2026年高考数学一轮复第02讲等差数列及其前n项和(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第02讲等差数列及其前n项和(复习讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共2页。学案主要包含了方法技巧，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练1-3，变式训练2-1，变式训练2-2，变式训练2-3，变式训练3-1等内容，欢迎下载使用。
01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30269" \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 1
02 \l "_Tc5794" 体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc5794 \h 3
\l "_Tc29514" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc29514 \h 4
\l "_Tc15674" 知能解码 PAGEREF _Tc15674 \h 4
\l "_Tc13153" 知识点1 等差数列的概念 PAGEREF _Tc13153 \h 4
\l "_Tc14846" 知识点2 等差数列的有关公式 PAGEREF _Tc14846 \h 4
\l "_Tc31775" 知识点3 等差数列的常用性质 PAGEREF _Tc31775 \h 4
\l "_Tc16450" 知识点4 等差数列与函数的关系 PAGEREF _Tc16450 \h 5
\l "_Tc28404" 题型破译 PAGEREF _Tc28404 \h 5
\l "_Tc24957" 题型1 等差数列基本量计数 PAGEREF _Tc24957 \h 5
【方法技巧】等差数列基本量计算方法
\l "_Tc32310" 题型2 等差数列判断与证明 PAGEREF _Tc32310 \h 6
【方法技巧】判断证明等差数列的方法
\l "_Tc14973" 题型3 等差数列角标和性质 PAGEREF _Tc14973 \h 7
【方法技巧】等差中项角标和性质
\l "_Tc16391" 题型4 等差数列前n项和性质 PAGEREF _Tc16391 \h 8
【方法技巧】等差数列前n项和性质
\l "_Tc27455" 题型5 等差数列前n项和最值 PAGEREF _Tc27455 \h 8
【方法技巧】等差数列前n项和最值方法
\l "_Tc13637" 题型6 等差数列实际应用 PAGEREF _Tc13637 \h 10
\l "_Tc13977" 题型7 等差数列奇偶项问题 PAGEREF _Tc13977 \h 11
\l "_Tc3352" 题型8 含绝对值等差数列前n项和 PAGEREF _Tc3352 \h 11
【方法技巧】含绝对值等差数列前n项和求和步骤
\l "_Tc20501" 题型9 等差数列单调性 PAGEREF _Tc20501 \h 13
\l "_Tc29152" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc29152 \h 13
\l "_Tc20903" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc20903 \h 14
\l "_Tc25045" 知识点1 等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．
(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）
②等差中项法：
自主检测an是首项a1=4，公差d=2的等差数列，如果an=2020，那么序号n=（ ）
A．1009B．1012C．1008D．1010
\l "_Tc25045" 知识点2 等差数列的有关公式
(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．
(2)等差数列的前项和公式(其中)．
自主检测设等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4=0，2a2+a6=2，则S10= .
\l "_Tc25045" 知识点3 等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
自主检测已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4,S8=10，则S12=（ ）
A．16B．18C．24D．26
\l "_Tc25045" 知识点4 等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．
(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
自主检测等差数列an中，若Sn=3n2+2n，则通项an= .
题型1 等差数列基本量计数
例1-1设等差数列an的前n项和为Sn．若a1+a3=6，a1+a4=8，则a4=（ ）
A．6B．7C．8D．9
例1-2已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=2，S9=126，若ak=26，则k= .
方法技巧 等差数列基本量计算方法
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练1-1】已知等差数列an的首项为2，公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，则a9等于（ ）
A．-32B．-30C．-28D．-26
【变式训练1-2】在等差数列an中，a1+a2=1,a3+a4=5，则a2023+a2024=（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4045
【变式训练1-3】已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=S5=5，则公差d= .
题型2 等差数列判断与证明
例2-1在数列an中，a1=1，点Pan,an+1在直线y=x+2上，则S5=（ ）
A．9B．16C．25D．36
例2-2已知数列an满足a1=4,an+1=4−4ann∈N*.
(1)求证：1an−2是等差数列.
(2)求数列an的通项公式.
方法技巧 判断证明等差数列方法
判断数列是等差数列的常用方法（定义法和等差中项法可用于证明）
（1）定义法：对任意是周一常数．
（2）等差中项法：对任意，湍足．
（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．
（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．
【变式训练2-1】已知数列an的前n项和为Sn，且an+1=an+2,S5=−35，则当Sn取得最小值时，n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式训练2-2】已知数列{an}满足a1=2，an+1=2−1an（n∈N∗），令bn=1an−1.
(1)求a2,a3的值；
(2)求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式.
【变式训练2-3】数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1−an+2.
(1)求a3,a4的值；
(2)设bn=an+1−an，证明bn是等差数列.
题型3 等差数列角标和性质
例3-1（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知各项为正的等差数列an的前n项和为Sn，且a3+a7+a11=15−S155，则a7⋅a8的最大值为（ ）
A．254B．4C．5D．454
例3-2（2025·四川眉山·模拟预测）已知等差数列an满足am−1+am+1−am2=0m>1，且前2m−1项和S2m−1=38，则m= .
方法技巧 等差中项角标和性质
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值．
【变式训练3-1】（2025·辽宁·二模）已知等差数列an满足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，则a1+a8=（ ）
A．1B．32C．4D．8
【变式训练3-2】记等差数列an的前n项和为Sn.若a5=−8，a10=2，则S14=（ ）
A．−42B．−49C．−63D．−70
【变式训练3-3】（2025·安徽·三模）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1+a2+a3=3，若ak+ak−1+ak−2=27，Sk=150，则k= ．
题型4 等差数列前n项和性质
例4-1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3S6=37，则S12S9=（ ）
A．37B．3C．32D．53
例4-2等差数列an，bn的前n项和分别为Sn与Tn，且5n+4Tn=4n+3Sn，则b9+b7a15= ．
方法技巧 等差数列前n项和性质
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
【变式训练4-1】已知等差数列an的前n项和为Sn，若S2=8,S6=3，则S4的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【变式训练4-2】设 Sn是等差数列{an}的前n项的和，若 S10=50,S50=10则 S60= .
【变式训练4-3】已知数列an和bn都是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=3n+12n+5，则a4b5= .
题型5 等差数列前n项和最值
例5-1（2025·广西南宁·三模）设等差数列an的前n项和为Sn，若a5=2，a3+a8=12−a7，则Sn的最小值为（ ）
A．−14B．−494C．−12D．−10
例5-2已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2an−116.
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=3lg21an，求数列bn的前n项和Tn，并求Tn的最大值.
方法技巧 等差数列前n项和最值方法
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
【变式训练5-1】已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3+a10>0，S111)满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列an，记数列an的前n项和为Sn，则2Sn+an+23n的最小值为（ ）
A．26B．36C．38D．46
例6-2专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（ ）
A．25台B．24台C．23台D．22台
【变式训练6-1】鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为1mm､公差为4mm的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为190mm，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式训练6-2】生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日．
题型7 等差数列奇偶项问题
例7-1等差数列an的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差d,a9a8的值分别是（ ）
A．8,109B．9,109C．9,119D．8,119
例7-2已知等差数列an的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【变式训练7-1】已知等差数列an的项数为2m+1m∈Ν∗,其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m=( )
A．6B．7C．12D．13
【变式训练7-2】一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A．14B．2C．13D．25
【变式训练7-3】已知等差数列an的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B−A=45，2A=B+615，则an=（ ）
A．3n−2B．3n−1C．3n+1D．3n+2
题型8 含绝对值等差数列前n项和
例8-1已知Sn是数列an的前n项和，且2Sn=38−an.
(1)求证：数列an是等比数列；
(2)设bn=lg3an，求数列bn的前n项和Tn.
例8-2已知数列an 满足 a1=5,an+1=an+2n
(1)求数列an的通项公式
(2)若数列bn 满足 bn=an−n2，求数列bn的前 n 项和 Tn
方法技巧 含绝对值等差数列前n项和求解步骤
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
【变式训练8-1】已知数列an为等差数列，首项a1=1，公差d=2．
(1)若bn=3an+1，证明：bn是等比数列；
(2)若cn=1anan+1，设数列cn的前n项和为Sn，求满足Sn>1225的n的最小值．
(3)若dn=12−an，求数列dn的前n项和Tn；
【变式训练8-2】等差数列an的前n项和记为Sn，已知S3=−15，且a1,a3,−a4成等差数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列an的前n项和Sn
(3)求数列an的前16项的和T16.
【变式训练8-3】已知数列an、bn的各项均不为零，若bn是单调递增数列，且2an=bn⋅bn+1，an+an+1=bn+12，a1=b2，a2=b6.
(1)求b1及数列bn的通项公式；
(2)设cn=|9−bn|，求数列cn的前n项和Tn.
题型9 等差数列单调性
例9-1（多选） 设等差数列an的前n项和Sn,a1>0，公差为d,a7+a8>0且a7a80
【变式训练9-2】（多选） 等差数列an的前n项和为Sn，若S7S10，则（ ）
A．a9=0B．数列an是递减数列C．S9