2025--2026学年辽宁沈阳市第四十中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年辽宁沈阳市第四十中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “”是“函数的最小正周期为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 中，，则符合条件的三角形有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
3. 已知,则
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 在△ABC中，若A＝105°，B＝30°，BC＝，则角B的平分线的长是( )
A. B.
C. 1D.
6. 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A. 重心B. 外心C. 内心D. 垂心
7. 已知锐角三角形的两个内角A,B满足，则有
A. B.
C. D.
8. 已知定义在R上的函数满足，当时，，则下列不
等式成立的是
A. B.
C. D.
二、多项选择题（每题6分，共18分）
9. 已知函数，的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为B.
C. 在区间 上单调递减D.
10. 已知，则下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
11. 已知函数，且相邻对称轴之间的距离为．现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数相邻的对称轴之间的距离为B. 函数是奇函数
C. 函数在区间上单调递增D.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知，，_______ .
13. 已知单位圆上第三象限内的一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为___________.
14. 若扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为______.
四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分）
15. 设向量，
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数在上有两个零点，求实数m的范围．
16. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围.
17. （1）化简
（2）若是第四象限角，求的值
18. 已知点A,B是函数图象上的任意两点，且角 的终边经过点P ，当 时，的最小值为
（1）求函数的单调减区间
（2）求函数在内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围
19. 已知函数.
（1）已知，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
数学
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1. “”是“函数的最小正周期为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据二倍角公式化简函数的表达式，即可根据周期公式求得解.
解答过程：，若的最小正周期为，则，则，
故“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.
2. 中，，则符合条件的三角形有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
答案：B
解析：
解答过程：由正弦定理可得: ,解得sinA= > ，故满足条件的角A有两个,一个钝角,一个锐角,应选B.
3. 已知,则
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由同角三角函数基本关系可得：，由诱导公式可得：，再由二倍角公式化简即可．
解答过程：因为，所以又，所以，所以，又=，所以==，故选D.
方法提示：本题考查三角函数化简，涉及同角三角函数的基本关系．二倍角公式和诱导公式，注意由角的范围确定三角函数值的正负．
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：
思路：根据正弦定理边角互化可得,即可根据投影的计算公式求解.
解答过程：由可得,
故,
由于，故，
，
所以在方向上的投影数量为.
5. 在△ABC中，若A＝105°，B＝30°，BC＝，则角B的平分线的长是( )
A. B.
C. 1D.
答案：C
解析：
思路：设角的平分线与交于点，先求得，则在中，
由正弦定理可知，从而可得结果.
解答过程：设角的平分线与交于点，
因为，
所以，
则在中，，，
由正弦定理可知，
，故选C.
方法提示：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6. 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A. 重心B. 外心C. 内心D. 垂心
答案：B
解析：
思路：设的中点为，两端同时点乘，由可得答案.
解答过程：设的中点为，
因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
7. 已知锐角三角形的两个内角A,B满足，则有
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：∵
∴
左边==右边=
即：cs2AcsB+sin2AsinB=cs（2A﹣B）=0
又三角形为锐角三角形，得2A﹣B=90°
sin2A=sin（B+90°）=csB，从而：sin2A﹣csB=0，
故选A
8. 已知定义在R上的函数满足，当时，，则下列不
等式成立的是
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：当时，，而，
则，函数在上单调递减，
对于A，，则，A错误；
对于B，，则，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
二、多项选择题（每题6分，共18分）
9. 已知函数，的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为B.
C. 在区间 上单调递减D.
答案：AD
解析：
思路：根据图像得函数的表达式，即可根据选项逐一求解.
解答过程：由图可知：最小正周期为,A正确，
，故，又 ,故，
因此，因为，则，因此，B错误，
，D正确，
，则，由于正弦函数在不是单调递减，故C错误.
10. 已知，则下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
答案：CD
解析：
思路：直接利用诱导公式和关系式的变换及函数的性质的应用判定的结果．
解答过程：解：对于选项，
利用诱导公式，整理得或，
所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于选项，整理得或，
故，或，故错误；
对于选项，必有一个负值，
假若为，则，
所以，故为钝角三角形，故正确．
对于选项：由于，
所以，
故，
整理得，
所以为等边三角形．
故正确．
故选：．
11. 已知函数，且相邻对称轴之间的距离为．现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数相邻的对称轴之间的距离为B. 函数是奇函数
C. 函数在区间上单调递增D.
答案：ACD
解析：
思路：由题可得的周期，再由周期公式可求出，从而可得的解析式，再由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项判断即可得出结论.
解答过程：由函数相邻对称轴之间的距离为，
则，故，即，
现将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，则；
对A：函数相邻的对称轴距离为，故A正确；
对B：，
故函数是偶函数，故B错误；
对C：当时，，故单调递增，故C正确；
对D：，故D正确.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知，，_______ .
答案：
解析：
思路：将已知条件两边平方结合同角三角函数基本关系可得的值，再计算的值，即可得和的值，由即可求解.
解答过程：因为，
所以即，
所以，解得：，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，
由 可得：，
所以，
故答案为.
13. 已知单位圆上第三象限内的一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为___________.
答案：
解析：
思路：首先设，根据题意得到，从而得到，，再根据求解即可.
解答过程：由题意设，
从而点沿圆周逆时针旋转到点，即点坐标为，
所以，，
∵，∴，则，
所以.
所以点的横坐标为.
故
14. 若扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为______.
答案：
解析：
思路：直接利用扇形面积公式即可求解.
解答过程：依题意，由扇形的面积公式可得：
.
故答案为.
四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分）
15. 设向量，
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数在上有两个零点，求实数m的范围．
答案：（1）最小正周期，单调递增区间为；（2）.
解析：
思路：（1）先根据向量的数量积运算以及二倍角公式、辅助角公式化简，然后根据最小正周期的计算公式和正弦函数的单调增区间求解出结果；
（2）将问题转化为“在上有两个根”，然后再将问题转化为“的图象与的图象有两个交点”，结合的图象求解出的取值范围.
解答过程：（1）因为，
所以，所以最小正周期，
令，所以，
所以单调递增区间为；
（2）因为函数在上有两个零点，所以在上有两个根，
所以的图象与的图象有两个交点，如下图所示：
因为，所以，
所以，此时，且，
若的图象与的图象有两个交点，则.
方法提示：思路点睛：求解形如的函数的单调递增区间的步骤如下：
（1）先令；
（2）解上述不等式求解出的取值范围即为的单调递增区间.
16. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）由已知条件可得，从而可求出，进而可求出角B的大小；
（2）由（1）可知，，所以，化简后得，然后求出角的范围，进而可求出的取值范围
解答过程：（1）∵，∴，
解得或（舍）.
∵，∴.
（2）∵由（1）可知，.
∴
∵，∴.∴.
即
17. （1）化简
（2）若是第四象限角，求的值
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据诱导公式即可化简，
（2）根据同角关系以及二倍角公式，即可代入正弦的和角公式中求解.
（1），
（2），
由于是第四象限角，故，
所以，
故
18. 已知点A,B是函数图象上的任意两点，且角 的终边经过点P ，当 时，的最小值为
（1）求函数的单调减区间
（2）求函数在内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围
答案：（1）；
（2）或
解析：
思路：（1）利用三角函数的定义求出的值，由题意知可得的值，进而可得的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解；
（2）由的范围求出的范围，利用正弦函数的性质即可求解；设，将问题转化为与的图象只有一个交点，
（1）因为角的终边经过点，所以，
因为，所以，
因为当时，的最小值为，
所以，可得：，所以，
令，解得：，
所以函数的单调减区间为；
（2）当时，，
所以，所以，
所以函数在内的值域为，
设，
因为方程在内有两个不相等的实数解，
则在内有一根或两个相等的实根，
因为，所以与的图象只有一个交点，
作出与的图象，
由图知：当时；当时， ；
当时，，
所以或直线与的图象只有一个交点，
当时，，此时方程只有一解，不符合题意，
所以或，
即方程在内有两个不相等的实数解，
所以：或
所以实数m的取值范围为或.
19. 已知函数.
（1）已知，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算；
（2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可.
解答过程：解：（1）
，
，
.
（2）当时，，可得，
由，不等式可化为
，有.
令，，则，
若不等式恒成立，则等价于，解得.
故实数的取值范围为.
方法提示：本题考查三角函数恒等变形和化简求值，与三角函数相关的不等式恒成立问题求参数取值范围问题，属中档题.
（1）三角函数知值求值是，要将已知中的角进行整体处理，将所求式子转化为已知角的三角函数的形式，然后综合利用公式计算；
（2）不等式恒成立问题要注意先进行等价转化，注意换元思想方法的应用，等价转化为二次函数在闭区间上恒成立问题，利用二次函数的图象和性质转化求解.