2025--2026学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在等差数列中，，，则公差（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 80
3. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 方程的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 78B. 126C. 150D. 168
6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ）
A. B. C. D.
8. 若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A.
B.
C. 在上的平均变化率为
D. 在处的瞬时变化率为1
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 的最大值为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等差数列的前项和.若，则
13. 曲线在处的切线斜率为______.
14. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法.
四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为.
（1）求；
（2）求出的通项公式.
16. 已知函数，函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
17. 为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果）
（1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？
（2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？
（3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？
18. 在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为.
（1）求展开式中的系数；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
19. 已知函数（）.
（1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，求证.
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，，则公差（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
答案：A
解析：
解答过程：
2. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 80
答案：B
解析：
解答过程：等比数列中，，即，解得，
所以.
3. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D错误．
4. 方程的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：，根据组合数的定义，应满足：，解得：，
又因为，则或，即：或，
所以或，方程的解集为.
5. 运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 78B. 126C. 150D. 168
答案：C
解析：
思路：利用捆绑法和分组分配求解计算即可得到结果.
解答过程：甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，可将甲乙捆绑成一个元素，6名志愿者可以理解为5名志愿者.
将5名志愿者分为1，2，2，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故选：C.
6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：先对函数求导，再利用导数的几何意义求切线方程
解答过程：因为，，所以，
所以．又，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
故选：D．
7. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由题意求等比数列的通项公式即可求解.
解答过程：由题意，从第二轮开始，该模型参数增加的数量为等比数列，
设首项为，公比为，
则通项公式为，
第一轮参数为,
第二轮参数增加的数量为,
第三轮参数增加的数量为,
第四轮参数增加的数量为，
第五轮参数增加的数量为,
所以第五轮训练的模型参数的数量为..
故选：C.
8. 若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：设切点坐标，根据导数的几何意义和斜率公式列方程，根据有两条切线得到方程有两个根，然后列不等式求解即可.
解答过程：设切点坐标为，，
所以斜率，
则切线方程为，
又在切线上，所以
因为曲线有两条过的切线，所以方程有两个解，
整理得，所以，解得或.
故选：D.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A.
B.
C. 在上的平均变化率为
D. 在处的瞬时变化率为1
答案：BC
解析：
思路：利用复合函数的导数、导数值的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可.
解答过程：对于A，利用复合函数的求导法则，由，所以A错误；
对于B，因为，当时，，所以B正确；
由在上的平均变化率为，所以C正确；
因为，当时，，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：对于A利用二项式定理的通项公式即可求解，对于B令即可求解，对于C令即可判断，对于D将同时求导，令即可判断.
解答过程：对于A：由，所以，故A正确；
对于B：令，得，故B正确；
对于C：令有，
所以，故C错误；
对于D：对同时求导得
，
令得，
同时乘得，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 的最大值为D.
答案：ABC
解析：
思路：根据，通过得出，判断A，通过得出，进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为，判断C，借助等差数列性质，将转化为，结合，得出，判断D.
解答过程：对于A选项，因为，所以，故，A正确，
对于B选项，因为，所以，即，又，
所以，B正确，
对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0，
且当时，，当时，，
所以的最大值为，C正确，
对于D选项，，所以D错.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等差数列的前项和.若，则
答案：100
解析：
思路：由条件结合等差数列的前项和公式可得，再用等差数列的定义求公差，最后用等差数列的前项和公式求即可.
解答过程：因为为等差数列的前项和，设等差数列的公差为.
所以，故
又，故，
所以.
故100.
13. 曲线在处的切线斜率为______.
答案：
解析：
思路：利用导数的几何意义可得.
解答过程：，所以曲线在处的切线斜率为.
故答案为:.
14. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有__________种排法.
答案：504
解析：
解答过程：依题意，六门课程的全排列为，其中“礼”排在第一周有种，“数”排在最后一周有种，
“礼”排在第一周且“数”排在最后一周有种，
所以符合要求的排法种数为.
故504
四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为.
（1）求；
（2）求出的通项公式.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）代入前项和公式求出；
（2）列出与的关系式，再结合已知条件计算求解．
（1）时，，
时，．
（2）因，，
当时，，
，
当时，，
故．
16. 已知函数，函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
答案：（1）
（2）极大值为，极小值为
解析：
思路：（1）先求导，由已知根据即可求解；
（2）利用导数判断函数的单调性即可求解极值.
（1）函数的定义域为，，
在处的切线方程为，
，解得.
（2）由（1）知，
，，
令，得或；令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
因此在处取得极大值，且，
在处取得极小值，且，
故的极大值为，极小值为.
17. 为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果）
（1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？
（2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？
（3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？
答案：（1）种
（2）种
（3）种
解析：
思路：（1）利用捆绑法，将男生、女生分别捆绑在一起，求出各自的排列数，然后将捆绑后的男生、女生视为一个整体进行排列，最后根据分步乘法计数原理得到结果.
（2）利用插空法，先求出3名男生的排列种数，然后利用插空法，将女生插入男生之间，进行排列，最后利用分步乘法计数原理求得答案.
（3）先将甲乙丙以外的其余2人排好,然后根据题意将甲乙、丙排好，最后利用分步乘法计数原理求出答案.
（1）先将3名男生排在一起，有种排法，
再将2名女生排在一起，有种排法，
将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理可知，共有种排法．
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法．
（3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法．
18. 在二项展开式中，所有项的二项式系数之和为.
（1）求展开式中的系数；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
答案：（1）
（2），
解析：
思路：（1）由二项式系数和为可求得的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解；
（2）易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，结合二项展开式通项可求出展开式中二项式系数最大的项.
（1）由题意可得，二项式系数为解得，所以该二项式为.
则通项公式为，
令，解得，所以该二项式的展开式中的的系数为.
（2）因为，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，
即，，
所以展开式中二项式系数最大的项是，.
19. 已知函数（）.
（1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，求证.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）通过求导判断在上单调递增，根据参数分类讨论函数在上的单调性，分析其极值，即可确定参数的取值范围；
（2）利用（1）得到，将待证不等式等价转化为要证（），构造函数（），求导判断其单调性，结合即可得证.
（1），，
令，因，由，
可得在上单调递增，即在上单调递增.
当时，在上恒成立，
故得在上单调递增，则，符合题意；
当时，.
令，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
所以，又在上单调递增，且，
故，使得，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）由（1）得，当，时，，
即，要证不等式，（），
只需证，
即证，即只需证（），
设（），
则，
当时，恒成立，故在上单调递增，
又，所以恒成立，所以原不等式成立.