2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 等差数列的第9项为（ ）
A. 22B. 23C. 24D. 25
2. 从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（ ）种．
A. 30B. 36C. 56D. 66
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
4. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个
A. 8B. 10C. 12D. 16
5. 设等比数列的前项和为．若，，则（ ）
A. 18B. 21C. 63D. 64
6. 若，则正整数m的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A. 展开式共有7项
B. 展开式的各二项式系数的和为32
C. 展开式的第6项的系数为
D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项
10. 关于数列的命题是假命题的是（ ）
A. 常数列一定是等比数列
B. 1和4的等比中项是2
C. 等差数列中，若，则
D. 等比数列中，，则
11. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分.
12. 若有7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.
13. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______.
14. 函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题：
①是函数的极小值点；
②是函数的最小值点；
③在区间上严格增；
④在处切线的斜率小于零.
以上所有正确命题的序号是__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.
（1）求n的值与展开式中各项的系数和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
16. 设为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
18. 已知数列满足：，；数列的前项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求的最大值．
数学
一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项.
1. 等差数列的第9项为（ ）
A. 22B. 23C. 24D. 25
答案：A
解析：
解答过程：因为等差数列的公差为，
所以该等差数列的第9项为.
2. 从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（ ）种．
A. 30B. 36C. 56D. 66
答案：B
解析：
解答过程：从名学生中选出3名，共有种；
从6名男生中选出3名，共有种；
则至少有1名女生的选法共有.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
答案：C
解析：
思路：根据等差数列的定义和通项公式求解.
解答过程：由，可得数列是等差数列，公差，
又，.
故选：C.
4. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个
A. 8B. 10C. 12D. 16
答案：B
解析：
思路：根据个位数字是否为0，即可结合排列组合求解.
解答过程：若0在个位，则有种情况，
若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有，
故总共有个，
故选：B
5. 设等比数列的前项和为．若，，则（ ）
A. 18B. 21C. 63D. 64
答案：B
解析：
解答过程：当，，
又，.
6. 若，则正整数m的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：C
解析：
思路：根据题意结合排列数公式列方程求解即可.
解答过程：因为，
所以，
所以，
所以，得.
故选：C
7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：根据图像可知时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减。
综上，只有D选项符合.
8. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：说明数列是首项为4，公差为4的等差数列即可求解.
解答过程：因为，所以，即．
又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，
故，即．
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A. 展开式共有7项
B. 展开式的各二项式系数的和为32
C. 展开式的第6项的系数为
D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项
答案：ACD
解析：
思路：根据二项展开式的通项公式和性质逐一判断即得.
解答过程：对于A，展开式的项数为项，故A正确；
对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B错误；
对于C，展开式的第6项为，故其系数为，故C正确；
对于D，因展开式有7项，其二项式系数依次为，
根据组合数的性质，的值最大，故二项式系数最大的项是第4项，故D正确
故选：ACD.
方法提示：
10. 关于数列的命题是假命题的是（ ）
A. 常数列一定是等比数列
B. 1和4的等比中项是2
C. 等差数列中，若，则
D. 等比数列中，，则
答案：ABD
解析：
解答过程：对A，若常数列每项都为0，则其不是等比数列，故A是假命题；
对B，1和4的等比中项是，故B错误；
对C，等差数列中，，则，解得，则，故C为真命题；
对D，等比数列中，成等比数列，
因为，则，则，则，
，则，故D为假命题.
11. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
答案：BD
解析：
思路：借助导数定义可得A；借助复合函数的导数运算法则计算即可得B；借助导数的除法运算法则计算即可得C；利用导数运算法则计算即可得D.
解答过程：对A：，则，故A错误；
对B：，则，解得，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，则，
则，故D正确.
三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分.
12. 若有7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.
答案：
解析：
思路：利用捆绑法将甲、乙捆绑，解法1分类讨论甲、乙所在位置，再确定丙的位置，最后全排列；解法2先确定丙的位置，再全排列求解即可.
解答过程：解法1 将满足题意的排列方式分为三类．
①若甲、乙放在左端，则有种；
②若甲、乙放在右端，则有种；
③若甲、乙不在两端，则有种.
综上可得，（种），
故不同的排法共有种.
解法2 捆绑甲、乙，先排丙，则有（种）.
故不同的排法共有种.
故答案为.
13. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______.
答案：2
解析：
思路：根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求.
解答过程：设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
因为首项为1，所以，
所以，故.
故2
14. 函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题：
①是函数的极小值点；
②是函数的最小值点；
③在区间上严格增；
④在处切线的斜率小于零.
以上所有正确命题的序号是__________.
答案：①③
解析：
思路：观察的图像在左右的符号即可判断①；观察的图像，利用导函数的正负与原函数的单调性的关系可判断②③；利用导数的几何意义即可判断④.
解答过程：有图像可知，的左侧导数值为负，右侧为正，故是函数的极小值点；
的左右两侧导数值均为正，故不是函数的最值点；
在区间导数值为正，故在区间上严格增；
，故在处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③.
故①③.
四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等.
（1）求n的值与展开式中各项的系数和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
答案：（1）6,1；
（2）.
解析：
思路：（1）利用组合数性质求，赋值法求系数和；
（2）根据组合数性质确定二项式最大项，结合通项公式可得.
（1）由题知，，由组合数性质可知，；
令得展开式中各项的系数和为
（2）因为，所以展开式共有7项，
由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，
所以.
16. 设为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式；
（2）先求出数列的通项，裂项后求和即得.
（1）设等差数列的公差为，
由条件可知，
解得，，
所以的通项公式为．
（2）因为，
所以数列的前项和为.
17. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
答案：（1）
（2）的单增区间为，，单减区间为；极大值为，极小值为.
解析：
思路：（1）求导函数，从而可得，计算，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导函数的零点，确定函数的单调性与极值即可.
（1），，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，，
令得，
则的变化入下表：
故函数的单增区间为，，单减区间为；
函数的极大值为，极小值为.
18. 已知数列满足：，；数列的前项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，由可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
（1）因为，所以，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
，
当时，
当时，符合，
所以.
（2）由（1）可得：，
①
②
①②可得：
，
所以.
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求的最大值．
答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解析：
思路：（1）通过导函数的符号判断函数的单调性即可；
（2）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值，解对数不等式即可求得参数的范围.
（1）当时，，函数定义域为，
有，
解得，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）不等式恒成立，
即恒成立，即恒成立.
令，则，
当时，则，函数在上单调递增，
因为，不符合题意；
当时，由，得，则函数在上单调递增，
由，得，则函数在上单调递减，
故的最大值为，
由和，解得.
综上可得，的最大值为.单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增