辽宁省沈阳市第四十中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案）

这是一份辽宁省沈阳市第四十中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，十月份销售总额与七等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知全集U=R，集合，那么∁UP=
A．(−∞,−1)B．(1,+∞)C．（-1，1)D．(−∞,−1)∪(1,+∞)
2．若是方程式的解，则属于区间（ ）
A．（0，1）B．（1，1.25）
C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）
3．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．15B．25C．35D．45
4．设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
A．[－x]=－[x]
B．[x + 12]=[x]
C．[2x]=2[x]
D．[x]+[x+12]=[2x]
5．函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x−1)都是奇函数，则
A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数
C．f(x)=f(x+2)D．f(x+3)是奇函数
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝cx,xA．75,25B．75,16C．60,25D．60,16
7．设fx是定义域为R的偶函数，且在0,+∞单调递减，则
A．flg314>f2−32>f2−23
B．flg314>f2−23>f2−32
C．f2−32>f2−23>flg314
D．f2−23>f2−32>flg314
8．已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的值域为0,+∞，若关于x的不等式fxA．9B．8C．0D．6
二、多选题
9．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a−b>12
C．lg2a+lg2b≥−2D．a+b≤2
10．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ）
A．AB+AC−AD=0
B．DA+EB+FC=0
C．若点P是线段AD上的动点，且满足BP=λBA+μBC，则λ+2μ=1
D．若△ABC所在平面内一点P满足AP=λ(AB|AB|+AC|AC|)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心
11．若“x2+3x−4<0”是“x2−2k+3x+k2+3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是（ ）
A．-8B．-5C．1D．4
12．已知函数f(x)=2x，g(x)=x2+ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m=fx1−fx2x1−x2，n=gx1−gx2x1−x2下列说法正确的是（ ）
A．对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；
B．对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；
C．对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m=n；
D．对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m=−n.
三、填空题
13．设常数a∈R，函数f(x)=x−1+x2−a，若f(2)=1，则f(1)= .
14．已知a>0,b>0,ab=8, 则当a的值为 时lg2a⋅lg22b取得最大值.
15．已知△ABC的面积为24，P是△ABC所在平面上的一点，满足PA+2PB+3PC=0，则△ABP的面积为 ；
16．若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是 ．
四、解答题
17．设全集U=R，已知集合A=(1,+∞)，集合B=[1,2].
(1)求∁UA；
(2)若C={x|a≤x≤2a−1}且C⊆B，求实数a的取值范围.
五、填空题
18．已知O为坐标原点，OA=1,2,OB=-2,-1，若2AP=AB，则OP=______？
19．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则，x 的最小值
六、解答题
20．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间x∈[−1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
21．新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制.为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分.
22．设函数fx=a2x−t+1ax(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
（1）若f1>0，求使不等式f2x2−x+fx2−k>0对x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（2）设函数fx的图像过点1,32，函数gx=lgafx+1.若对于任意的x1,x2∈0,1，都有gx1−gx2≤M，求M的最小值.
参考答案：
1．D
【详解】考点：补集及其运算．
分析：先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．
解：由集合P中的不等式x2≤1，解得-1≤x≤1，
所以集合P=[-1，1]，由全集U=R，
得到CUP=（-∞，1）∪（1，+∞）．
故选D
2．D
【详解】设f(x)=lgx+x−2,f(2)=lg2>0;
f(1.75)=lg1.75−0.25=lg74−14，
74=2501<44×10=2560,∴74<1014,则
f(1.75)=lg1.75−0.25=lg74−14属于区间（1.75，2）,故选D
3．B
【详解】试题分析：由题意P=C21C31C62=25．
故选B．
4．D
【详解】代值法．
对A, 设x =" -" 1.8, 则[-x] = 1, ，-[x] =" 2," 所以A选项为假．
对B, 设x = 1.8, 则[x+] = 2, [x] =" 1," 所以B选项为假．
对C, 设x =" -" 1.4, [2x] =" [-2.8]" =" -" 3, 2[x] =" -" 4, 所以C选项为假．
故D选项为真．所以选D
5．D
【详解】[方法一]：
∵ f(x+1)与f(x−1)都是奇函数，∴f(−x+1)=−f(x+1)，
f(−x−1)=−f(x−1)，∴函数fx关于点(1,0)，及点(−1,0)对称，函数fx是周期T=2[1−(−1)]=4的周期函数.∴f(−x−1+4)=−f(x−1+4)，f(−x+3)=−f(x+3)，即f(x+3)是奇函数.故选D.
[方法二]：
∵ f(x+1)与f(x−1)都是奇函数，∴f(−x+1)=−f(x+1)，
f(−x−1)=−f(x−1)，由∴f(−x+1)=−f(x+1)，得fx=−f2−x，
由f(−x−1)=−f(x−1)，得fx=−f−2−x，所以f2−x =f−2−x，
进而可得fx+4=fx，可见fx是周期4的周期函数.说明A与B不一定成立，C肯定不成立，而D成立的理由如下：f−x+3=f−x−1+4=f−x−1，
fx+3=fx−1+4=fx−1=−f−x−1，所以f−x+3=−fx+3.
6．D
【详解】由题意可得：f（A）=cA=15，所以c=15A而f（4）=c4=30，
可得出15A2=30故A=4，可得A=16
从而c=15A=60
故答案为D
7．C
【解析】由已知函数为偶函数，把flg314 , f2−32 , f2−23，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】∵fx是R的偶函数，∴flg314=flg34．
∵lg34>lg33=1,1=20>2−23>2−32,∴lg34>2−23>2−32，
又fx在(0，+∞)单调递减，
∴flg34∴f2−32>f2−23>flg314，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
8．A
【分析】由题意可得b=a24，然后求出不等式fx【详解】由题意知fx=x2+ax+b=x+a22+b−a24，
因为函数fx的值域为0,+∞，所以，b−a24=0，可得b=a24，
由fx0，且有x+a22所以，m=−a2−c，m+6=−a2+c，
所以，6=m+6−m=2c，解得c=9.
故选：A.
9．ABD
【分析】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，a2+b2=a2+1−a2=2a2−2a+1 =2a−122+12≥12，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；
对于B，a−b=2a−1>−1，所以2a−b>2−1=12，故B正确；
对于C，lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2a+b22=lg214=−2，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，
所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
10．BCD
【分析】由AB+AC−AD=2AD−AD=AD，可判断A不正确；向量的运算法则，可判断B正确；由平面向量的共线定理，可判断C正确；由ABAB是与AB同向的单位向量，ACAB时与AC同向的单位向量，结合向量的加法法则，可判定D正确.
【详解】在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，
A中，由AB+AC−AD=2AD−AD=AD，所以A不正确；
B中，由DA⃑+EB⃑+FC⃑=-12(AB⃑+AC⃑+BA⃑+BC⃑+CA⃑+CB⃑)=0⃑，所以B正确；
C中，由BP=λBA+μBC=λBA+2μBD，因为A,P,D三点共线，
根据平面向量的基本定理，可得λ+2μ=1，所以C正确；
D中，因为ABAB是与AB同向的单位向量，ACAB时与AC同向的单位向量，
所以点P在∠BAC的角平分线上，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心，所以D正确.
故选：BCD.

11．ACD
【分析】先解两个不等式，得到(−4,1)是(−∞,k)∪(k+3,+∞)的真子集，解不等式k≥1或k+3≤−4，即得解.
【详解】x2+3x−4<0，解得−4x2−(2k+3)x+k2+3k>0即(x−k)x−(k+3)>0，解得xk+3，
由题意知(−4,1)是(−∞,k)∪(k+3,+∞)的真子集，
所以k≥1或k+3≤−4，
所以k≥1或k≤−7，
即k∈(−∞,−7]∪[1,+∞).
故选：ACD
12．AD
【解析】运用指数函数的单调性,即可判断A;由二次函数的单调性,即可判断B;通过函数h(x)=x2+ax−2x,求出导数判断单调性,即可判断C;通过函数h(x)=x2+ax+2x,求出导数判断单调性,即可判断D.
【详解】对于A,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则A正确;
对于B,由二次函数的单调性可得g(x)在(−∞,−a2)递减,在(−a2,+∞)递增,则n>0不恒成立,则B错误;
对于C,若m=n,可得f(x1)−f(x2)=g(x1)−g(x2),即为g(x1)−f(x1)=g(x2)−f(x2),
设h(x)=x2+ax−2x,则应有h(x1)=h(x2),
而h′(x)=2x+a−2xln2,当a→−∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则C错误;
对于D,若m=−n,可得f(x1)−f(x2)=−[g(x1)−g(x2)],即为f(x1)+g(x1)==f(x2)+g(x2)
设h(x)=x2+ax+2x,则应有h(x1)=h(x2),
而h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,
即h(x)在定义域上有增有减,则D正确.
故选:AD.
【点睛】本题考查函数的单调性及运用,运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键.
13．3
【详解】由题意f(2)=1+4−a=1，则a=4，所以f(1)=1−1+1−4=3.
【考点】函数的定义.
14．4
【详解】试题分析：由题意得，当lg2a⋅lg2(2b)取得最大值时，lg2a和lg2(2b)都是正数，所以a>1，再利用基本不等式可得lg2a⋅lg2(2b)≤(lg2a+lg2(2b)2)2=(lg2(2ab)2)2=(lg2162)2=4，当且仅当a=2b=4时，等号成立，即当a=4时，lg2a⋅lg2(2b)取得最大值.
考点：基本不等式求最值．
15．12
【分析】由三角形的重心的向量表示得：点P为△A1B1C1的重心，则S△PA1B1=S△PA1C1=S△PB1C1，由三角形面积公式得：S△PAB=12S△PA1B1，S△PBC=16S△PB1C1，S△PAC=13S△PA1C1，所以S△PAB：S△PBC：S△PAC＝3：1：2，又S△PAB+S△PBC+S△PAC＝24，即S△PAB＝12，得解．
【详解】解：设PA1=PA，PB1=2PB，PC1=3PC，则PA1+PB1+PC1=0，即点P为△A1B1C1的重心，
则S△PA1B1=S△PA1C1=S△PB1C1，又S△PAB=12S△PA1B1，S△PBC=16S△PB1C1，
S△PAC=13S△PA1C1，所以S△PAB：S△PBC：S△PAC=3：1：2，又S△PAB+S△PBC+S△PAC=24，所以S△PAB=12，
故答案为12
【点睛】本题考查了三角形面积公式、三角形的重心及平面向量基本定理，属难度较大的题型．
16．6
【分析】因为①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.
【详解】若仅有①成立,则a=1必有b≠1成立,故①不可能成立.
若仅有②成立,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4成立,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况.
若仅有③成立,则a≠1,b=1,c=2,d=4成立,此时仅有(3,1,2,4)成立.
若仅有④成立,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4成立,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况.
综上符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6个.
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查了集合的综合运用与逻辑推理的问题,需要根据题设条件分情况讨论即可.属于中等题型.
17．(1)∁UA=(−∞,1]
(2)(−∞,32]
【分析】（1）根据补集的定义即可求解；
（2）根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可求解.
【详解】（1）因为集合A=(1,+∞)，
由补集的定义可得∁UA=(−∞,1].
（2）因为集合B=[1,2]，集合C={x|a≤x≤2a−1}，且C⊆B，
所以分C=∅和C≠∅两种情况：
若C=∅，则有2a−1若C≠∅，要使C⊆B成立，则有2a−1≥aa≥12a−1≤2，解得1≤a≤32，
综上所述：实数a的取值范围(−∞,32].
18．22
【分析】根据2AP=AB，求得OP的坐标，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：因为O为坐标原点，OA=1,2,OB=-2,-1，且2AP=AB，
所以点P为线段AB的中点，
则OP=12OA+OB=−12,12，
所以OP=−122+122=22，
故答案为：22
19．20
【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,
所以xmin=20.
20．(1)fx=2x−12+1
(2)0,13
(3)−∞,−1
【分析】（1）根据题意，设fx=a(x−1)2+1，根据f0=3，求得a=2，即可得到函数的解析式；
（2）由函数fx在区间[3a,a+1]上不单调，利用二次函数的性质，得到3a<1（3）把在区间[−1,1]上，y=fx的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，转化为不等式m【详解】（1）由题意，函数fx是二次函数，且f0=f2，可得函数fx对称轴为x=1，
又由最小值为1，可设fx=a(x−1)2+1，
又f0=3，即a×(0−1)2+1=3，解得a=2，
所以函数的解析式为fx=2(x−1)2+1=2x2−4x+3.
（2）由（1）函数fx=2x2−4x+3的对称轴为x=1，
要使fx在区间[3a,a+1]上不单调，则满足3a<1即实数a的取值范围是(0,13).
（3）由在区间[−1,1]上，y=fx的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，
可得2x2−4x+3>2x+2m+1在区间[−1,1]上恒成立，
化简得m设函数gx=x2−3x+1，
则gx在区间[−1,1]上单调递减
∴gx在区间[−1,1]上的最小值为g1=−1，
∴m<−1.
故实数m的取值范围为：−∞,−1.
21．（1）0.03；（2）6000人；（3）76分.
【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出m．
（2）成绩在[90，100]之间的距离为0.05，由此能求出所有参赛者中获得奖励的人数．
（3）由频率分布直方图的性质能求出平均数的估计值．
【详解】解：（1）由10×0.005+0.02+0.04+m+0.005=1，解得m=0.03.
（2）成绩在90,100之间的频率为0.05.
故可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为120000×0.05=6000人.
（3）平均分的估计值为：55×0.05+65×0.2+75×0.4+85×0.3+95×0.05=76分.
【点睛】本题考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
22．（1）k<−112；（2）最小值为lg252.
【解析】（1）根据fx是奇函数可求得t=2，由f1>0可得a>1，继而判断fx是增函数，将不等式化为f2x2−x>fk−x2，利用单调性可得3x2−x−k>0对x∈R恒成立，即可求解；
（2）由点1,32求得a=2，可判断gx在x∈0,1上单调递增，进而可得M≥gxmax−gxmin，求出gx的最大最小值即可.
【详解】解：（1）∵fx是定义在R上的奇函数，
∴f0=0，∴2−t=0，解得t=2，
则fx=a2x−1ax，此时f−x=a−2x−1a−x=a−x−ax=1−a2xax=−fx，满足题意，
而f2x2−x+fx2−k>0等价于f2x2−x>−fx2−k=fk−x2，
若f1>0，则a2−1a>0，结合a>0且a≠1，解得a>1，
则fx=a2x−1ax=ax−1axa>1为增函数，
结合f2x2−x>fk−x2，可得2x2−x>k−x2，
根据题意，3x2−x−k>0对x∈R恒成立，
则Δ=1+12k<0，解得k<−112；
（2）∵函数fx的图像过点1,32，∴f1=a2−1a=32，
解得a=−1(不符，舍去)或a=2，
∴gx=lg22x−12x+1，
∵y=2x−12x+1在x∈0,1上单调递增，
∴ gx在x∈0,1上单调递增，
∵对于任意的x1,x2∈0,1，都有gx1−gx2≤M，
且gx在区间0,1上恒有gx>0，∴M≥gxmax−gxmin，
则gxmin=g0=0，gxmax=g1=lg252，
则M≥lg252−0=lg252，即M的最小值为lg252.
【点睛】本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为f2x2−x>fk−x2，利用单调性求解.