2025--2026学年福建省厦门第六中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建省厦门第六中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
2. 曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. 4B. 3C. D.
3. 在的展开式中各二项式系数的和为32，则的系数为（ ）
A. 80B. 40C. 20D. 5
4. 将5名教师分到3所学校任教，要求每所学校至少一名教师，则不同的分法有（ ）
A. 60种B. 90种C. 150种D. 180种
5. 已知随机变量的分布列如下：
则的值为（ ）
A. 20B. 18C. 8D. 6
6. 甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（若随机变量，则，，）

A. 甲地数学的平均成绩比乙地的高B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C. D. 若，则
7. 假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强
B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为
C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 若两个变量的决定系数越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好
10. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A. B. C. D.
11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）

A. 2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等
B.
C. 记第10行的第个数为，则
D. 记第行的第个数为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下图所示：
若y关于x的线性回归方程为，则__________.
13. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为________．
14. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点D到平面的距离.
17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
（2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
18. 某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立．
（1）若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率；
（2）在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分．
（ⅰ）若，，，，求；
（ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对，恒成立，求的值；
（3）证明.
数学
满分150分 考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：求出、的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果.
解答过程：由椭圆可知，，，则，
故该椭圆的离心率为.
2. 曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. 4B. 3C. D.
答案：B
解析：
思路：利用导数来求斜率即可.
解答过程：由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为.
故选：B.
3. 在的展开式中各二项式系数的和为32，则的系数为（ ）
A. 80B. 40C. 20D. 5
答案：A
解析：
解答过程：由题意得，，则，
故在的展开式中的系数为.
4. 将5名教师分到3所学校任教，要求每所学校至少一名教师，则不同的分法有（ ）
A. 60种B. 90种C. 150种D. 180种
答案：C
解析：
思路：先分组后排列，即得.
解答过程：由题可知5名教师分到3所学校任教，要求每所学校至少一名教师，可先分组后排列，
先将5名教师分为三组有种方法，
再将分好的三组分到3所学校有种情况，
所以不同的分法有种.
故选：C.
5. 已知随机变量的分布列如下：
则的值为（ ）
A. 20B. 18C. 8D. 6
答案：B
解析：
思路：根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解.
解答过程：根据分布列可知，解得，
，
，
所以.
故选：B.
6. 甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（若随机变量，则，，）

A. 甲地数学的平均成绩比乙地的高B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C. D. 若，则
答案：D
解析：
思路：根据正态曲线比较两地平均值可判断A；根据曲线的特征比较成绩的离散程度判断B；根据正态曲线的对称性可判断C，根据特殊区间的概率值可判断D.
解答过程：对于A，由正态曲线可知甲地数学平均分为90分，乙地数学平均分为100分，
故甲地数学的平均成绩比乙地的低，A错误；
对于B，由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中，
故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大，B错误；
对于C，由于，根据正态分布曲线的对称性可知，C错误；
对于D，，，
，D正确，
故选：D
7. 假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可
解答过程：设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为
故选：C
8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解.
解答过程：由题意得，即，
设，则在上单调递增，
即上恒成立，
则恒成立，即，
设，则，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强
B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为
C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 若两个变量的决定系数越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好
答案：BC
解析：
思路：A选项要清楚相关系数的概念；B选项代入残差的计算公式即可；C选项主要考残差图的性质；D选项决定系数的公式.
解答过程：对于A选项，相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性相关程度越强，
越接近0，线性相关程度越弱，故A选项错误；
对于B选项，当时，，
残差为，故B选项正确；
对于C选项，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，就说明残差的绝对值越接近0，
所以其模型的拟合效果越好，故C选项正确；
对于D选项，决定系数越大，表示残差平方和越小，拟合效果越好，故D选项错误.
10. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可.
解答过程：，，
又，，故C错误；
，，，故A正确；
，，故B正确；
，故D正确.
故选：C.
11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）

A. 2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等
B.
C. 记第10行的第个数为，则
D. 记第行的第个数为，则
答案：ACD
解析：
思路：对于A，利用的展开式的二项式系数计算，对于B，利用性质计算即可；对于CD，代入，利用二项式定理计算即可.
解答过程：对于A，第2024行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第1012个数为，第1014个数为，由于，故A正确；
对于B，由可得
，故B不正确；
对于C，第行的第个数为，
因为
，
所以
，故C正确；
对于D，第行的第个数为，
则，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下图所示：
若y关于x的线性回归方程为，则__________.
答案：6
解析：
解答过程：将，，
代入中可得，解得.
13. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可；
第二空，随机变量服从超几何分布，计算即可.
解答过程：解：设事件A表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”，
事件B表示“抽取的3天空气质量都不为良”，
则事件A与事件B互为对立事件，
所以；
随机变量的可能取值为，概率为，
所以随机变量分布列为：
随机变量的数学期望为
故；
方法提示：本题考查利用古典概型求事件的概率，超几何分布，是中档题.
14. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________．
答案：##
解析：
思路：根据分布乘法求出所有的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数，利用概率公式计算即可.
解答过程：由题意，因为项数为6且，
所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列个数为个，
由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等，
①则若中没有0，则数列为，不符合题意，
②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，
③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义；
④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为，
若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4个，
所以数列是“好数列”的概率为.
故
方法提示：关键点点睛：本题的关键是理解“好数列”的定义，根据题意能列出符合条件的数列.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
答案：（1）；
（2）分布列见解析，期望为，方差为.
解析：
思路：（1）根据给定条件，利用全概率公式求解.
（2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差.
（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”，
依题意，，，
因此，
所以智能客服的回答被采纳的概率为.
（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，，
，
，
所以的分布列为：
数学期望；.
16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点D到平面的距离.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可；
（2）利用点到平面距离的向量求法求解即可.
（1）因平面，平面，
则，又四边形为矩形，则.
如图建立以A为原点的空间直角坐标系，

则，
，，.
设平面法向量为，则，
取，则.
设直线与平面夹角为，
则；
（2）由（1）解析可得，
所以到平面的距离为：
17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
（2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
答案：（1）适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型，
（2）列联表见解析，认为是否报废与保养有关
解析：
思路：（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解；
（2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断.
（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．
由，两边同时取常用对数得．
设，则．
因为，，，，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
则，
故关于的回归方程为.
（2）设零假设：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下：
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．
18. 某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立．
（1）若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率；
（2）在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分．
（ⅰ）若，，，，求；
（ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％．
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ），是
解析：
思路：（1）由题意得甲要赢得全部积分，必须连赢2局比赛，计算概率即可求解；
（2）（ⅰ）设比赛再继续进行X局，甲获胜，分别求得和，进而得出甲赢得全部积分的概率，即可求得；
（ⅱ）设比赛再继续进行Y局，甲赢得全部积分，分别求得和，进而得出，由导数求得最大值即可得出判断．
（1）由题意，若，，且乙先赢了第一局，则甲要赢得全部积分，必须赢得后面2局比赛，
所以甲最终赢得全部积分的概率为．
（2）（ⅰ）设比赛再继续进行X局，甲获胜，
当时，甲以获胜，，
当时，甲以获胜，，
所以甲赢得全部积分的概率为，乙赢得全部积分的概率为，
故．
（ⅱ）设比赛再继续进行Y局，甲赢得全部积分，
当时，甲以获胜，，
当时，甲以获胜，，
所以，
因此，
当时，，
所以函数在上单调递增，，
所以乙赢得全部积分的概率的最大值为，
故当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率小于5％．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对，恒成立，求的值；
（3）证明.
答案：（1）见解析 （2）
（3）见解析
解析：
思路：（1）对求导，分，和，讨论与的大小，即可得出答案；
（2）由结合（1）可得，再分和结合的单调性可知不成立，可求得.
（3）要证明，即证明，结合（2）中对恒成立，分别令代入上式，化简即可证明.
（1）函数的定义域为，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得：，
当时，时，，时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，时，，时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，函数在上单调递减,
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以由（1）知不符合题意，故，
若，则，由（1）知当时，，不符合题意；
若，则，由（1）知当时，，不符合题意；
所以实数的值为.
（3）证明：要证，
即证，
，
即证：，
由（2）知，在上恒成立，其中当且仅当时等号成立，
于是对恒成立，
分别令代入上式，
可得：，
将上述个不等式左右两边分别相加得：
，
,
所以，
所以.
2
3
6
x
2
3
5
6
y
20
35
50
55
1
2
3
4
5
6
7
6
11
21
34
66
101
196
\
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100

62.14
1.54
2535
50.12
3.47
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
2
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6
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2
3
5
6
y
20
35
50
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0
1
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3
1
2
3
4
5
6
7
6
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21
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66
101
196
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保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100

62.14
1.54
2535
50.12
3.47
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
\
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
80
合计
60
40
100