第35讲 等差数列及其前n项和--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
考点1 等差数列的基本运算
[名师点睛]
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
[典例]
1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得，由等差数列通项公式可求得结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
2．（2022·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可．
【详解】由题可知．
故选：B．
3．（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列满足，则它的前13项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则
因为，所以，即.
所以.
故选：B.
4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【详解】因为，
又，
所以，
所以，
故选：B．
[举一反三]
1．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【详解】因为，又，所以，所以，即，设等差数列的公差为，
则，所以，又，所以，所以．
故选：C.
2．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若数列也是等差数列，则其首项与公差的比（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设等差数列，则
因为数列也是等差数列，所以，
则，所以
即有，解得
故选：D．
3．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，则，
因为，可得，则，
设等差数列的公差为，则，
由题意可得，可得.
即的取值范围是.
故选：C.
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【详解】解：在等差数列中，，，故，
又，故，
则，故.
故选：C.
5．（多选）（2022·福建·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】取，则，解得，即A正确；
由A可知，，则，即B正确；
于是有，
因为，且，即C正确；
因为，即D错误.
故选：ABC
6．（多选）（2022·河北衡水·二模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】解：由题意得：
对于选项A：取，则，解得，即A正确；
对于选项B：由A可知，，则，即B正确；
对于选项C：因为，即C错误；
对于选项D：因为，且，即D正确.
故选：ABD.
7．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
8．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．
【答案】4
【详解】设公差为，则，
解得：，所以
故答案为：4
9．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，则数列的前13项和为______．
【答案】
【详解】解：设等差数列的公差为d，因为，
，
，
则，
故答案为：．
10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=_______．
【答案】
【详解】是等差数列，设公差为，
又，，，
.
故答案为：.
11．（2022·山东淄博·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，，则______．
【答案】4
【详解】由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，
解得：或（舍去）.
故答案为：4
12．（2022·河北唐山·一模）记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，.
故答案为：.
考点2 等差数列的判定与证明
[名师点睛]
1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
[典例]
(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{eq \r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解 ①③⇒②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，
所以eq \r(Sn)＝neq \r(a1)，
所以eq \r(Sn＋1)－eq \r(Sn)＝(n＋1)eq \r(a1)－neq \r(a1)＝eq \r(a1)(常数)，所以数列{eq \r(Sn)}是等差数列.
①②⇒③.
已知{an}是等差数列，{eq \r(Sn)}是等差数列.
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝eq \f(1,2)n2d＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
因为数列{eq \r(Sn)}是等差数列，所以数列{eq \r(Sn)}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－eq \f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③⇒①.
已知数列{eq \r(Sn)}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{eq \r(Sn)}的公差为d，d＞0，则eq \r(S2)－eq \r(S1)＝eq \r(4a1)－eq \r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq \r(Sn)＝eq \r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{an}是等差数列.
[举一反三]
1．（2022·江苏常州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求证：数列是等差数列；
(2)求出数列的通项公式和前n项和．
【解】(1)证明：由，得．
相减得，即．
所以，故数列是等差数列．
(2)解：当时，，则，
由于数列是等差数列，故，∴．
∴．
2．（2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2).已知数列的前项和为，求证：.
【解】(1)证明：由，得.
又，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
故，，故；
(2)解：由（1）得，则，故数列是以为首项，公比为的等比数列，
故，又，故，即得证.
考点3 等差数列的性质及应用
[名师点睛]
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
[典例]
1．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式，求得，结合等差数列的性质，化简得到，即可求解.
【详解】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，
则.
故选：C.
2．（2022·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.
【答案】1
【分析】根据题意，利用等差数列等差中项的性质即可求得和，进而求得公差.
【详解】设这个等差数列为，则，
，所以，，所以公差.
故答案为：1.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A.35 B.42 C.49 D.63
答案 B
解析 在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.
4.(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
答案 C
解析 设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq \f(27×26,2)×9＝3 402(块).
5．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据题中等式求解出等差数列的公差，进而求解出数列的前项和，最后根据的表达式求解出结果
【详解】设公差为则，
因此，所以当时，取最大值
故选：B
[举一反三]
1．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列性质若，则，可得．
【详解】∵，则
∴
故选：B．
2．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）设是等差数列的前n项和，，，则（ ）
A．90B．100C．120D．200
【答案】B
【分析】由等差数列前n项和公式及等差数列下标和性质，即可求.
【详解】由.
故选：B
3．（2022·广东广州·二模）已知数列是等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质求出，再利用此性质结合诱导公式计算作答.
【详解】在等差数列中，，则有，即，
所以.
故选：D
4．（2022·北京通州·一模）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．60B．70C．120D．140
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质可求得 ，利用等差数列前n项和公式并化简，可得答案.
【详解】在等差数列中，，则 ，
故，
故选：B
5．（2022·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（ ）
A．3033B．4044C．6066D．8088
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可.
【详解】由等差数列知，，
所以，
故选：C
6．（2022·广东佛山·模拟预测）已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由已知分析可得，公差，讨论当时，当，时，与的关系，计算即求得的取值范围,得出结果.
【详解】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差，
当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则
当，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则,则有，
综合可得：分析选项可得：BCD符合题意；
故选：A
7．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则（ ）
A． B．，，为等差数列
C．数列是等比数列 D．是的最小值
【答案】ACD
【分析】对于A，由已知条件直接求解即可，对于B，由等差数列的性质判断，对于C，由等比数列的定义判断即可，对于D，求出等差数的通项公式判断即可
【详解】由，所以，所以，故A正确；
由等差数列性质，，，
所以，，不是等差数列，故B错误；
因为，
所以，所以数列是等比数列，故C正确；
当时，，即数列中，，，均为负数，
当时，.所以是的最小值，故D正确.
故选：ACD.
8．（多选）（2022·湖南永州·三模）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解
【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选：BD
9．（2022·湖南·模拟预测）设是等差数列的前项和，，则的最小值为______________．
【答案】4
【分析】根据已知条件可以求出首项和公差，从而求出，通过的表达式即可判断
【详解】解析：设等差数列的公差为．由题意可知解得，
则的前项和，
而函数的零点为和，
故当接近或时，取得最小值．
又，
所以当时，的最小值为．
故答案为：4
10．（2022·广东·模拟预测）已知和均为等差数列，若，则的值是__________.
【答案】6
【分析】利用等差数列的性质计算即可得解.
【详解】解：因为和均为等差数列，
所以，
所以，
即，
所以.
故答案为：6.
11．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，当取得最小值时，______.
【答案】7
【分析】根据等差中项的性质得到，把化为关于公差的关系式，进而得到时取得最小值，进而求出答案.
【详解】由题意得：，则；，
所以：当时，取得最小值.此时
故答案为：7
12．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，_____.
【答案】（答案不唯一）
【分析】可以利用等差数列的前项和公式和二次函数的性质求解即可.
【详解】对于等差数列，其前项和，由二次函数的性质可知，数列前项和在或时取到最大值，
故答案为： （答案不唯一）
13．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
14．（2022·重庆·三模）公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，．
(1)求；
(2)数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．
【解】(1)记等差数列的公差为，
由题知，整理得
因为
所以可解得
所以
(2)由（1）可知
因为数列的公差为，
所以
因为的对称轴为，
所以当时，有最大值