第29讲 解三角形 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第29讲 解三角形 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共10页。
考法1：正弦定理求边长及比值 PAGEREF _Tc233471252 \h 1
考法2：正弦定理化简求角 PAGEREF _Tc233471253 \h 1
考法3：正弦定理与面积公式综合 PAGEREF _Tc233471254 \h 1
考点二：余弦定理的应用 PAGEREF _Tc233471255 \h 2
考法4：余弦定理求边长 PAGEREF _Tc233471256 \h 2
考法5：余弦定理求角 PAGEREF _Tc233471257 \h 2
考法6：余弦定理与面积公式综合 PAGEREF _Tc233471258 \h 2
考点三：判断三角形的形状 PAGEREF _Tc233471259 \h 3
考法7：利用正余弦定理边角互化判断形状 PAGEREF _Tc233471260 \h 3
考点四：三角形解的个数 PAGEREF _Tc233471261 \h 3
考法8：判断三角形解的个数或唯一性 PAGEREF _Tc233471262 \h 3
考法9：根据解的个数求参数或边长范围 PAGEREF _Tc233471263 \h 3
考点五：正、余弦定理的综合应用 PAGEREF _Tc233471264 \h 4
考法10：正余弦定理边角互化求值与求角 PAGEREF _Tc233471265 \h 4
考法11：正余弦定理结合三角恒等变换 PAGEREF _Tc233471266 \h 4
考法12：正余弦定理结合几何性质 PAGEREF _Tc233471267 \h 4
考法13：正余弦定理结合代数最值与范围 PAGEREF _Tc233471268 \h 4
考法14：正余弦定理与其他知识交汇 PAGEREF _Tc233471269 \h 5
考点六：三角形中的面积与周长问题 PAGEREF _Tc233471270 \h 5
考法15：三角形面积的计算与最值 PAGEREF _Tc233471271 \h 5
考法16：三角形周长的计算与最值 PAGEREF _Tc233471272 \h 6
考点七：倍角关系 PAGEREF _Tc233471273 \h 6
考法17：倍角关系下的解三角形综合 PAGEREF _Tc233471274 \h 6
考点八：解三角形的实际应用 PAGEREF _Tc233471275 \h 7
考法18：测量距离与高度问题 PAGEREF _Tc233471276 \h 7
考法19：航海与方位角问题 PAGEREF _Tc233471277 \h 7
考点一：正弦定理的应用
考法1：正弦定理求边长及比值
1.（2026·南雅中学·检测）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B=π3，边长c=4，则边长b的取值范围是（ ）
A. (23,43) B. [23,43] C. (43,+∞) D. (0,23)
2.（2026·广东深圳·一模）在△ABC中，已知A=π4，B=5π12，a=2，则c=＿＿＿＿＿.
考法2：正弦定理化简求角
3.（2025·深圳中学·一阶测试）在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=45∘,a=6,b=32，则B的大小为（ ）
A. 30∘ B. 60∘ C. 30∘或150∘ D. 60∘或120∘
4.（2026·江苏南京栖霞区名校联盟·一模）在△ABC中，tanA=12，tanB=13，则△ABC的最短边与最长边之比为（ ）
A. 53 B. 54 C. 55 D. 56
考法3：正弦定理与面积公式综合
5.（2026·广东佛山·二模）在△ABC中，AB=2，BC=3+1，A=105∘，则△ABC的面积为（ ）
A. 2+12 B. 2 C. 3+12 D. 3
6.（2026·安徽皖江名校联盟·最后一卷）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(a+b+c)(sinA+sinB−sinC)=asinB+2bsinA.
（1）求角C的大小；
（2）若c=3，求△ABC面积的最大值.
考点二：余弦定理的应用
考法4：余弦定理求边长
7.（2025·江西上进联考·5月适应性大练兵）已知△ABC中，AB=3,B=π6,BC=4，则AC=（ ）
A. 7 B. 3 C. 11 D. 13
8.（2026·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，点A(1,3),B(3+1,0),C(0,0)，则△ABC的最大内角为（ ）
A. π3 B. 5π12 C. 2π3 D. 3π4
考法5：余弦定理求角
9.（2026·湖北武汉·4月调研）在△ABC中，若AB=8,AC=5,BC=7，则csC=（ ）
A. 0 B. 17 C. 12 D. 1114
10.（2026·安徽铜陵·模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=2，c=3.
（1）已知D为AC边上一点，AD=2CD，若BD=2，求csB的值；
（2）若C=2A，求b的值.
考法6：余弦定理与面积公式综合
11.（2026·浙江嘉兴·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2−b2−c2=bc=1，则△ABC的面积为（ ）
A. 12 B. 14 C. 32 D. 34
12.（2026·河北石家庄一中·一模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3，则△ABC的面积为＿＿＿＿＿＿.
考点三：判断三角形的形状
考法7：利用正余弦定理边角互化判断形状
13.（2026·山东临沂·一模）在△ABC中，“cs2A+cs2B−cs2C=1”是“△ABC为直角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14.（2026·浙江温州·一模）在△ABC中，角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c，则△ABC是等腰三角形的充分条件是（ ）（多选）
A. sinA=sinB
B. acsA=bcsB
C. acsB=bcsA
D. atanA=btanB
考点四：三角形解的个数
考法8：判断三角形解的个数或唯一性
15.（2026·湖北随州·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使得△ABC存在且唯一的是（ ）（多选）
A. A=π4，B=π3，△ABC外接圆的半径为1
B. A=π4，csB=−45，b=5
C. A=π4，a=3，b=2
D. A=π4，b=3，c=2
考法9：根据解的个数求参数或边长范围
16.在△ABC中，a=2，B=π6，若该三角形有两个解，则b边范围是（ ）
A. (2,4) B. (3,4) C. (3,2) D. (1,2)
考点五：正、余弦定理的综合应用
考法10：正余弦定理边角互化求值与求角
17.（2026·河南新未来·5月测评）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csC=45，2a2+2b2=3c2，则sinAsinB=（ ）
A. 940 B. 980 C. 715 D. 815
18.（2026·山东日照·二模）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=3，b=2，A=π3，则角B=＿＿＿＿＿＿.
考法11：正余弦定理结合三角恒等变换
19.（2026·湖南天壹名校联盟·4月质量检测）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为2，2sinA−π4=sin2B+sin2C，则abc=（ ）
A. 20 B. 16 C. 12 D. 8
20.（2025·安徽淮北、淮南市·二模）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，满足：sinA−sinCb+c=sinB−sinCa.
（1）求角B；
（2）若a=1,BA⋅BC=1，求内角平分线BD的长.
考法12：正余弦定理结合几何性质
21.（2026·湖北省新八校·二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积记为S，若acsA=bcsB且4S=3(a2+b2−c2)，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
考法13：正余弦定理结合代数最值与范围
22.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别是a、b、c，且a(sinA−sinB)=(b+c)(sinC−sinB)，下列结论正确的有（ ）（多选）
A. ∠C=π6
B. 若c=10,a=23，则满足条件的△ABC有2个
C. 如c=2,M为AB中点，则|CM|最大值为3
D. 若cs3A+cs2A=0有两解A1、A2(A1≠A2)，则csA1+csA2=12
23.（2026·八省八校T8联考·4月联合测评）在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b+bcsA=acsB，
（1）求角C的取值范围；
（2）求c−ab的取值范围.
考法14：正余弦定理与其他知识交汇
24.（2026·山东德州市·三模）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A=π3且a=2，三角形面积为3，则△ABC的周长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
25.（2026·江苏省南通市·第一次调研）在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a,b,c．已知a,b,c成等差数列，且2sinA=sinC．
（1）求csA的值；
（2）若△ABC的外接圆半径为41515，求△ABC的面积．
考点六：三角形中的面积与周长问题
考法15：三角形面积的计算与最值
26.（2026·山东省枣庄市·一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A=π3,a=4,b+c=8，则△ABC的面积为（ ）
A. 83 B. 43 C. 243−36 D. 123−18
27.（2026·浙江省强基联盟·5月题库）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a=2,b=3,B=2A，则△ABC的面积为＿＿＿＿＿＿.
考法16：三角形周长的计算与最值
28.（2026·江苏省前黄高级中学·考前攀登行动二）在△ABC中，设角A,B,C所对边分别为a,b,c．若△ABC为锐角三角形，且B=2A，则下列说法正确的是（ ）（多选）
A. csB∈(0,12)
B. 不存在△ABC使得其边长为三个连续的正整数
C. 存在△ABC使得其三边长成等比数列
D. 当b=1时，△ABC的面积存在最大值
29.（2026·安徽省阜阳市·一模）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2sinBcsBb+csCc=sinAsinC,b=3．
（1）求B；
（2）记△ABC的面积为S，周长为l，求Sl的取值范围．
考点七：倍角关系
考法17：倍角关系下的解三角形综合
30.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知acsB=b(1+csA)．
（1）证明：A=2B；
（2）若c=2b,a=3，求△ABC的面积．
考点八：解三角形的实际应用
考法18：测量距离与高度问题
31.（2026·广东省东莞市·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下A,B两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中CD与水平面ABC垂直．在已知山高CD的情况下，在山顶D处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定A,B两点间距离的是（ ）（多选）
A. ∠ADC,∠BDC,∠ADB
B. ∠ADC,∠ADB,∠ACB
C. ∠BDC,∠ADB,∠ACB
D. ∠ADC,∠BDC,∠ACB
考法19：航海与方位角问题
32.（2026·安徽省马鞍山市·一模）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距10nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西30∘，且与甲船相距6nmile的C处的乙船．那么∠ABC的正弦值为（ ）
A. 3314 B. 1114 C. 1314 D. 5314
33.（2026·江苏南京师范大学附属中学等校·模拟）制造一个三角形支架ABC（如图），要求C=60∘，BC的长度大于2米，且AC比AB长1米，为了增加稳定性，要求AC尽可能短，则AC最短为（ ）
A. (2+3)米 B. 4米 C. (2+23)米 D. (4+23)米