2025--2026学年黑龙江哈尔滨市第三十二中学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江哈尔滨市第三十二中学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. 5B. C. 25D. 4
4. 已知，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. 1B. C. 0D.
5. 如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（ ）
①， ②，
③， ④，
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
6. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是边的中点，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则（ ）
A. B.
C. 可以作为平面向量的一个基底D.
10. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分． 把答案填在题中的横线上．
11. 已知复数满足，则_____.
12. 已知分别为△三个内角的对边，且，则_________．
13. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______．
四、解答题：本题共3小题，每题11分，共33分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
14. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
15. 如图，已知正方体的棱长为1.
（1） 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
（2）若分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小.
16. 如图，在三棱柱中，平面平面，．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案；
解答过程：因为，余弦定理可得
，
解得.
故选：C.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量的线性运算即可.
解答过程：，
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. 5B. C. 25D. 4
答案：A
解析：
思路：利用复数的除法法则求出复数，再利用复数的模的公式即可求解.
解答过程：，，
.
故选：A.
4. 已知，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. 1B. C. 0D.
答案：A
解析：
思路：由复数的运算以及共轭复数和虚部的概念易得结果.
解答过程：，其共轭复数，虚部为1.
故选：A.
5. 如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（ ）
①， ②，
③， ④，
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
答案：A
解析：
思路：利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算即可得出.
解答过程：
，
因为，所以，即，
由三点共线，所以，
即，故①正确；
又为的中点，所以，即，
由三点共线，所以，即，故③正确；
故选：
6. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面向量共线的坐标表示求出的值，可求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值.
解答过程：因为向量，，由可得，解得，
故，故．
故选：B．
7. 如图，是边的中点，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用平面向量加减法则，即可得到答案.
解答过程：由题意有，
所以．
故选：A
8. 已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.
解答过程：∵，向量在向量上的投影向量是，
∴，
则，即，且，
则，
故选：C.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则（ ）
A. B.
C. 可以作为平面向量的一个基底D.
答案：BC
解析：
思路：根据向量的模公式计算可判断A；由向量坐标运算可判断B；由向量共线的坐标表示可判断C；先求坐标，再由向量共线的坐标表示可判断D.
解答过程：选项A，，即，A错误；
选项B，，B正确；
选项C，，即不共线，即可以作为平面向量的一个基底，C正确；
选项D，，由，即与不共线，D错误．
故选：BC
10. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
答案：BD
解析：
思路：根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案.
解答过程：对于A，若，，则或与异面，故A不正确；
对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确；
对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确；
对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确.

故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分． 把答案填在题中的横线上．
11. 已知复数满足，则_____.
答案：
解析：
思路：根据复数的乘方与除法运算可求得，进而可求得.
解答过程：由，可得，所以，
所以，.
故答案为.
12. 已知分别为△三个内角的对边，且，则_________．
答案：
解析：
思路：利用正弦定理求解即可.
解答过程：由正弦定理可得，所以，
因为，又因为，所以，所以，
所以.
故答案为.
13. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______．
答案：3
解析：
思路：首先证明，，两两垂直且长度均为，再将该三棱锥放置于正方体当中即可.
解答过程：取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形，
则，所以，因为，且，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，因为，则，
所以，又因为，平面，，所以平面，
则易知，，两两垂直且长度均为，
所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设外接球的半径为，则.
故3.
四、解答题：本题共3小题，每题11分，共33分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
14. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解.
（1）原式．
（2）=.
（3）．
15. 如图，已知正方体的棱长为1.
（1） 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
（2）若分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小.
答案：（1）棱；
（2）解析：
思路：（1）直接根据异面直线的定义得到答案.
（2）连结，，确定异面直线与所成角为（或其补角），计算得到答案.
（1）由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直线是异面直线
（2）连结，，，分别是，的中点，所以，
因为，所以异面直线与所成角为（或其补角），
由于，于是，
所以异面直线与所成角大小为.
16. 如图，在三棱柱中，平面平面，．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）利用直线与平面垂直证明两直线垂直；（2）利用空间向量法求解二面角的正弦值；
（1）取AC的中点，则，且，
因为平面平面ABC，且平面平面平面ABC，
所以平面
因为平面，
所以，
因为，
又因为平面平面，
又平面；
（2）如图所示，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
可得，
因为，
设平面的法向量为，
则由得
令，则，
设平面的法向量为，
则由得
令，则，
记二面角的平面角为，
因为，
显然，所以，
所以二面角的正弦值为.