2025--2026学年辽宁省沈阳市东北育才高中高一下册期中考试数学试题 [含答案]

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 与角终边相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
2. 半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
3. 设，则的值可表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，“”是“是锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形
6. 若，则（ ）.
A. B. C. D.
7. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ）
A. B. C. D.
二．多选题
9. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，，则面积的最大值为
10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A. 是的一条对称轴
B. 在上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
11. 如图，在四边形中，，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 的取值范围是D. 的取值范围为
三．填空题
12. 已知，则__________.
13. 关于的方程的解集为______________．
14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________.
四、解答题：
15. （1）已知化简求值： ；
（2）已知且求的值.
16. 从①；②asinB−3bcsBcsC=3ccs2B ；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
17. 如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点.
（1），求的值；
（2）若，求的最小值.
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围；
（ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
19. 已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）若，求在上的所有零点；
（3）若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 与角终边相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由终边相同的角运算求解即可.
解答过程：与角终边相同的角为，
令，解得，
且，则的最小值为1，
所以与角终边相同的最小正角是，即为.
故选：C.
2. 半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度.
解答过程：由得，
所以圆心角为.
3. 设，则的值可表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由，再利用诱导公式计算可得；
解答过程：解：∵，且，
∴.
故选：C
方法提示：本题考查诱导公式及反三角函数的应用，属于基础题.
4. 在中，“”是“是锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：根据向量的数量积运算律可得角为锐角，结合充分、必要条件分析判断.
解答过程：若，即，
整理可得，可知，
且，可知角为锐角，
所以，等价于角为锐角，
因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角，
所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.
5. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形
答案：C
解析：
解答过程：在中，，
又可得，从而；
利用余弦定理和面积公式可将化为，
所以，从而，故是等边三角形.
6. 若，则（ ）.
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.
解答过程：
可得.
因为
所以.
7. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：C
解析：
思路：化简得到，得到的最大值为，最小值为，设的中点为，得到点和点都在轴上，由，得出，设的最小正周期为，列出关于的方程，求得，进而得到的值.
解答过程：由函数，其中，
可得函数的最大值为，最小值为，
因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得，
点是图象与轴的交点，可得，
设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以，
所以点和点都在轴上，
在中，因为，所以，且为的中点，
根据直角三角形的性质，可得，
过点分别作的平行线，交于点，则，
设函数的最小正周期为，
可得，，
因为，可得，解得，所以.
8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得是函数的周期的整数倍.
即，即，
又，则，
故，
当时，，
则在上单调递减，
由，得，即，
则.
二．多选题
9. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，，则面积的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定.
解答过程：A选项，在中，由得，即，所以；
B选项，由正弦定理得即，解得，
又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误；
C选项，和分别表示与和同方向的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
又由结合菱形性质知的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形且，
又因为，且，
所以，所以是等边三角形，C正确；
D选项，因为，，所以由余弦定理得，
当且仅当时取等号，即，
所以，D正确.
10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A. 是的一条对称轴
B. 在上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
答案：AD
解析：
思路：先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论．
解答过程：由图知，则，
，所以，则，
即
因为，所以，，即，
因为，得，所以
所以
对于选项A：当时，，故A对
对于选项B： 的单调递增区间为，
解得，
当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错
对于选项C：，故C错
对于选项D：，
所以是偶函数，故D对，
故选：AD．
11. 如图，在四边形中，，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 的取值范围是D. 的取值范围为
答案：AD
解析：
思路：建系，确定各点坐标，结合向量数量积的坐标表示，及两点间距离公式逐项判断即可.
解答过程：
由题意如图建系，可得，
过点作轴，垂足为，
因为，则，
又，所以，
又，，
所以直角直角，即，
则
选项A，当 时，，则 ​，A正确；
选项B，当 时，，
则 ，，
故 ，B错误；
选项C，，，
则： ，
因为，由二次函数单调性可得 ， C错误；
选项D，，
则： ，
时，二次函数对称轴为，
由单调性可知，
即的取值范围是 ，D正确.
三．填空题
12. 已知，则__________.
答案：
解析：
思路：由三角函数的值域和已知条件可得，取，求解即可.
解答过程：因为，
且，
所以，
不妨取，
则，
所以.
13. 关于的方程的解集为______________．
答案：或
解析：
思路：结合余弦的二倍角公式将方程转化为，进一步转化为解方程即可得答案.
解答过程：因为，
所以，
所以或
显然无解；
方程的解为或
所以，原方程的解为或
14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________.
答案：
解析：
思路：设出向量的坐标，并由已知判断出分别与的夹角范围，从而求解.
解答过程：因为，所以，故.
由，得，
所以有，即，.
由题不妨可设，，，
由，知,
由可得，
同理可得，可得，所以，
所以，
而，所以，即.
四、解答题：
15. （1）已知化简求值： ；
（2）已知且求的值.
答案：（1）；（2）
解析：
思路：（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案.
（2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案.
解答过程：（1）由诱导公式得.
（2）因为，所以，
因为，，
所以，，
则
.
16. 从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
答案：（1）
（2）32,3解析：
思路：（1）若选①，由题设结合正弦定理边角互化可得，化简后可得答案；若选②，由题设结合正弦定理边角互化可得，据此可得答案；若选③，由题设结合切弦互化，正弦定理边角互化可得，据此可得答案；
（2）由（1）结合题设可得，然后利用三角函数恒等变换知识可得sinA+sinC=3sinA+π6，据此可得答案.
（1）若选①：由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
又因为 ，则 ，所以 ；
若选：因为 asinB−3bcsBcsC=3ccs2B ，
由正弦定理得 sinAsinB=3sinBcsBcsC+3sinCcs2B ，
即 ，
所以 ，由 ，得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ；
若选③：因为 ，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
又因为 sinA>0,sinC>0 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）在锐角 中，由（1）得 ，
所以 ，
所以
，
由 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
17. 如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点.
（1），求的值；
（2）若，求的最小值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由题意利用平面向量的线性运算可得，从而可求解.
（2）由题意可先求出，，设，则得，从而可求解.
（1）因为，
化简得，所以，，
所以.
（2）因为，，
所以
所以，则，又，
所以，
设，则，
，
因为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即时，，
所以的最小值为.
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围；
（ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）（i）；（ii）或．
解析：
思路：（1）利用降幂公式以及辅助角公式把合并，然后利用最小正周期计算公式可得答案；
（2）利用平移伸缩法则可得到的解析式，（i）法一：利用，得到的范围，然后使它在相邻两条对称轴之间即可，法二：求出的对称轴，使区间在相邻两条对称轴之间即可，（ii）利用三角恒等变换化简，令，然后把问题转化为关于的不等式有解问题，法一：利用二次函数实根分布可得答案；法二：从反面入手，把能成立问题转化为恒成立问题，然后利用实根分布可得答案；法三：利用分离参数，把问题转化为求函数最值问题.
（1），
函数的最小正周期为；
（2）（i）将函数的图象向左平移个单位长度，得到
将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数
（i）（法一）
，而，
.
.
解得.
又，
当时，；
当时，
综上可知，的取值范围是.
（法二）
令，
则的对称轴方程为，.
又在区间上没有对称轴，
，
解得，
（后同法一）；
（ii）由，
可得，
即，．
即，
即，其中，
因为，则，
令，
则关于的不等式在上有解，
（法一）
设，
则或，
解得或；
（法二）
依题意先研究：当在上恒成立时的取值范围，再求其补集即可．
设，
则即.
解得
满足题意的的取值范围是或．.
（法三）
由可得，
当，即时，不等式不成立，舍去；.
当，即时，有解，
设，令，
则在上单调递增，所以当时，
即可，解得；
当，即时，有解，
此时，
而在上单调递增，所以当时，
即可，解得；
综上可知，或．
19. 已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）若，求在上的所有零点；
（3）若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值.
答案：（1）；
（2）唯一一个零点；
（3）的最小值为.
解析：
思路：（1）利用特殊值代入将原函数化简为常数与正弦型函数的复合，通过分析内层函数的值域及外层正弦函数的值域确定整体值域；
（2）利用诱导公式将方程转化为余弦相等，再结合自变量范围化去余弦得到三角方程，运用辅助角公式与三角函数的值域求解零点；
（3）通过反证法取特殊值证明下界，再借助辅助角公式与三角函数的有界性说明当参数满足条件时存在零点，从而确定参数的最小值.
（1）代入得：
由，得，故，
从而，故的值域为
（2）当，时，
令，得
因为所以
当时，有且，
因为余弦函数在上单调递减，所以
化简得
又所以
即
由于，所以，故解得
因此在上的唯一零点为.
（3）当时，取，
取，不满足条件，故；
当时，∵，而，
∴，使得，
∴，满足条件；
综上，正实数的最小值为.