第35讲 数列的基本知识与概念 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第35讲 数列的基本知识与概念 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共14页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc234228556 \h 2
考点一：数列的周期性 PAGEREF _Tc234228557 \h 2
考点二：数列的单调性 PAGEREF _Tc234228558 \h 4
考点三：数列的最值项 PAGEREF _Tc234228559 \h 6
考点四：数列中的规律问题 PAGEREF _Tc234228560 \h 8
考点五：数列的恒成立问题 PAGEREF _Tc234228561 \h 10
考点六：递推数列问题 PAGEREF _Tc234228562 \h 11
四、高考真题 PAGEREF _Tc234228563 \h 14
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，本讲知识仅在2024年以单选题形式直接考查过一次.题目主要将数列的递推关系融入函数背景中，侧重考查学生的赋值计算与逻辑推演能力.
2. 命题角度与特色
（1） 创新交汇：将数列的递推关系隐藏在抽象函数的性质中，以连续整数自变量的函数值更迭来替代传统的数列项，考查学生对递推思想的本质理解与灵活迁移.
（2） 侧重推演：弱化了对通项公式的刻板求解，更加注重通过逐项代入、逻辑推演来发现规律或确定数值的范围.
3. 备考策略
（1） 拓宽认知边界：在复习常规等差、等比数列的基础上，加强对斐波那契数列等特殊递推模型的理解，看透其本质特征.
（2） 强化推演能力：面对复杂或抽象的递推关系，要敢于并善于通过赋值法逐项推导，培养严密的代数推理与估算能力.
二、知识清单
1. 数列的概念
（1） 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
（2） 数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N∗（或它的有限子集{1,2,⋯,n}）为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
（3） 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
2. 数列的分类
（1） 按照项数有限和无限分：有穷数列、无穷数列.
（2） 按单调性来分：
① 递增数列：an+1≥an.
② 递减数列：an+1≤an.
③ 常数列：an+1=an=C（常数）.
④ 摆动数列.
（3） 按有无界限分：有界数列（存在正数M，使得|an|≤M）、无界数列.
（4） 按周期性分：周期数列（存在正整数T，使得对任意正整数n都有an+T=an）.
3. 数列的两种常用的表示方法
（1） 通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
（2） 递推公式：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
三、典题精讲
考点一：数列的周期性
考法1：利用递推关系求周期与特定项
例1.（2026·湖北孝感·一模）设数列{an}满足an+1=2−3an3+2an，且a1=1，则a2026的值为（ ）
A. −15 B. 15 C. −1 D. 1
【答案】A
【思路】根据递推公式，由首项依次计算出数列的前几项，观察数值的变化，寻找是否存在周期性规律，进而求出高次项的值.
【解析】∵an+1=2−3an3+2an，且a1=1，∴a2=2−3a13+2a1=−15，a3=2−3a23+2a2=2−3(−15)3+2(−15)=1=a1.∴数列{an}的周期为2，故a2026=a2=−15.故选A.
【规律】对于由分式形式给出的递推数列，求高次项时，首选策略是计算前几项寻找周期性.
考法2：结合周期性求数列前n项和
例2.（2025·河南·联考）（多选）记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=2,an−anan+1=1，则（ ）
A. a2=12 B. a4=3 C. a2025=−1 D. S2025=20232
【答案】AC
【思路】利用已知的递推关系an−anan+1=1和首项a1=2，逐项计算出a2,a3,a4，判断选项A、B的正误，并从中发现数列的周期性，进而求出a2025和S2025以判断选项C、D.
【解析】当n=1时，a1−a1a2=1，∵a1=2，∴a2=12，故A正确.当n=2时，a2−a2a3=1，∴12−12a3=1，即a3=−1.当n=3时，a3−a3a4=1，∴−1+a4=1，即a4=2，故B错误.数列{an}是周期为3的周期数列，∴a2025=a675×3=a3=−1，故C正确.S2025=675×(a1+a2+a3)=675×(2+12−1)=20252，故D错误.故选AC.
【规律】处理非线性递推数列的项与前n项和问题时，通过逐项递推发现周期性是破题的关键，求和时利用周期将大项数转化为整周期求和与零头项求和.
考法3：结合已知项求参数后利用周期性求值
例3.在数列{an}中，已知an>0，a1=1，an+2=1an+1，且a100=a96，则a2022+a3=（ ）
A. 52 B. 1+52 C. 52 D. −1+52
【答案】C
【思路】由递推公式an+2=1an+1寻找项与项之间的联系，结合已知条件a100=a96建立关于某一项的方程，解出该项后，再利用递推关系推导其他项的值.
【解析】由an+2=1an+1，可得a100=1a98+1=11a96+1+1.∵a100=a96，∴11a96+1+1=a96，整理得a962+a96−1=0.∵an>0，解得a96=5−12，从而a98=1a96+1=5−12，a100=1a98+1=5−12.可知a96=a98=a100=⋯=a2022=5−12.∵a3=1a1+1=12，∴a2022+a3=52.
【规律】当递推关系跨越两项时，可通过代入法将条件转化为相邻项或同一项的方程.利用已知的高次项相等关系，可倒推求出数列的具体项.
考法4：利用函数迭代或三角函数求周期与特定项
例4.（2026·湖南·模拟）已知数列an=sin(2n+1)π2，若an+m=an，则正整数m的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【思路】先利用诱导公式化简数列的通项公式，将其转化为余弦函数的形式，然后利用余弦函数的周期性来确定正整数m的最小值.
【解析】此时an=sinnπ+π2=csnπ.而an+2=cs(nπ+2π)=an，an+1=cs(nπ+π)=−an，且a1=−1≠0，可得正整数m的最小值为2.故选B.
【规律】对于通项公式为三角函数形式的数列，其周期性直接由三角函数的周期性决定，化简通项公式是判断周期的前提.
考法5：斐波那契数列的余数周期探究
例5.斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：an+2=an+1+an，且a1=a2=1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则数列{bn}的第100项为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【思路】根据斐波那契数列的递推公式，依次写出原数列的前几项，并计算它们除以4的余数，观察新数列{bn}的循环节，从而确定其周期.
【解析】由题意有an+2=an+1+an，且a1=a2=1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则b1=1，b2=1，b3=2，b4=3，b5=1，b6=0，b7=1，b8=1，b9=2….则数列{bn}是以6为周期的周期数列.则b100=b16×6+4=b4=3.则数列{bn}的第100项为3.故选D.
【规律】研究数列各项除以某数的余数构成的数列时，由于余数的取值是有限的，该新数列必然呈现周期性，通过列举法找到循环节即可解决问题.
【考点一 方法总结】
1. 求解数列周期性问题的基本策略：先根据已知条件（如递推公式）计算出数列的前几项，观察并归纳出数列的周期.
2. 利用周期性求值：确定周期T后，利用an+T=an或Sn+T的相关性质，将高次项或大项数的求和问题转化为首个周期内的项或和的计算.
3. 特殊数列的周期性：对于涉及三角函数的数列，可结合三角函数本身的周期性进行分析；对于取余构造的新数列，同样通过列举前几项寻找循环节.
考点二：数列的单调性
考法6：判断数列的单调性
例6.（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列{an}满足：a1=12,an+1=an+ln(1+an)(n∈N∗)，则（ ）
A. an30，求导得f'(x)=11+x−1