2025-2026学年福建省厦门六中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年福建省厦门六中高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线x+my+1=0的倾斜角的大小为π6，则实数m=( )
A. 3B. 33C. − 33D. − 3
2.若双曲线C：x2a2−y2b2=1的离心率为54，则C的渐近线方程为( )
A. y=±45xB. y=±54xC. y=±43xD. y=±34x
3.已知{an}为等差数列，{an}前n项和为Sn，a1+a4+a7=1，S5=5，则a6=( )
A. −1B. −13C. 12D. 3
4.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b//c，则x+y的值为( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
5.已知数列{an}满足：an=2an,0≤an0)的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形OFAB为菱形，则该椭圆的离心率为 ．
14.若函数f(x)=a2x2−axlnx−axex+exlnx存在唯一零点，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
给定函数f(x)=(x+2)ex．
(1)求f(x)的单调区间及最值；
(2)求f(x)图象过点A(−6,0)的切线方程．
16.(本小题15分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，Sn=an+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
底面为菱形的四棱锥P−ABCD中，AC与BD交于点O，平面PBD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD．
(1)证明：PO⊥平面ABCD；
(2)若OA=2OD=2，直线DC与平面PBC所成角的正弦值为4 515，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．
(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的年纯利润为an万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为bn万元，求an和bn；
(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元，求An和Bn；
(3)依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？
19.(本小题17分)
已知C1(−2,0)，C2(2,0)，动点P满足PC1与PC2的斜率之积为定值14．
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l与曲线Γ交于A，B两点，且A，B均在y轴右侧，过点A作直线l′：x=1的垂线，垂足为D．
(ⅰ)求证：直线BD过定点；
(ⅱ)求△MBD面积的最小值．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.A
5.C
6.D
7.A
8.A
9.AD
10.ACD
11.ACD
12.−3
13. 3−1
14.(−∞,0]∪{1e}∪{e}
15.

16.
17.解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为平面PBD⊥平面ABCD，BD为交线，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面PBD，
因为PO⊂平面PBD，所以AC⊥PO，
因为平面PAC⊥平面ABCD，AC为交线，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC，
因为PO⊂平面PAC，所以BD⊥PO，
因为AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD；
(2)由(1)知，AC，PO，BD两两垂直，
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
OA=2OD=2，则D(0,−1,0)，C(−2,0,0)，B(0,1,0)，DC=(−2,1,0)，
设P(0,0,t)，t>0，则PB=(0,1,−t)，CB=(2,1,0)，
设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⊥PBm⊥CB，则m⋅PB=(x,y,z)⋅(0,1,−t)=y−tz=0m⋅CB=(x,y,z)⋅(2,1,0)=2x+y=0，
令z=2，得y=2t，x=−t，故m=(−t,2t,2)，
直线DC与平面PBC所成角的正弦值为4 515，
即|cs|=|DC⋅m||DC|⋅|m|=|(−2,1,0)⋅(−t,2t,2)| 4+1× (−t)2+4t2+2=4 515，
化简得t=1，负值舍去，则m=(−1,2,2)，
平面PAC的一个法向量为n=(0,1,0)，
设平面PAC与平面PBC夹角为θ，
csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=2 1+4+4×1=23，
所以平面PAC与平面PBC夹角余弦值为23．
18.解：(1)不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元，组成等差数列，an=500−20n；在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元，则bn=500(1+12n)；
(2)依题设，An=(500−20)+(500−40)+…+(500−20n)=490n−10n2；
Bn=500[(1+12)+(1+122)+…+(1+12n)]−600=500n−5002n−100．
(3)Bn−An=(500n−5002n−100)−(490n−10n2)
=10n2+10n−5002n−100=10[n(n+1)−502n−10]．
因为函数y=x(x+1)−502n−10在(12,+∞)上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n+1)−502n−10≤12−508−100．
∴仅当n≥4时，Bn>An．
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．
19.(1)解：设动点P的坐标为(x,y)，(y≠0)，
由动点P 满足PC1与PC2的斜率之积为定值14，
得kPC1⋅kPC2=yx+2⋅yx−2=y2x2−4=14，
变形得x24−y2=1(y≠0)，
故动点P的轨迹Γ的方程为x24−y2=1(y≠0)；
(2)(i)证明：如图，

设l：x=my+4，联立x24−y2=1(y≠0)，
得(m2−4)y2+8my+12=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴D(1,y1)，
结合题意有m2−4≠0Δ=64m2−48(m2−4)=16m2+192>0y1+y2=−8mm2−4y1⋅y2=12m2−4