2025--2026学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二下册期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高二下册期中数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 五一假期，某人准备前往云南大理旅行，计划从苍山、洱海、大理古城、双廊古镇、崇圣寺这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 60
2. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ）
A. 3B. 5.5C. 4D. 6.5
3. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
A. 24种B. 48种C. 72种D. 84种
6. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A. B. C. D.
7. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ）
A. 4天B. 8天C. 10天D. 16天
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量的分布列为
若，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（ ）
A. 所有奇数项的二项式系数和为B. 所有项的系数和为
C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项D. 有理项共5项
11. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大
C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 已知，，，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 比2000小且没有重复数字的四位偶数有________个．（用数字表示）
13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________.
14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，求
（1）求，的值；
（2）求的值.
16. 春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表：
已知y与x线性相关.
（1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程；
（2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
17. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表：
（1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？
（2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望．
附：，.
18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为.
（1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
（2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值.
19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；
（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 五一假期，某人准备前往云南大理旅行，计划从苍山、洱海、大理古城、双廊古镇、崇圣寺这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 60
答案：B
解析：
解答过程：从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题，
不同的选择方法种数为种.
2. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ）
A. 3B. 5.5C. 4D. 6.5
答案：A
解析：
解答过程：依题意，得，，
所以，解得.
3. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，因此对应的正态曲线的对称轴为
由对称性可知
所以
所以
4. 袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，直接求出的概率，由加法公式求解；方法二：先求出至多有1个白球的概率，间接法求解.
解答过程：方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则．
故至少有2个白球的概率为．
方法二：设“至少有2个白球”，则“至多有1个白球”，
所以．
故选：D
5. 如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
A. 24种B. 48种C. 72种D. 84种
答案：B
解析：
思路：根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可.
解答过程：由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同，
则涂色方法共有种.
故选：B
6. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据两点分布的定义明确变量的分布，从而求出，再根据定义计算结果
解答过程：因随机变量服从两点分布，且，所以；
所以；
所以.
7. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数，
要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个，
从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为，
故​恰好件不合格的概率为.
8. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ）
A. 4天B. 8天C. 10天D. 16天
答案：A
解析：
解答过程：记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”，
，，
，
所以，，（天）.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量的分布列为
若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ABD
解析：
思路：根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值.
解答过程：对于A、B项，由表格可得，所以.
则，
.故A正确，B正确；
对于C、D项，因为，，，
所以，，，故C错误，D正确.
故选：ABD.
10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（ ）
A. 所有奇数项的二项式系数和为B. 所有项的系数和为
C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项D. 有理项共5项
答案：AC
解析：
解答过程：，，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误；
令，所有项的系数和为，故B正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误；
展开式通项为，，
要使展开式中的项为有理项，则为整数，即，共有项，故D正确.
11. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大
C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 已知，，，则
答案：BD
解析：
思路：应用二项分布的期望、方差公式列方程求参数判断A，应用不等式法解决二项分布概率最大问题判断B，根据相关系数的实际意义判断C，应用全概率公式求概率判断D.
解答过程：A：随机变量服从二项分布，
若，则，解得，即，错误；
B：由，则PX=k=C10k⋅0.7k⋅0.310−k，
当时概率最大，则有,
即C10k⋅0.7k⋅0.310−k≥C10k+1⋅0.7k+1⋅0.39−kC10k⋅0.7k⋅0.310−k≥C10k−1⋅0.7k−1⋅0.311−k，解得，
由，所以时概率最大，正确；
C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，错误；
D：已知PA=13,PAB=34,PAB=12，则，
由全概率公式，PA=PBPAB+PBPAB，
即23=34PB+121−PB，解得，正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 比2000小且没有重复数字的四位偶数有________个．（用数字表示）
答案：280
解析：
思路：分析可得千位为1，个位数字有5种选择，百位数字有8种选择，十位数字有7种选择，列式计算，即可得答案.
解答过程：当千位数字为1时，个位数字可以为0，2，4，6，8，有5种选择，
百位数字从剩下8个数字中选择，十位数字从剩下7个数字中选择，
共有个．
故280
13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________.
答案：##0.3
解析：
思路：利用条件概率和和事件的概率公式进行计算即可.
解答过程：由条件概率的公式：，
计算和事件的概率：，
可得.
故答案为.
14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为.
答案：31
解析：
思路：根据第行中从左至右第8个数与第9个数的比为，可以列出关于的等式，进而可解得正整数的值.
解答过程：第行从左到右第8个数为，第9个数为，
依题意得，即，解得.
故31.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，求
（1）求，的值；
（2）求的值.
答案：（1），；
（2）513.
解析：
思路：（1）令求，应用二项式的展开式求系数；
（2）令求出所有项系数和，结合（1），即可得.
（1）令，得，又，，
所以，有.
（2）令，得，
又，所以.
16. 春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表：
已知y与x线性相关.
（1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程；
（2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
答案：（1）
（2）3.24百件
解析：
思路：（1）求出的平均值，利用给定公式计算可求出y关于x的经验回归方程；
（2）将代入回归方程即可估算出结果.
（1），
，
则，
所以
故关于的经验回归方程为.
（2）将代入，得，
故当今年的日营销费用为1000元时，日销售量约为3.24百件.
17. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表：
（1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？
（2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望．
附：，.
答案：（1）列联表见解析，无差异
（2）证明见解析，
解析：
思路：（1）完善列联表，提出零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异， 计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
（1）列联表为：
零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，
根据列联表中的数据，计算得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立，
故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异．
（2）从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为，
所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，
则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为，
X的可能取值为、、、、，且，
，，
，，
，
所以的分布列为：
（或）．
18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为.
（1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；
（2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值.
答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率；
（2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望.
（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，
则，，
则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为：
；
（2）随机变量可能的取值为：，
由题意，甲、乙车投产的概率分别为，
所以，
，
，
所以数学期望．
19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；
（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．
答案：（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可；
（2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可；
（3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可.
（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，
易知与是互斥事件，
所以由全概率公式得
该运动员第二次投篮命中的概率为．
（2）由题意得，，
的所有取值为0,1,2，
,
所以的分布列为
……
所以．
（3）由题意得，；
当时，
即，
变形为，所以数列是以为公比的等比数列，
又，于是，
即，所以．广告费用x/万元
1.8
2.2
3
5
销售额y/万元
t
7
14
16
4
6
8
0.3
0.4
日营销费用x/百元
2
3
4
5
6
日销售量y/百件
1
1.1
1.5
1.8
2.1
满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计
广告费用x/万元
1.8
2.2
3
5
销售额y/万元
t
7
14
16
4
6
8
0.3
0.4
日营销费用x/百元
2
3
4
5
6
日销售量y/百件
1
1.1
1.5
1.8
2.1
满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计
满意程度
汽车款式
合计
款
款
满意
不满意
合计
X
0
1
2
P
0
1
2