2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第十二中学校高二下册期中考试学数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第十二中学校高二下册期中考试学数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
3. 一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A. 83B. 108C. 75D. 63
4. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A. 120B. 85C. D.
5. 若函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 随机变量的分布列如下，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为
A. B. 1C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ）
A. 是数列中的最大项B. 是数列中的最大项
C. D. 满足的的最大值为
10. 已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（ ）
A. 这次考试标准分不低于180分的约有450人
B. 这次考试标准分在内的人数约为997
C. 甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为
D.
11. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 时，取得最大值D. 时，取得最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________.
13. 数列的前项和为，，，则______.
14. 已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
16. 某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）.
（1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；
（2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差.
17. 为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差.
18. 记为数列的前n项和，已知，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：函数有且仅有两个零点．
数学
满分150分 考试用时120分钟 考试时间：2026年5月19日13:00-15:00
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知得出全集，即可根据集合的补集运算得出答案.
解答过程：解得，
全集，
则，
故选：D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据复数的几何意义，得到，结合共轭复数的概念，即可求解.
解答过程：由复数对应的点的坐标是，可得，所以的共轭复数为.
故选：B.
3. 一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A. 83B. 108C. 75D. 63
答案：D
解析：
思路：根据等比数列前项和的性质可求前项的和.
解答过程：设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，
故，故，
故选：D.
4. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A. 120B. 85C. D.
答案：C
解析：
思路：方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
解答过程：方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
方法提示：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
5. 若函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：直接对求导，列出等式求出的值，再代入到中求即可．
解答过程：因为，所以，所以，
所以，则，所以．
故选：B．
6. 已知函数在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先求，进而求，即切线方程为即可求解.
解答过程：由题意有，
所以切线方程为，即，
故选：C.
7. 随机变量的分布列如下，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由分布列性质求出，再由分布列计算期望、方差，再由方差性质求解.
解答过程：由分布列性质可知，，解得，
所以，
,
所以.
故选：D
8. 已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为
A. B. 1C. D.
答案：C
解析：
思路：，，使得成立，说明，分别求出与的最小值，建立不等关系求解.
解答过程：“，，使得成立”等价于

当时，令，解得：，
在上单调递减，上单调递增
当时，令，解得：
在上单调递减，上单调递增
当时，此时在上单调递增，上单调递增减
，，无最小值，不合题意
综上所述：，

令，解得：
在上单调递减，在上单调递增

本题正确选项：
方法提示：本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解时，需要对的范围进行讨论，才能最终确定取值.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ）
A. 是数列中的最大项B. 是数列中的最大项
C. D. 满足的的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：由得出，代入与，对选项依次判断即可.
解答过程：∵，∴，∴，∴，
∴，
，
对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确；
对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误；
对于C，，故选项C正确；
对于D，∵，∴，解得，
∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分，，，，则（ ）
A. 这次考试标准分不低于180分的约有450人
B. 这次考试标准分在内的人数约为997
C. 甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为
D.
答案：BC
解析：
思路：依题意得，，，根据正态分布的3个特殊概率逐个计算可判断ABD；根据独立重复试验的概率公式计算可判断C.
解答过程：依题意得，，，因为PX≥180=PX≥μ=12，
所以这次考试标准分不低于180分的约有1000×12=500 人，故A不正确；
P90≤X≤270=P180−3×30≤X≤180+3×30≈0.9973 ，
所以这次考试标准分在90,270内的人数约为人，故B正确；
依题意可知，每个人的标准分不低于180分的概率为，
所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分不低于180分的概率为C32⋅122⋅1−12=38，故C正确；
P240≤X≤270=P180+2×30≤X≤180+3×30=Pμ+2σ≤X≤μ+3σ
=Pμ−3σ≤X≤μ+3σ−Pμ−2σ≤X≤μ+2σ2≈0.9973−0.95452=0.0214 ，故D错误.
11. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 时，取得最大值D. 时，取得最小值
答案：AB
解析：
思路：由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
解答过程：由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________.
答案：##
解析：
思路：设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案.
解答过程：设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”，
则，
根据全概率公式可知
.
故
13. 数列的前项和为，，，则______.
答案：
解析：
思路：先通过将换为得到新等式，再与原式作差并结合化简，最后根据等差数列定义求出通项公式.
解答过程：已知nan=Sn−n(n−1)(n∈N∗) ，当时，将换为得：
(n−1)an−1=Sn−1−(n−1)(n−2) 两式作差可得：
nan−(n−1)an−1=Sn−Sn−1−[n(n−1)−(n−1)(n−2)] ，
又因为，所以nan−(n−1)an−1=an−2(n−1) ，
整理得：(n−1)(an−an−1)=−2(n−1) ，
因为时n−1≠0 ，两边约去得：
，即是首项、公差的等差数列，
由等差数列通项公式可得： an=a1+(n−1)d=10+(n−1)⋅(−2)=12−2n ，
当时也满足，故.
14. 已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
答案：
解析：
思路：恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数的最值问题求解即可.
解答过程：函数，因为在恒成立，
所以，在恒成立，
在恒成立，
令，所以，
，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果.
（2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果.
（1）设等比数列的公比为，由，
得，∵是由正数组成的等比数列，则，，
则，解得或（舍），又，所以，
解得，所以
（2），
所以
16. 某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）.
（1）若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率；
（2）若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差.
答案：（1）
（2）分布列
，
解析：
思路：（1）借助对立事件概率公式，先计算两次翻牌均未翻出花色牌的概率，再用减去该概率得到甲获得精美礼品的概率.
（2）先判断随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式求出各取值对应的概率，列出分布列，再套用二项分布的期望、方差公式完成计算.
（1）甲获得一份精美礼品的概率为.
（2）由题意得，
则，，
，，
所以的分布列为
,DX=3×34×1−34=916.
17. 为提高哈尔滨市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名，从这10名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望、方差.
答案：（1）
（2），.
解析：
思路：（1）根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率.
（2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望、方差.
（1）依题意，这10名导游中随机选择4人，有种不同选法，
当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法，
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
所以事件发生的概率.
（2）依题意，随机变量的所有可能取值为，
，，，
，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望为，
方差D(ξ)=(−125)2×1210+(−75)2×435+(−25)2×37+(35)2×821+(85)2×114=1625.
18. 记为数列的前n项和，已知，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）利用得到与的递推关系，再根据等比数列的定义得证；
（2）结合（1）得，进而得，再根据裂项求和法即得.
（1）证明：由，得，
则，
所以，
因为，所以，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，所以．
，
故．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：函数有且仅有两个零点．
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程；
（2）将问题转化为在上有解问题，再求解即可；
（3）根据导数求得单调性，结合零点存在性定理即可证明．
（1）当时，，则，
所以，所以切线方程为，即．
（2）由题意得，
若函数存在单调递减区间，则在上有解，
所以在上有解，
因为函数在上单调递减，
所以，故．
（3）由题意得，则，
令，则，
令可得，（舍）或，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得，即，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
因为时，，，
所以存在，使得，
又，
所以存在，使得，
所以函数有且仅有两个零点．0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4