2025--2026学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高一下册期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高一下册期中数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知与的夹角为，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A. E，F，G，H四点共面B. 与是异面直线
C. ，，三线共点D.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在正方体中，为正方形的中心，为的中点，过点、、的平面将正方体分成上、下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（ ）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 该圆锥的母线长是
B. 该圆锥的高是
C. 该圆锥的表面积是
D. 该圆锥的体积是
10. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若为钝角三角形，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则___________.
13. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________．
14. 重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．
（1）求A，
（2）若的周长为20，面积为，求a．
17. 已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点．

（1）求三棱锥的体积；
（2）求四棱锥的表面积．
18. 在中，内角，，的对边分别为a，b，c，且
（1）求角；
（2）若，且边上的中线，求的面积.
19. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．
（1）求证：平面；
（2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面．
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，
所以.
2. 已知与的夹角为，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：A
解析：
思路：运用向量模长的平方公式，然后代入计算.
解答过程：由题意知，， 与的夹角为 ，
所以，
，
，
故选：A
3. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据复数的运算法则，可得z，根据虚部的定义，即可得答案.
解答过程：因为，
所以的虚部为．
4. 已知点，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据投影向量的求法求得正确答案.
解答过程：依题意，，
所以在上的投影向量为.
故选：B
5. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：圆锥的高为，底面半径为，
则圆锥的母线长，
可得圆锥的侧面积为.
6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）．
A. E，F，G，H四点共面B. 与是异面直线
C. ，，三线共点D.
答案：D
解析：
思路：利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D.
解答过程：对于A，在三棱柱中，分别为的中点，
连接，
由是的中位线，得，
由，且，得四边形是平行四边形，
则，，因此四点共面，A正确；
对于B，因为平面，平面，，
所以与是异面直线，正确；
对于C，延长，相交于点，
由，平面，得平面，
由，平面，得平面，
而平面平面，则，三线共点，C正确；
对于D，由，且可知，四边形是梯形，
若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，
所以D不一定正确.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，，所以，
，
由正弦定理可得，即.
8. 在正方体中，为正方形的中心，为的中点，过点、、的平面将正方体分成上、下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由面面平行的性质定理作出截面，过点F作平面FGHI∥平面ABCD，则截面平分长方体，由求解.
解答过程：由面面平行的性质定理，过、、的截面与平面和平面的交线互相平行，
如图，过点作分别交于，则．
再过点作平面平面分别与棱交于G，H，I，
则，
所以，
故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 该圆锥的母线长是
B. 该圆锥的高是
C. 该圆锥的表面积是
D. 该圆锥的体积是
答案：ABD
解析：
思路：圆锥的母线长为侧面展开图的半圆的半径，由侧面展开图的面积即可得解；由圆锥的底面周长为侧面展开图的半圆的弧长即可求得底面半径；由即可求得该圆锥的高；由圆锥的表面积公式及体积公式可求得其表面积及体积.
解答过程：设圆锥的母线长为l，则母线长l为侧面展开图的半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，所以，则；设圆锥的底面半径为，则；该圆锥的高；该圆锥的表面积，该圆锥的体积为，
故选：ABD
10. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
答案：AC
解析：
解答过程：，
A：的虚部为，正确.
B：的共轭复数为，错误.
C：，正确.
D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，错误.
11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若为钝角三角形，则
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A，若，则，
根据正弦定理（是外接圆半径），
可得，
所以，即，A正确；
对于B，由正弦定理，
代入得，
因为，且，（即），
所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为，
所以有两解，B正确；
对于C，由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式得，，
则，即，
当且仅当时，等号成立，
所以面积，C正确；
对于D，若为钝角，则由余弦定理得，，
所以，即，D错误.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则___________.
答案：
解析：
思路：设的代数形式为代入已知方程，利用两个复数相等得的方程组，解方程组可得.
解答过程：设，则，
则，
可得，解得，
即，所以.
13. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________．
答案：##
解析：
思路：首先作辅助线，根据相似可求得，然后根据线面平行的性质得出线线平行，进而由相似定理可求得.
解答过程：如图，连接交于点，连接．
因为，所以，
因为平面，平面平面平面，
所以，所以．
故答案为.
14. 重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______．
答案：
解析：
思路：先求出，继而利用正弦定理求出，再解，即可求得答案.
解答过程：由题意知，，则，
在中，，
故，则，
在中，，
故.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量共线的坐标表示即可求解；
（2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解.
（1）∵向量，，
∴，解得.
（2）∵向量，∴.
∵，
∴，解得.
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．
（1）求A，
（2）若的周长为20，面积为，求a．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角求解.
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解.
（1）在中，由及正弦定理，得，
而，即，则，即，
又，所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由的周长为20，得，即，
由余弦定理得，即，
于是，解得，
所以.
17. 已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点．

（1）求三棱锥的体积；
（2）求四棱锥的表面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）直接求三棱锥体积；
（2）四棱锥的表面由正方形和四个直角三角形所围成，分别求出面积即可.
（1）；
（2）四棱锥的表面由正方形和四个直角三角形所围成，
，，，
则与全等，与全等，
因为，，，
所以.
18. 在中，内角，，的对边分别为a，b，c，且
（1）求角；
（2）若，且边上的中线，求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案；
（2）法一：把向量关系式平方，联立余弦定理，解方程可得答案；
法二：延长中线至点，使得，解可得答案；
法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以及余弦定理列方程，解方程可得答案；
法四：以及余弦定理，列方程，解方程可得答案.
（1）因为，
根据正弦定理得
又由余弦定理：，
故.
（2）法一：由（1），又，
故，
而，
得，
即，与联立，解得.
故.
法二：由（1），又，
故，
延长中线至点，使得，又，，
所以，所以，，，
在中，，
由余弦定理得，
即，与联立，解得.
故.
法三：由余弦定理，
即.
平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
即，即.
与联立，解得.
故.
法四：由余弦定理，
即.
由，
利用余弦定理得，
即，即.
与联立，解得.
故.
19. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．
（1）求证：平面；
（2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面．
答案：（1）证明见详解
（2）证明见详解
解析：
思路：（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论.
（2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直.
（1）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，所以，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）连接，因为点分别为棱的中点，则，
因为，，则，
可得，则，
且平面，平面，则平面，
取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，
又因为分别为的中点，则，，
且，，则，，
可知为平行四边形，则，可得，
且平面，平面，则平面，
又因为，平面，所以平面平面.