，
所以正整数的最大值为199，
此时，解得．
21．对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角．
（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，且，求正数的值；
（3）已知非零向量满足是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．
解：（1）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角，
若非零向量满足，且，
则，
又，所以，得到，
又，且，
所以的取值范围是；
（2）若向量，且，
则，，
则设向量和的夹角为，则，
所以，
则，整理得到，
所以（舍或，解得或（舍，
所以正数的值为；
（3）已知非零向量满足是正整数），向量的夹角，
和都是有理数，且，
因为，则，，
又，则，即，
又，则，又是正整数，
当，不合题意，
当，，由，得到，
所以，满足题意，故，
当时，，得到，解得，
此时，不是有理数，所以不合题意，
当时，，所以时，不合题意，
综上，．