黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期数学试题（Word版附解析），文件包含黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期数学试题原卷版docx、黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的导函数计算判断 A，B，C，应用乘法求导运算判断 D.
【详解】因为 所以 A 选项错误；
因为 ，所以 B 选项错误；
因为 ，所以 C 选项错误；
因为 ，所以 D 选项正确.
故选：D.
2. 已知函数 在 上无极值，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得 的取值范围.
第 1页/共 17页
【详解】因为函数 在 上无极值,
所以 在 上无变号零点 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：C.
3. 设 是 的导函数，且 ，则 （ ）
A. 18 B. 9 C. 6 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的定义计算即可.
【详解】 .
故选：A.
4. 函数 的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为函数 的定义域为 ，又 ，易知函数 在 上单调递
增，
又 ，所以在 内存在一个零点 ，使 .
故选：C.
5. 如果 在区间 上是单调函数，那么实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第 2页/共 17页
【解析】
【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可.
【详解】由已知 ，
因为 是单调函数,
所以 恒成立或 恒成立，
所以 恒成立或 恒成立，
所以 或 ,
所以 或 .
故选：A.
6. 设 ， ， 则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数 ，利用导数判断函数 在区间 单调递增，根据函数的
单调性得不等式 ，可得 ．
【详解】设 ，（ ），则 .
令 得 ，所以函数 在区间 单调递增.
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ．
故选：B
7. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第 3页/共 17页
【解析】
【分析】求 ，取 ，可求 ，再求 ， ，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ， ， ， ，
故所求切线方程为 ，即 .
故选：A
8. 已知 ，设函数 ，若 在 上恒成立，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意同构可得 ，构建 ，结合单调性可得
，参变分析可得 ，构建 ，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解.
【详解】由题意可知： ，整理可得 ，
设 ，则 ，可知 在 内单调递增，
由题意可知： ，则 对任意 内恒成立，
可得 对任意 内恒成立，
设函数 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
第 4页/共 17页
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
所以 的最小值为 ，可得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得 ，构建 ，结合单
调性可得 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值
B. 当 时， 的图象在点 处的切线方程是
C. 在区间 上单调递减
D. 关于 的方程 有两个不等实根，则 的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】A 选项，求导，得到函数单调性，进而求出最值；B 选项，求出 ，利用导数
的几何意义得到切线方程；
C 选项，在 A 选项基础上，得到函数单调性；D 选项， ，令 ，求导得到
其单调性和最值，
结合函数图象，得到 的取值范围是 .
【详解】因为 ，
选项 A，当 时， ，当 时， .
第 5页/共 17页
所以在区间 上 单调递减，在区间 上 单调递增，
所以 有最小值 ，无最大值，故 A 错误；
选项 B，当 时， ，
所以 的图象在点 处的切线方程是 ，故 B 正确；
选项 C，因为在区间 上 单调递减，在区间 上 单调递增，故 C 错误；
选项 D，方程 ，即 ，
令 ，而 ，
当 时， ，当 时， .
所以在区间 上 单调递减，在区间 上 单调递增，
当 时 ，且 ，如图，
的范围是 ，故 D 正确.
故选：BD
10. 已知 ，且 在 点处的切线与直线 平行，则下列说法正确的是
（ ）
A. B. 在 上单调递增
C. 有且仅有一个极值点 D. 对任意 ，都有
【答案】CD
【解析】
【分析】由 及 可求得 的值可判断 A；根据导函数的正负判断函数的单调性以及
极值，可判断 B、C；再求得 最小值，可判断 D．
第 6页/共 17页
【详解】 ， 在 点处的切线与直线 平行， ，
， A 错误；
由 ，解得： ；由 ，解得： ；
在 上单调递增，在 上单调递减，因此 有且有一个极值点，B 错误，C 正确；
，则对任意 ，都有 ，D 正确.
故选：CD
11. 函数 ，其中 是常数，则（ ）
A. 当 时， 是增函数 B. 若 是 的极大值点，则
C. 若 ，且 有 2 个零点，则 D. 当 时， 有 3 个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可判断 AB；结合导数的应用和零点的概念计算即可判断 CD.
【详解】因为 ，
所以
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，故 A 正确．
因为 是 的极大值点，所以 ，解得 ．
当 时， ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 是 的极大值点，符合题意，故 B 正确．
令 得 或 ，因为 ，所以 ，
所以当 或 时， 单调递增，
当 时 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，
且 .
第 7页/共 17页
又当 时， ，所以若 有 2 个零点，
则 ，解得 ，故 C 正确．
当 时， ，
同理当 或 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，
且 ，又当 时， ，
所以 有 1 个零点，故 D 错误．
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数 值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 在 上的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】通过求导，可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，结合函数单调性可以判
断，函数 在 或 时，取得最小值，通过求值比较大小，即可求得其最小值.
【详解】由 ，得 ，
当 时， 恒成立，所以 单调递增，
当 时， 恒成立，所以 单调递减，
所以当 或 时，函数 取得最小值，
又 ， ，
所以函数 在 上的最小值为 ，当 时取得.
第 8页/共 17页
故答案为： .
13. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】 在 上恒成立，即 ，构造函数 ， ，求导得到其单
调性，得到 ，得到 ，求出答案.
【详解】由题意得 在 上恒成立，
，故 ，
即 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，
故 ，故 a 最小值为 .
故答案为： .
14. 已知 是定义在 上的偶函数，当 时， ，且 ，则不等式
的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，求导分析单调性，由 为偶函数，可得 为奇函数 ，
分两种情况： ， 分析不等式的解集，即可得出答案.
第 9页/共 17页
【详解】令 ，所以 ，
因为当 时， ， ， 单调递增，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，所以 为奇函数，
所以 在 ， 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 等价于 ，所以 ，
若 ，则 等价于 ，所以 .
综上所述，不等式 的解集是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数 ，利用导数判断单调性解题，考查了学
生的思维能力、运算能力.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导函数
（1） ；
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
第 10页/共 17页
【解析】
【分析】（1）利用求导法则求导即得；
（2）利用分式函数的求导法则求导即得；
（3）利用复合函数的求导法则求导即得.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ；
【小问 3 详解】
因为 ，
所以 .
16. 已知函数 在 处有极值-1.
（1）求实数 a，b 的值;
（2）求函数 的单调区间.
【答案】（1）
（2） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）由题意 ，解出 的值再检验即可；
（2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解.
【小问 1 详解】
已知函数 ，则 ，
第 11页/共 17页
由题意 ，解得 ，
当 时， ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上均单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处有极小值 ，满足题意，
综上所述， 符合题意；
【小问 2 详解】
由题意 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 .
17. 已知函数 ．
（1）过原点作曲线 的切线，求该切线的方程；
（2）设 ，求 在 的最值．
【答案】（1）
（2）最小值为 ，最大值
【解析】
【分析】（1）求导，根据斜率 可求解 ，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，根据导函数的正负即可求解.
【小问 1 详解】
第 12页/共 17页
设切点为 ，由 得 ，
所以所求切线的斜率为 ，即 ，
所以 ，即 ，故切点 ，
所以所求切线的斜率为 ，切线方程为 ，即 ，
故所求切线的方程为 ．
【小问 2 详解】
由条件知 ， ．
所以 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 单调性为： 单调递减， 单调递增，
所以 ．
又
，所以最大值为：
所以 在 的最小值为 ，最大值为：
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）若 在区间 上存在极值，且此极值小于 ，求实数 的取值范围．
第 13页/共 17页
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程.
（2）求导，对 的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域.
（3）利用（2）的结论，可求问题（3）.
【小问 1 详解】
当 时， ， .
又 ，所以 .
所以切点坐标为 ，切线斜率为 1，
所以切线方程为 即 .
【小问 2 详解】
因为 ，
当 时， 恒成立，函数 在区间 单调递增．
当 时，令 ，解得 ，
在区间 ， ，函数 单调递减，
在区间 ， ，函数 单调递增.
综上可知：当 时，函数 在区间 单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 3 详解】
由（2）知，当 时，函数 无极值，
当 时，函数 在 取得极小值 ，
第 14页/共 17页
所以 ，解得 ，所以 ．
所以实数 的取值范围为：
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调递增区间；
（2）若 有两个极值点 ．
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明： ．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，令导函数大于 0，可求函数的增区间.
（2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数 的取值范围.
（ ⅱ ） 利 用 （ ⅰ ） 中 的 有 关 结 论 ， 把 化 成 ， 设
，问题转化成证明 .利用导数，分析函数单调性，即可证
明结论.
【小问 1 详解】
当 时， ，
由 ，所以 .
故 单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ） ，令 ，即
第 15页/共 17页
令 ， ，则 是方程 的两个正根，
则 ，即 ，
有 ， ，即 .
所以 的取值范围为： .
（ⅱ）
令
则 ．
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，
又
故存在 ，使 ，即 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增， 在 上单调递减
第 16页/共 17页
则 ，
又 ，故
即 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化
为隐零点问题求解.
第 17页/共 17页