2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2025-2026年度高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2025-2026年度高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四项选项中只有一项是符合题目要求的）
1. 已知等差数列，则（ ）
A. 7B. 9C. 11D. -9
2. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A. B. C. D.
3. 在等比数列中，，，则公比（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知在等差数列中，，则其前17项和（ ）
A. 85B. 68C. 51D. 34
5. 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则（ ）
A. 28B. 14C. 20D. 10
6. 若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 是等比数列D. 若，数列前n项和，则
11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，.则（ ）
A. 是，的等比中项
B.
C.
D.
三、填空题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
12. 函数在处的导数 _____.
13. 已知数列满足若，则______．
14. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______.
15. 是函数与的公切线，则______.
16. 某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额（单位：万元）为，则每年种植莲藕_______万斤时，利润最大.
17. 函数，则______.
四、解答题（本题共4小题，56分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18. 已知函数.
（1）若直线与曲线在处的切线平行，求的值.
（2）求函数的单调区间和极值；
19. 已知数列的首项是，且．
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的最小整数n的值．
20. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在内的最大值为2，求的值；
（3）若，求的取值范围．
21. 已知数列中，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积；
（3）记，若恒成立，求实数的最大值．
数学
考试时间：2026年5月11日 时长：120分钟 分值：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四项选项中只有一项是符合题目要求的）
1. 已知等差数列，则（ ）
A. 7B. 9C. 11D. -9
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用等差数列性质求解.
解答过程：等差数列，则.
故选：B
2. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由，求导得，则，
所以当时的瞬时速度为5 m/s.
3. 在等比数列中，，，则公比（ ）
A. 3B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，，所以，
所以，解得．
4. 已知在等差数列中，，则其前17项和（ ）
A. 85B. 68C. 51D. 34
答案：B
解析：
解答过程：设等差数列的公差为.
根据等差数列通项公式，
.
已知，则，解得.
由等差数列前项和公式，得.
根据等差数列性质有.
因此.
5. 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则（ ）
A. 28B. 14C. 20D. 10
答案：A
解析：
思路：设公比为，然后根据已知条件列方程组可求出，再利用等比数列的求和公式可求得结果.
解答过程：设公比为，
因为，，成等差数列，
所以，所以，
由，得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，得，
所以，
故选：A
6. 若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用导数的几何意义求出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线相切的切点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.
解答过程：的定义域为，
由函数，可得，
令，可得，负值舍去，
又，
所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为．
点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.
故选：C．
7. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解.
解答过程：，，
在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
，
在区间上恒成立，
， ，
设， ，
，，，在上单调递增，
当时，，
则在内，有，
故，故的取值范围为.
8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题，
再通过分离参数，最后构造函数求解问题.
解答过程：当时，不等式恒成立
可变形为,
设,
那么当时,有,即在区间上单调增，
在上成立，即,
设,那么,
令,得 ,
令,得 ,
令,得 ,
所以，函数在处取得极小值，也就是最小值，
,,实数a的取值范围为.
方法提示：本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A，是常数，常数的导数为，所以，A正确；
对于B，设，，则，，
所以，B正确；
所以，C正确；
对于D，，D错误．
10. 设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 是等比数列D. 若，数列前n项和，则
答案：ACD
解析：
思路：根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D.
解答过程：当时，，解得.
当时，，
，即，
数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故.
A，，正确；
B，，
，
，错误；
C，，则，
是以4为首项，2为公比的等比数列，正确；
D，，
，
，
，正确.
11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，设，记数列，的前项和分别为，.则（ ）
A. 是，的等比中项
B.
C.
D.
答案：AD
解析：
思路：对A：计算出、后验证是否满足即可得；对B：由题意可得，，则，从而可借助分组求和得到；对C：由题意可得，即有，结合，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，即可得数列的通项公式；对D：由数列的通项公式可求出，结合B中所得可求出.
解答过程：对A：由题意可得，，
有，故是，的等比中项，故A正确；
对B：，，则，
则
，故B错误；
对C：，
由，则，故，则，
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，故C错误；
对D：由，则，
则，
则，故D正确.
三、填空题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
12. 函数在处的导数 _____.
答案：
解析：
解答过程：由题设，则.
13. 已知数列满足若，则______．
答案：
解析：
思路：根据数列的周期性即可求解.
解答过程：由且，可得，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，则．
故
14. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______.
答案：
解析：
解答过程：由可得：或，
由图可知当时，可得，则，
当时，可得，则，
所以的解集为.
15. 是函数与的公切线，则______.
答案：
解析：
思路：设切点坐标，由导数的几何意义进行求解．
解答过程：设的切点为，
∴，∴，
∴切点为，
∴，
设的切点为，
由，得，
得切点为，则，
得，
∴.
16. 某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额（单位：万元）为，则每年种植莲藕_______万斤时，利润最大.
答案：
解析：
思路：设销售利润为，则，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极大值点，即可得解.
解答过程：设销售利润为，
则，，
所以，
所以当时，当时，
函数在上单调递增，在上单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，
所以每年种植莲藕万斤时，利润最大.
故
17. 函数，则______.
答案：
解析：
解答过程：因为函数，
则，
所以关于成中心对称，
所以
，
令，
则，
两式相加可得：，所以.
四、解答题（本题共4小题，56分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18. 已知函数.
（1）若直线与曲线在处的切线平行，求的值.
（2）求函数的单调区间和极值；
答案：（1）；
（2）的单调减区间为，单调增区间为；的极小值为，无极大值.
解析：
思路：（1）由题可得，据此可得答案；
（2）解可得单调区间，解结合单调区间可得极值.
（1）由题可知，则，又，
则在处的切线方程为.
又因为与平行，则；
（2）由（1），，，
所以的单调减区间为，单调增区间为；
令，结合单调区间，可得极小值为，无极大值.
19. 已知数列的首项是，且．
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的最小整数n的值．
答案：（1）
（2）解析：
（1），
所以，
又，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，
可得.
（2）由（1）得为等比数列，
设数列的前项和为，，
所以，
构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，
为整数，所以当，，不成立，
当，，成立，
所以满足条件的最小整数n的值为.
20. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在内的最大值为2，求的值；
（3）若，求的取值范围．
答案：（1）答案见解析
（2）；
（3）．
解析：
思路：（1）求导，分、、、四种情况讨论；
（2）结合第1问的单调性求出最值即可；
（3）利用参变分离求最值即可.
（1）求导得，
当时，，则，得，，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，解得或，
当时，，则，得或，，得，
则在内单调递减，在和上单调递增；
当时，，，则在区间上单调递增；
当时，，则，得或，，得，
则在区间内单调递减，在和上单调递增，
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在内单调递减，在和上单调递增；
时，在区间上单调递增；
时，在区间内单调递减，在和上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在内单调递增，
则，解得与矛盾；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
令则，
则在上单调递减，
又，故；
综上，.
（3）由可得，
即，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，则，
故，令，
则，令，解得，
则当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
故的取值范围为．
21. 已知数列中，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积；
（3）记，若恒成立，求实数的最大值．
答案：（1）证明见解析；
（2） （3）.
解析：
思路：（1）两边同时除以即可证明数列是等差数列.
（2）记梯形 的面积为 ，根据题意得 ，再根据错位相减法求和即可得面积 ;
（3）结合题意代入原式可得，再根据恒成立问题转化为 ，最后根据数列的单调性求 的最小值即可得答案.
（1）因为，两边同时除以，
所以所以是首项为 ，公差为 1的等差数列.
（2）过 向 轴作垂线，垂足分别为 ，
由（1）得 ，则 .
记梯形 的面积为 .
由题意得
所以
①
又 ②
①②得
所以 .
所以由该折线与直线 所围成的区域的面积 .
（3）已知 ，则
所以.
由 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，由 单调递增，
故当 时， ，故 ，即 ，
所以 的最大值为 .