2025--2026学年辽宁沈阳第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年辽宁沈阳第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ）
A. 2πB. 4πC. 2D. 1
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，，，则（ ）
A. B. 若是的中线，则
C. 若是的高，则D. 若是的角平分线，则
7. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分.
9. 下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4
B. 若，则的最小值为1
C. 若在内无零点，则的取值范围为
D. 若在内单调递减，则的取值范围为
第Ⅱ卷（92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
13. 若复数和复数满足，，，则________.
14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的对称轴方程；
（3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围．
16. 已知向量，．
（1）若且，求x的值；
（2）记，R．
①求的单调增区间；
②若任意，均满足，求实数m的取值范围．
17. 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

（1）求B点到D点的距离BD；
（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
（3）若，当的周长最小时，求的值．
19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，，
（1）求；
（2）求；
（3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围.
数学
第I卷（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用复数的乘法运算及共轭复数的概念计算即可
解答过程：易知，
所以，虚部为．
故选：A．
2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ）
A. 2πB. 4πC. 2D. 1
答案：A
解析：
解答过程：设外接圆的半径为，
因为，，由正弦定理，，
解得，故外接圆的周长为.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解.
解答过程：由，
故，
故，故，即.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用不等式即可.
解答过程：如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点，
过作轴，交角的终边于点，
则，，
则，扇形的面积为，，
由三者的大小关系可知，，即，
因，则，即.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：
．
6. 在中，，，，则（ ）
A. B. 若是的中线，则
C. 若是的高，则D. 若是的角平分线，则
答案：BD
解析：
思路：利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD.
解答过程：对于A，由余弦定理，得，A错误；
对于B，由是的中线，得，则
，B正确；
对于C，由是的高，得，则，C错误；
对于D，由是的角平分线，得，由，
得，则，D正确.
7. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
解答过程：因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
8. 已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解.
解答过程：由，两边平方得
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即.
由，知，
所以,
当且仅当与同向时取等号.
故选：B
方法提示：关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分.
9. 下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：AC
解析：
解答过程：A选项，由，
得，
即，故A正确；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，
，故D错误.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
答案：AD
解析：
思路：根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项.
解答过程：对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；
对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；
对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；
对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4
B. 若，则的最小值为1
C. 若在内无零点，则的取值范围为
D. 若在内单调递减，则的取值范围为
答案：BD
解析：
思路：根据图象平移重合、函数值相等、给定区间单调性等条件，利用三角函数性质建立关于的方程或不等式求解，再结合的取值确定的范围或最值判断各选项.
解答过程：对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度，
所得的函数的原图象重合，故为最小正周期的整数倍，
所以，整理得，，
故的最小值为8，故A错误；
对于B选项，由于，，
所以，
即或，
所以或，
所以的最小值为1，故B正确；
对于C选项，由已知得，
整理得，，
当时，，当时，，
故的取值范围为，故C错误.
对于D选项，由于在内单调递减，
由于函数在内单调递减，
则满足，解得，，
当时，；故D正确.
第Ⅱ卷（92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
答案：##
解析：
思路：由“三斜求积”公式求解三角形的面积即可.
解答过程：因为，
所以，
故
13. 若复数和复数满足，，，则________.
答案：
解析：
思路：根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解.
解答过程：因为，，，
由复数模的运算性质，可得
，
所以，所以，
又由，
所以.
14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.
答案：
解析：
思路：利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可.
解答过程：因为，由正弦定理可得：，
又，，则
因为
，
当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的对称轴方程；
（3）若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由图象可得出的值以及函数的最小正周期，可求出的值，结合以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）由可解得函数的对称轴方程；
（3）由可得，由求出的取值范围，数形结合可得出关于的不等式，解之即可.
（1）由图可知，函数的最小正周期为，又，
所以，所以，
因为，可得，
所以，则，
因为，故，因此.
（2）由可得，
故函数的对称轴方程为.
（3）由可得，即，
由可得，
令，则，如下图所示：
因为方程在有且仅有一个实根，则，
解得，即实数的取值范围是.
16. 已知向量，．
（1）若且，求x的值；
（2）记，R．
①求的单调增区间；
②若任意，均满足，求实数m的取值范围．
答案：（1）
（2）①单调增区间为 ，Z；②
解析：
思路：（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可.
（2）①先将化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；
②恒成立问题转化为求函数的最值问题，再分离参数进而求出取值范围.
（1）由，则，即，
解法1：所以，
由于，所以，所以，则．
解法2：所以，即，
因为与不能同时为零，所以，．
因为，所以．
（2）①
由，得，Z，
所以的单调增区间为,Z.
②因为，所以，
所以当，即时，；
当，即时，．
因为恒成立，所以恒成立，
所以，因此，
即m的取值范围为．
17. 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

（1）求B点到D点的距离BD；
（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
答案：（1）50海里
（2）小时.
解析：
思路：（1）利用正弦定理解三角形计算即可；
（2）利用余弦定理解三角形计算即可.
（1）由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以(海里)；
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的时间为(小时).
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
（3）若，当的周长最小时，求的值．
答案：（1）；
（2） （3）
解析：
思路：（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解；
（2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解；
（3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解.
（1），由正弦定理可得，
因为，
所以代入可得，
即，
因为，所以，
化简可得，即，
解得，因为，所以，
因此，即.
（2）由正弦定理可得，即，
所以，
S△ABC=12bcsinA=12×3sinBsinC×3×sinA=32×sinBsinC×32=334⋅sinBsinC，
因为，所以，
代入可得S△ABC=334⋅sinBsinC=334⋅sin2π3−CsinC=334⋅32csC+12sinCsinC=33432⋅1tanC+12，
因为为锐角三角形，，
所以，即0