第02讲 等差数列及其前n项和（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第02讲 等差数列及其前n项和（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共46页。
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 等差数列基础概念
知识点2 等差数列前n项和Sn
知识点3 等差数列的性质
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型1 等差数列的基本量运算" 题型1 等差数列的基本量运算
\l "__x0001_题型2 等差数列的判定与证明" 题型2 等差数列的判定与证明
【方法技巧】证明等差数列的两种方法
\l "__x0001_题型3 等差数列的性质" 题型3 等差数列的性质
【方法技巧】下标等量代换法
\l "__x0001_题型4 等差数列前n项和的性质" 题型4 等差数列前n项和的性质
\l "__x0001_题型5 等差数列前n项和的最值" 题型5 等差数列前n项和的最值
【方法技巧】求最值双解法
\l "__x0001_题型6 等差数列的实际应用及数学文化" 题型6 等差数列的实际应用及数学文化
\l "__x0001_题型7 等差数列奇偶项问题" 题型7 等差数列奇偶项问题
【方法技巧】奇偶分组对比法
\l "__x0001_题型8 含绝对值的等差数列求和问题" 题型8 含绝对值的等差数列求和问题
【方法技巧】分段去绝对值求和法
\l "__x0001_题型9 等差数列中的范围与恒成立问题" 题型9 等差数列中的范围与恒成立问题
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 等差数列基础概念
1.等差数列定义
从第2项起，每一项与前一项的________为同一个常数d（公差），满足：an+1−an=d（d为常数）。
2.等差中项
若a,A,b成等差数列，则A为a、b的等差中项，关系式：________。
3.通项公式与变形
设首项a1，公差d
通项：an=________
变形1：am=a1+(m−1)d 变形2：an=________
自主检测
1．在等差数列中，若，则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
已知数列满足：.求证：为等差数列.
\l "_Tc25045" 知识点2 等差数列前n项和Sn
1.两个求和公式
Sn=________ Sn=________
2.函数特征
整理得：Sn=________①d≠0：Sn是关于n的二次函数，无________，对应图像为离散孤立点；
②d=0：Sn是关于n的一次函数（常数列时为常数），图像为直线上离散点。
自主检测
3．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．13
4．已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（ ）
A．0B．1C．2D．3
\l "_Tc25045" 知识点3 等差数列的性质
1.项下标相关性质
（1）若m+n=p+q，则am+an=________；
（2）若m+n=2k，则am+an=________；
（3）下标成等差的项，构成新等差数列，公差为md。
2.数列线性运算性质
设an公差为d，
{an+c}：公差仍为________（c为常数）
（2）{can}：公差为________（c为常数）
（3）{an+k}：公差仍为________（k为常数）
（4）{pan±qbn}：公差为________（{bn}公差d2）
3.片段和相关性质
设an前n项和Sn
（1）Snn为________数列，首项a1，公差d2；
（2）Sk,S2k−Sk,S3k−S2k…成等差数列，公差________；
（3）项数为2k：S2k=________，S偶−S奇=kd；
（4）项数为2k−1：S2k−1=(2k−1)ak，S奇S偶=________；
自主检测
5．已知数列是等差数列，且，，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
6．已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（ ）
A．200B．400C．320D．160
题●型●破●译
题型1 等差数列的基本量运算
例1-1（2025·广西贺州·三模）记为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．5B．4C．6D．7
例1-2（2025·海南三沙·二模）为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（ ）
A．16B．17C．15D．14
【变式1-1】（2026·山西临汾·一模）设等差数列的前项和为，若，，则__________．
【变式1-2】（2025·广西崇左·一模）（多选）若等差数列的公差 ，且 的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2025·广西来宾·三模）（多选）等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各项也为定值的有（ ）
A．B．C．D．
题型2 等差数列的判定与证明
例2-1（2026·辽宁盘锦·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求证：数列是等差数列；
例2-2（2025·海南海口·三模）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等差数列；
【变式2-1】（2025·山东青岛·模拟预测）在正项数列中，.
(1)证明：是等差数列．
【变式2-2】（2025·广西柳州·三模）已知数列满足，．
(1)求证：数列为等差数列，并求；
【变式2-3·变角度】（2025·安徽黄山·二模）已知数列满足
(1)证明：数列是等差数列；
题型3 等差数列的性质
例3-1（2025·广东广州·模拟预测）已知数列与均为等差数列，且，则（ ）
A．14B．7C．10D．5
例3-2（2025·福建漳州·二模）已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【变式3-1】（2026·湖北十堰·三模）在等差数列中， ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2026·河北张家口·三模）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．14C．D．21
【变式3-3】（2025·福建南平·二模）设等差数列的前n项和为，若，则＝______．
题型4 等差数列前n项和的性质
例4-1（2025·甘肃陇南·一模）记为等差数列的前项和，若，，则______________．
例4-2（2025·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和分别为，且，则__________.
【变式4-1】（2026·河南漯河·二模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A．15B．14C．13D．12
【变式4-2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则__________．
【变式4-3】（2026·黑龙江鸡西·一模）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________．
题型5 等差数列前n项和的最值
例5-1（2025·安徽安庆·二模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例5-2（2025·广东佛山·模拟预测）已知数列的前项和满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和的最大值.
【变式5-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）（多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-2】（2026·湖北咸宁·三模）已知等差数列前项和为，，，则的最小值为_________．
【变式5-3】（2025·云南丽江·模拟预测）已知公差为的等差数列的前项和为，若，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型6 等差数列的实际应用及数学文化
例6-1（2025·云南昆明·模拟预测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
例6-2（2025·安徽阜阳·二模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______
【变式6-1】（2025·四川遂宁·二模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（ ）TFLOPS.
A．29B．32C．35D．38
【变式6-2】（2026·福建泉州·二模）把300毫升溶液分给5个实验小组，使每组所得成等差数列，且较多三组之和的是较少两组之和，则最少的那个组分得溶液__________毫升.
【变式6-3】（2025·广东肇庆·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____.
题型7 等差数列奇偶项问题
例7-1（2026·海南三亚·一模）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（ ）
A．B．C．D．
例7-2（2025·辽宁朝阳·一模）在等差数列中，公差，且，则（ ）
A．5B．50C．60D．105
【变式7-1】（2025·湖南永州·一模）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2025·广东中山·二模）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______.
【变式7-3】（2026·辽宁沈阳·二模）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______．
题型8 含绝对值的等差数列求和问题
例8-1（2025·四川乐山·二模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例8-2（2025·江西抚州·三模）已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式8-1】（2025·浙江杭州·三模）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________．
【变式8-2】（2025·广东东莞·一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式8-3】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
题型9 等差数列中的范围与恒成立问题
例9-1（2026·辽宁锦州·一模）已知数列的前项和为．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式：
(2)若对任意恒成立．求实数的取值范围．
例9-2（2025·广东深圳·模拟预测）已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式和前n项和；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【变式9-1】（2025·广东湛江·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2026·黑龙江牡丹江·二模）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
【变式9-3】（2025·安徽铜陵·一模）设为数列的前n项和，且.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．
6．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________．
7．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知在等差数列中，，．求．
2．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求．
3．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式．
4．根据下列等差数列中的已知量，求相应的未知量：
（1），，，求d及n；
（2），，，求及﹔
（3），，，求n及；
（4），，，求及．
5．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
（1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式．
6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数．
7．已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数．
8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式．
核心考点
2026年
2025年
2024年
等差数列基本量的运算
全国一卷T7（5分）
全国二卷T12（5分）
全国二卷T7（5分）
全国II卷T12（1）（6分）
全国I卷T19（17分）
等差数列的证明
全国一卷T16（1）（7分）
等差数列的性质
——
——
全国甲卷（理）T4（5分）
考情分析
近三年考情显示，该内容为高考必考考点，分值稳定。选择、填空常单独命题，侧重首项、公差等基本量运算、数列性质与奇偶项求和，难度偏低。解答题常与等比数列综合设问，也会结合函数最值、不等式出题，含绝对值求和、恒成立等难点，综合性更强，是大题高频考点。
复习目标
1.理解等差数列、等差中项定义，熟练掌握判定方法。
2.熟记通项、前n项和公式，灵活运用基本量与下标性质快速计算。
3.分清等差数列和一次、二次函数的关联，会借助函数求解最值。
4.能处理奇偶项、绝对值求和、恒成立问题，可结合实际情境建立等差模型解题。
方法技巧 证明等差数列的两种方法
1.定义法：证明an+1−an=d（d为常数，n∈N∗），适用于已知递推关系式的题型。
2.等差中项法：证明2an+1=an+an+2，无需计算公差，适合仅给出三项关系的证明题。
方法技巧 下标等量代换法
1.下标和相等性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；若m+n=2k，则am+an=2ak，快速实现项的转化。
2.下标等差性质：下标成等差数列的项，构成新等差数列，公差为原公差的倍数。
3.线性运算性质：an+c、can、an+k仍为等差数列，直接用于化简复合数列。
方法技巧 求最值双解法
1.通项不等式法：求最大项令an≥0an+1≤0；求最小项令an≤0an+1≥0，解出n的正整数取值。
2.二次函数法：Sn=d2n2+a1−d2n，根据二次函数开口、对称轴判断最值位置，注意n取正整数。
3.常数列d=0时，所有项相等，Sn无增减变化；d>0和dk，负数取相反数，Tn=2Sk−Sn。
3.分段书写最终求和表达式，不可合并为单一式子。
4.计算时先求出原数列前k项和，再结合Sn公式代入化简，注意符号变换。