第36讲 等差数列及其前n项和 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精练 PAGEREF _Tc234240523 \h 4
考点一：等差数列的判定与证明 PAGEREF _Tc234240524 \h 4
考点二：等差数列的基本量运算 PAGEREF _Tc234240525 \h 4
考点三：等差数列的性质 PAGEREF _Tc234240526 \h 5
考点四：等差数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc234240527 \h 6
考点五：等差数列前n项和的最值 PAGEREF _Tc234240528 \h 6
考点六：对于含绝对值的等差数列求和问题 PAGEREF _Tc234240529 \h 7
考点七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 PAGEREF _Tc234240530 \h 7
考点八：利用等差数列的单调性求解 PAGEREF _Tc234240531 \h 8
考点九：等差数列中的范围与恒成立问题 PAGEREF _Tc234240532 \h 8
考点十：等差数列的实际应用 PAGEREF _Tc234240533 \h 8
四、高考真题 PAGEREF _Tc234240534 \h 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对等差数列及其前n项和的考查保持了较高的频次，每年均有直接考查的题目.题型涵盖单选题与解答题.
2. 命题角度与特色
（1） 考查形式灵活多变，既有结合实际情境（如塔群数量）的单选题，也有在解答题中通过递推关系构造等差数列的证明题.
（2） 综合性与创新性强，常与新定义数列（如“可分数列”）、导数等知识交汇，对学生的逻辑推理能力、代数变形能力以及对数列本质的理解要求极高.
3. 备考策略
（1） 扎实掌握等差数列的通项公式、前n项和公式及其基本性质，做到面对基础题型能快速、准确求解.
（2） 加强对数列递推关系的变形训练，熟练掌握通过代数变形构造等差数列的常见技巧.
（3） 提升阅读理解与数学建模能力，面对新定义或实际情境问题时，能迅速剥离出等差数列的数学模型并加以解决.
二、知识清单
1. 等差数列的有关概念
（1） 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an−an−1=d(常数)(n∈N∗,n≥2).
（2） 等差中项：若三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=a+b2.
2. 等差数列的有关公式
（1） 等差数列的通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an=a1+(n−1)d.
（2） 等差数列的前n项和公式：设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn=na1+n(n−1)2d=n(a1+an)2.
3. 等差数列的判定方法
（1） 定义法：an−an−1=d(常数) (n≥2).
（2） 等差中项法：2an=an−1+an+1 (n≥2).
（3） 通项公式法：an=pn+q (p,q为常数).
（4） 前n项和法：Sn=An2+Bn (A,B为常数).
【易错提醒】判断数列是否为等差数列时，若使用定义法，必须证明对任意n≥2，an−an−1为同一个常数，严禁仅凭前几项的差相等就下结论.
4. 等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和.
（1） 通项公式的推广：an=am+(n−m)d (n,m∈N∗).
（2） 下标和性质：在等差数列{an}中，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N∗).特别地，若m+n=2t，则am+an=2at (m,n,t∈N∗).
（3） 子数列性质：ak,ak+m,ak+2m,⋯仍是等差数列，公差为md (k,m∈N∗).
（4） 片段和性质：Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,⋯也成等差数列，公差为n2d.
（5） 线性运算性质：若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}也是等差数列.
（6） 均值性质：若{an}是等差数列，则{Snn}也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的12.
（7） 奇偶项性质：
① 若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)；S偶−S奇=nd；S奇S偶=anan+1.
② 若项数为奇数2n−1，则S2n−1=(2n−1)an；S奇−S偶=an；S奇S偶=nn−1.
③ 若项数为奇数2n+1，则S2n+1=(2n+1)an+1；S奇−S偶=an+1；S奇S偶=n+1n
5. 等差数列与函数的关系
（1） 通项公式与一次函数的关系：an=dn+(a1−d).当d≠0时，点(n,an)是分布在直线y=dx+(a1−d)上的一群孤立的点.
（2） 前n项和公式与二次函数的关系：Sn=d2n2+(a1−d2)n.当d≠0时，点(n,Sn)是分布在抛物线y=d2x2+(a1−d2)x上的一群孤立的点，且该抛物线过坐标原点.
【防坑警示】在利用Sn=An2+Bn+C判断等差数列时，注意常数项C必须为0.若C≠0，则该数列从第2项起才是等差数列，第一项不符合通项规律.
6. 等差数列的前n项和的最值
（1） 公差d>0⇔{an}为递增等差数列，Sn有最小值.
（2） 公差d0d0)的等差数列，则d=
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2.（2025·全国一卷·第16题）设数列{an}满足a1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1).
（1）证明：{nan}为等差数列；
（2）设f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxm，求f'(−2).
3.（2024·全国一卷·第19题）设m为正整数，数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj(i