2025-2026学年甘肃省兰州大学附属中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年甘肃省兰州大学附属中学高二（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f（x）=x4-2lnx,则=（ ）
A. 11B. 8C. 5D. 3
2.若实数，则等于（ ）
A. 32B. -32C. 1 024D. 512
3.已知函数f（x）=2x2-xf′（1），则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A. 2x-y-2=0B. 2x+y-2=0C. 2x-y+2=0D. 2x+y+2=0
4.如图，二面角α-l-β的大小为，点A，B分别在半平面α，β内，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D.若，则AB=（ ）
A. B. 7C. 8D. 9
5.已知（2+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A. -90B. 97C. 160D. -145
6.若ex-ax≥-x+lnax（a＞0，x＞0），则实数a的取值范围为（ ）
A. B. （0，e]C. D. （e,+∞）
7.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=PA=4，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数f（x）=（x-a）2+（ex-a）2（a∈R），若存在x0∈R，使得f（x0）≤成立，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 展开式中二项式系数和为64
B. a3=-360
C.
D. a1+2a2+3a3+⋯+6a6＜0
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f（x）既存在极大值又存在极小值
B. 函数f（x）存在3个不同的零点
C. 函数f（x）的最小值是-e
D. 若函数g（x）=x2+x-1-aex有两个不同的零点，则-e＜a≤0或
11.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E-ABCD-F，下列说法中正确的有（ ）
​​​​​​​
A. 平面EAD∥平面FCB
B. 平面EAD⊥平面ECB
C. 异面直线AE与BF所成的角为60°
D. 若点P为棱EB上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中x7的系数是 .
13.已知“经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面的方程是A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0”.现知道平面α的方程为x-y+2z=1，则过M（1，2，3）与N（3，2，4）的直线与平面α所成角的正弦值是 .
14.已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（3）=3e3，对于任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，（其中e为自然对数的底数），若f（lna）＜alna,则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3+ax2-2x在x=1处取得极值.
（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]的最大值与最小值.
16.(本小题15分)
如图所示在多面体中，平面，四边形是正方形，，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）满足f（x）+f（-x）=4，且过点可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AD=AP=3，.
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）已知点F在棱PD上，且直线AF与平面ACE所成角的正弦值为，求线段AF的值；
（3）求三棱锥P-ACE的体积.
19.(本小题17分)
已知
（1）若函数f（x）在区间（0，+∞）单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：f（x1）+f（x2）＜6-lna.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】（1，e3）
15.【答案】解：（1）导函数f′（x）=3x2+2ax-2，
根据题意得f′（1）=0，即3+2a-2=0，解得，
因此函数，定义域为R，
令导函数f′（x）=3x2-x-2，令f′（x）＞0，得x＞1或，
令导函数f′（x）＜0，得，
因此函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
显然x=1为极小值点，因此，
f（x）单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）根据（1）知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
表格如下：
又，
故f（x）的最大值为2，最小值为．
16.【答案】解：（1）证明：∵AD⊥平面ABC，AB⊥AC，
∴以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AD为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（1，1，2），F（0，2，2），
D（0，0，2），
∴=（-2，0，2），=（-1，1，2），
设平面BDE的法向量为=（x，y，z），
则，令x=1，得=（1，-1，1），
∵=0-2+2=0，∴，
∵AF⊄平面BDE,
​​​​​​​∴AF∥平面BDE．
（2）=（1，1，0），=（0，2，-2），
设平面CDE的法向量为=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，-1，-1），
∴cs＜＞===，
∴平面BDE与平面CDE夹角的余弦值为．
17.【答案】当a＜2时，f（x）在（-∞，a-1）和（1，+∞）上单调递增，（a-1，1）上单调递减；当a=2时，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；当a＞2时，f（x）在（-∞，1）和（a-1，+∞）上单调递增，（1，a-1）上单调递减
18.【答案】证明：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．
则．

设是平面ACE的一个法向量，
，
则，
令y=2，则，平面ACE的一个法向量为．
因为，所以，
又因为PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE
19.【答案】[4，+∞） （i）（0，4）；（ii）证明：由（i）知，x1+x2=4，x1x2=a，0＜a＜4，
所以
=，
因此要证f（x1）+f（x2）＜6-lna，即证4-alna+a＜6-lna，
即证（1-a）lna+a-2＜0，
构造函数h（a）=（1-a）lna+a-2，0＜a＜4，
则，
又在（0，4）上显然恒成立，
所以h′（a）在（0，4）上单调递减，
又h′（1）=1＞0，，
由函数零点存在性定理可得，∃a0∈（1，2），使得h′（a0）=0，即，即a0lna0=1；所以当a∈（0，a0）时，h′（a）＞0，则h（a）单调递增；当a∈（a0，4）时，h′（a）＜0，则h（a）单调递减；所以h（a）≤h（a0）=（1-a0）lna0+a0-2=lna0-a0lna0+a0-2=lna0+a0-3，
又y=lna0+a0-3在a0∈（1，2）上显然单调递增，
所以lna0+a0-3＜ln2+2-3=ln2-1＜0，
所以h（a）＜0，即（1-a）lna+a-2＜0，
故f（x1）+f（x2）＜6-lna x
1
（1，2）
f′（x）
+
0
-
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增