第五章 一元一次方程【章末到校】（课件）-2026-2027学年新北师大版数学七年级上册

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北师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月23日 小结与复习第五章 一元一次方程班级：________ 姓名：________ 得分：________ （时间：40分钟 满分：100分）一、选择题（每题10分，共30分）1. 行程问题的基本关系式是（ ）A. 路程 = 速度×时间 B. 速度 = 路程×时间 C. 时间 = 速度×路程 D. 路程 = 速度 + 时间2. 甲、乙两人从相距120km的两地相向而行，甲的速度是40km/h，乙的速度是20km/h，两人同时出发，经过x小时相遇，下列方程正确的是（ ）A. 40x + 20x = 120 B. 40x - 20x = 120 C. 40x + 20 = 120 D. 20x + 40 = 1203. 小明以5m/s的速度跑步，小亮以3m/s的速度步行，两人从同一地点同向出发，小明在小亮身后10m处，经过x秒小明追上小亮，可列方程为（ ）A. 5x + 3x = 10 B. 5x - 3x = 10 C. 5x - 3 = 10 D. 5x + 3 = 10二、填空题（每题10分，共30分）1. 行程问题中，相向而行（相遇问题）的核心等量关系：______ + ______ = 总路程；同向而行（追及问题）的核心等量关系：______ - ______ = 路程差。2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，经过t小时，行驶的路程为180km，可列方程为______，解得t = ______。3. 甲、乙两车从同一地点出发，同向而行，甲车速度为70km/h，乙车速度为50km/h，甲车比乙车晚出发1小时，设甲车行驶x小时后追上乙车，可列方程为______。三、解答题（每题20分，共40分）1. 甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，A、B两地相距180km，甲每小时行15km，乙每小时行10km，两人同时出发，经过几小时相遇？相遇时甲行驶了多少千米？2. 一列快车以120km/h的速度从甲地开往乙地，一列慢车以80km/h的速度从乙地开往甲地，两车同时出发，经过2小时后两车相距40km，求甲、乙两地的距离（分两种情况解答）。参考答案一、选择题：1.A 2.A 3.B二、填空题：1. 甲走的路程，乙走的路程，快者走的路程，慢者走的路程；2. 60t = 180，3；3. 70x = 50(x + 1)三、解答题：1. 解：设经过x小时两人相遇，根据相向而行总路程关系列方程。由题意，得15x + 10x = 180合并同类项，得25x = 180解得x = 7.2相遇时甲行驶的路程：15×7.2 = 108（km）答：经过7.2小时相遇，相遇时甲行驶了108千米。2. 解：分两种情况，设甲、乙两地的距离为y km。情况一：两车未相遇，相距40km，此时两车行驶的总路程 + 40km = 总距离列方程，得(120 + 80)×2 + 40 = y解得y = 440情况二：两车相遇后，继续行驶相距40km，此时两车行驶的总路程 - 40km = 总距离列方程，得(120 + 80)×2 - 40 = y解得y = 360答：甲、乙两地的距离为440km或360km。（说明：本题围绕行程问题的基本关系式，结合相遇、追及及分类讨论题型，结合一元一次方程解决实际问题，侧重方程建模和分类思考能力培养，难度贴合北师大版七年级“5.3.3行程问题”要求，步骤规范，贴合学情，总字数约800字。）一元一次方程的一般形式 (a ≠ 0)定义：只含有未知数，未知数的次数都是 ，等式两边都是____方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值解方程等式的基本性质解法应用①去 ；②去 ；③项；④合并 ；⑤系数化为___审、 、列、解、检、ax = b一个1整式分母括号移同类项1找答一、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式叫作方程．2. 一元一次方程的概念：如果只含有___个未知数(元)，未知数的次数都是 ，等式两边都是________，这样的方程叫作一元一次方程.3. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的 值叫作方程的解．4. 解方程：求方程的解的过程叫作解方程．一1整式二、等式的基本性质 bcc解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别 漏乘。 (2) 去括号：注意括号前的系数与符号。 (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数 项移到方程右边，移项时注意要改变符号。 (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a ≠ 0) 的形式． (5) 系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式。三、一元一次方程的解法 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量。 设：设未知数，设其中某个未知量为 x。 列：根据题意寻找等量关系列方程。 解：解方程。 检：检验方程的解是否符合题意。 答：写出答案 (包括单位)。四、实际问题与一元一次方程2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水。(2) 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量＝工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率＝工作效率之和； ③ 工作总量＝各部分工作量之和＝合作的工作效 率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看 作 1。(3) 销售问题与方案选择问题 ① 商品利润＝商品售价－商品进价；④ 商品售价＝商品进价＋商品利润 ＝商品进价＋商品进价×利润率 ＝商品进价×(1＋利润率)。1.解方程解：去分母，得 5x – 3x = 4合并同类项，得 2x = 4方程两边都除以2，得 x = 2 （3）0.5x – 0.7 = 6.5 – 1.3x；解：移项，合并同类项，得 1.8x = 7.2方程两边都除以1.8，得 x = 4 解：去分母，得 5(3x – 6) = 6×2x – 3×30去括号，得 15x – 30 = 12x – 90移项，合并同类项，得 3x = – 60方程两边都除以3，得 x = – 20 (5)3(x-7)+5(x-4)=15(6)4x-3(20-x)=-4解：去括号，得 3x – 21+5x-20 =15移项，合并同类项，得 8x = 56方程两边都除以8，得 x = 7 解：去括号，得 4x – 60+3x =-4移项，合并同类项，得 7x = 56方程两边都除以7，得 x = 8   解：去分母，得 5(y-1)= 20 – 2(y+2)去括号，得 5y-5= 20-2y-4移项，合并同类项，得 7y =21方程两边都除以7，得 y= 3 2.在公式s=s0+vt中，已知s=100，s0=25，v=10，求t的值解： s=100，s0=25，v=10代入方程得100=25+10t移项，合并同类项，得 75= 10t方程两边都除以10，得 t= 7.5 3.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？为什么？解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍由题意，得 4（13 + x）= 40 + x解得 x = – 4 答：4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍，那时儿子 9 岁，父亲 36 岁. 4.《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价. 试解释这种算法. 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题. 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？4.《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价. 试解释这种算法. 第二次出钱总数+不足数=物价第一次出钱总数-盈余数=物价①和②两边分别相减得到所以 人数＝(盈余数+不足数) ÷两次每人钱数之差两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数两次出钱总数之差=盈余数+不足数①②物价=第一次出钱总数-盈余数=人数×每人出钱数-盈余数物价=第二次出钱总数+不足数=人数×每人出钱数+不足数今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？盈不足术人数＝(盈余数+不足数) ÷两次每人钱数之差人数＝(11+16)÷(9-6)=9物价=人数×每人出钱数-盈余数物价=9×9-11=70答：人数为9人，鸡价为70方程方法：设人数为x，由题意，得 9x-11=6x+16解得 x = 9 9x-11=70 答：人数为9人，鸡价为70. 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？5．把100 写成两个数的和，使第一个数加3与第二个数减3的结果相等. 这两个数分别是多少？解：第一个数为x，则第二个数为100-x由题意，得 x+3= 100-x-3解得 x = 47 100-x=100-47=53 答：第一个数为47，则第二个数为53.6．今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三. 问：人数、羊价各几何？（选自《九章算术》)题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱. 合伙人数、羊价各是多少？解：设合伙人数为x由题意，得 5x+45= 7x+3解得 x = 21 5x+45=150 答：合伙人数是21，羊价是150.7．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏. 三人五个多十枚，四人八枚两个剩. 问：有几个牧童几个杏？(选自《算法统宗》)题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏. 若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏. 有多少个牧童、多少个杏？ 8．爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分，下了8盘，每盘都分出了胜负，此时两人得分相等. 他们各赢了多少盘？ 9．某文件需要排版，小李独立做需要6h完成，小王独立做需要8h完成. 如果他们俩共同做，需要多长时间完成？ 10．一辆收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6 hm2麦田未收割. 这块麦田一共有多少公顷？解：设这块麦田一共有x公顷. 由题意，得 25%x+(1-25%)x×20%+6=x解得 x =10答：这块麦田一共有10公顷.11．某商店出售两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，而另一件赔25%，那么这家商店是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？解：设第一件衣服成本x元，第二件成本y元. 由题意，得 60-x=25%x y-60=25%y解得 x =48，y=80 60+60-48-80=-8（元）答：这家商店赔了8元.12．甲车从A地开往B地，速度是60 km/h；乙车沿同一路线同时从B地开往A地，速度是90 km/h. 已知A，B两地相距200 km，两车相遇的地方离A地多远？ 13．某商场将某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是10%. 已知这种商品的成本价为1800元，那么这种商品的原价是多少？ 14．某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张80元，学生票每张50元，共售出1000张票，所得票款可能是69300元吗？为什么？可能是69320元吗？如果可能，那么成人票比学生票多售出多少张？ 15．把99写成四个数的和，使第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等. 这四个数分别是多少？  16．设未知数列方程与用字母表示数、表示数量关系有什么区别和联系？谈谈你的体会. 用字母表示数是基础，它使得我们能够表示和描述数量关系，设未知数列方程则是在此基础上的进阶应用. 同时，通过解方程，我们可以找到用字母表示的数的具体值. 无论是用字母表示数、表示数量关系还是设未知数列方程，最终都是为了更简洁、更准确地描述和解决数学问题. *17．已知x=5是方程ax-8=20＋a的解，求a的值. 解：将x=5代入ax-8=20＋a，得5a-8=20+a解得 a=718．图中的正方形由9个小方格组成. 在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方. (1)请将1～9这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方. 459237816(2)改变(1)中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方. 657219834651873294(3)在(1)(2)所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理. 45923781 6657219834651873294幻方中心的数不变每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于幻方中心数的3倍(4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试. 2718621122415309261521762413284核心考点巩固考点1 一元一次方程及其解1.下列方程中是一元一次方程的是( )A  返回 D  返回 B  返回   返回考点2 等式的基本性质5.下列说法错误的是( )B  返回 等式的基本性质2 返回考点3 解一元一次方程7.下列方程变形中，正确的是( )A  返回 D  返回9.（12分）［教材P159“复习题”第1题变式］解方程：         返回      返回考点4 一元一次方程的应用 A  返回  （第12题） 返回 2（第13题） 返回   返回15.（6分） ［2024连云港中考］我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”。活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品。折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把。  返回16.（8分） 临潼石榴享有“果中之王”的美誉，是陕西著名的水果之一，也是国家地理标志保护产品。临潼石榴果大皮薄、汁多味甜、果肉饱满、色泽艳丽、甜而不腻。鲜上鲜水果超市第一次用2 200元购进红心石榴、骊山红这两种箱装石榴，其中红心石榴的箱数是骊山红箱数的2倍，这两种石榴的进价和售价如下表所示：（1）求出该超市第一次购进的这两种石榴的箱数,并求出第一次售完获得的总利润；    返回