2025--2026学年黑龙江省齐齐哈尔市教联体高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省齐齐哈尔市教联体高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 数列的第9项为， 等差数列的前项和为，且，则， 函数的导函数为， 在数列中，，则通项公式， 已知数列的前项和，则， 已知函数的图象如图所示，，则等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 数列的第9项为（ ）
A. B. C. D.
2. 等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 90B. 105C. 110D. 200
3. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ）
A. 10B. 16C. 15D. 11
4. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
5. 函数的导函数为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在数列中，，则通项公式（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知数列的前项和，则（ ）
A. 是公差为2的等差数列B.
C. 数列是等差数列D.
10. 已知函数的图象如图所示，，则（）
A. 当时，
B.
C.
D.
11. 已知函数，则（ ）
A.
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 恰有2个极值点
D. 的图象与轴恰有2个交点
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______.
13. 已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为______．
14. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________.
四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润.
16. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17. 在数列中，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，数列的前n项和为，证明.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在小于0的极小值，求的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围.
数学
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 数列的第9项为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：数列，
分子：，是等差数列，首项为，公差为，所以通项为；
分母：，通项为，
故数列的通项为，
所以第9项.
2. 等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 90B. 105C. 110D. 200
答案：B
解析：
解答过程：数列为等差数列，，
，
则.
3. 已知数列为正项等比数列，，则的值为（ ）
A. 10B. 16C. 15D. 11
答案：D
解析：
解答过程：数列为正项等比数列，所以，
，得.
又，得.
所以.
4. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：B
解析：
解答过程：依题意，.
5. 函数的导函数为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：函数的定义域为，
.
6. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为等差数列的前项和分别为，且.
所以可设.
所以，所以.
7. 在数列中，，则通项公式（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以，
又，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以，所以.
8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求导后参变分离可得在上恒成立，结合其单调性即可得解.
解答过程：由函数在区间上单调递增，
则，即在上恒成立，
由的解析式可知其在区间上单调递增，
所以，则，则的最大值为.
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知数列的前项和，则（ ）
A. 是公差为2的等差数列B.
C. 数列是等差数列D.
答案：ABC
解析：
解答过程：由，当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以，故B正确；
因为，所以是等差数列，故A正确；
对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，当时，，
故，故D错误.
10. 已知函数的图象如图所示，，则（）
A. 当时，
B.
C.
D.
答案：ABD
解析：
解答过程：观察图象可知：当时，函数单调递增，则，A正确；
由图象知方程的根为且三次项系数为1.
所以可得，
因为，对照各项系数，可得，故C错误；
此时，所以，故B正确；
因为的两根为，所以，故D正确.
11. 已知函数，则（ ）
A.
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 恰有2个极值点
D. 的图象与轴恰有2个交点
答案：AB
解析：
解答过程：函数的定义域为.
对于A，，令，可得，所以，即A正确；
对于B，由A可得，则，
所以切线方程为，即，可得B正确；
对于C，函数的定义域为，，
令，可得，所以当时，；当时，.
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误；
对于D，由C中分析可知
即对于任意恒成立，因此D错误.
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______.
答案：
解析：
思路：根据题设求出前5项，即可得到答案.
解答过程：由，得，
则数列的前5项中的最大值是.
故答案为.
13. 已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为______．
答案：
解析：
思路：对求导，利用导数求出函数在上的最值，从而可得的取值范围，即可得解．
解答过程：，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增．
因为，，所以的最小值为0，最大值为3e．
因为对任意，都有，
所以只需，
所以，即的最小值为3e，
故3e．
14. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________.
答案：3379
解析：
解答过程：由，得，解得，
同理由，
所以，因此数列是以3为周期的数列，
所以.
四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润.
答案：（1）；
（2）当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元.
解析：
思路：（1）由题给、代入函数表达式，解方程求出参数的值，确定完整的函数解析式.
（2）先根据单件利润与销量关系列出每日利润并化简，再对利润函数求导得到导函数，令导函数为零求出临界点并舍去区间外的解，依据导函数正负判断函数在区间内的单调性，确定为最大值点，最后代入算出最大利润，得出定价与最大利润的结论.
（1）由题意可知，当时，，即，
解得，所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得（舍去）或，
所以当时，在为增函数；
当时，在为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
此时元.
所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元.
16. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据等差数列性质计算即可；
（2）先求得数列的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.
（1）设等差数列的首项为 ，公差为，
则，解得，
因此通项公式为.
（2）将代入，裂项得，
所以.
即.
17. 在数列中，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，数列的前n项和为，证明.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明；
（2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证.
（1）由，可得，
又因为，所以，
所以是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）知，，所以.
，①
，②
①-②得，
，
所以，
又，所以.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在小于0的极小值，求的取值范围.
答案：（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）解析：
思路：（1）利用导数，讨论 和两种情况下，函数的单调性；
（2）结合（1）的结论，根据在处取得极小值，由极小值小于，得关于的不等式，构造函数，并分析函数的单调性，可求出的取值范围.
（1）函数的定义域为，且
①当时，则，所以在区间上单调递增；
②当时，，令，可得，
时，时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由（1）可知若在区间上单调递增，没有极值点，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则在处取得极小值，
则，即.
令，由可得，是单调递增函数，
因为，所以，即的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围.
答案：（1）的极大值为的极小值为.
（2）解析：
思路：（1）利用导数，判断函数的单调性并确定极值；
（2）分离参数，构造函数，将“函数有两个零点”转化为直线与曲线的图象有两个交点，利用导数分析的单调性及取值情况，进而确定的取值范围.
（1）当时，，则，
令，
当时，即或，单调递增；
当时，即时，单调递减，
当时，取得极大值，，
当时，取得极小值，，
因此的极大值为的极小值为.
（2）函数，令，即，
因为，所以，即.
令，
则函数有两个零点转化为直线与曲线有两个交点.
又，因为恒成立，
所以当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，.
当，
当，
要使直线与曲线有两个交点，则的取值范围为.