2025--2026学年福建省厦泉五校高二下册期中联考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建省厦泉五校高二下册期中联考数学试题 [含答案]，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ）
A. 3B. C. 4D.
2. 已知曲线在点处切线的斜率为8，则（ ）
A. 7B. -4C. -7D. 4
3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
4. 用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（ ）
A. 50B. 52C. 54D. 56
5. 甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析，5人的名次排列有（ ）种不同情况.
A. 9B. 18C. 54D. 108
6. 已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共18分）
9. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，，是两两互斥的事件B. 事件与事件B相互独立
C. D.
10. 已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. 方程有三个不等实根
B. 是的一个极值点
C. 不等式的解集为
D. 当时，恒成立
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（共15分）
12. 已知的展开式中的系数为5，则______．
13. 已知函数，，当函数取最大值时，则_________.
14. 一种游戏规则如下：投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面分别标注的点数为），若掷出的点数为6，则游戏终止，否则一直进行投掷，直到掷出的点数为6，规定最多投掷次游戏强制终止.记为投掷骰子的总次数，则的数学期望______（用含的式子表示）.
四、解答题
15. 已知函数的图象经过点，且是的极值点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间和最值.
16. 某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，.
（1）求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率；
（2）若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望.
17. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，，，设人工抽检的综合指标不达标率为（）．
（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；
（3）若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．
19. 洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
（1）证明：在区间上单调递减；
（2）对于恒成立，求实数的取值范围；
数学
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题（共40分）
1. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ）
A. 3B. C. 4D.
答案：A
解析：
思路：根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案.
解答过程：由题意可得，解得.
故选：A.
2. 已知曲线在点处切线的斜率为8，则（ ）
A. 7B. -4C. -7D. 4
答案：B
解析：
思路：求导，利用导数的几何意义得出的值，再计算.
解答过程：
故选：B.
方法提示：本题主要考查了由切线的斜率求参数的值，属于基础题.
3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
答案：C
解析：
思路：利用正态密度曲线的对称性，可知，再利用对称性求.
解答过程：因为，所以，即正态曲线的对称轴为，
所以，
又，
所以.
故选：C
4. 用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（ ）
A. 50B. 52C. 54D. 56
答案：B
解析：
思路：
特殊元素优先考虑，即优先考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可.
解答过程：能被2整除的三位数是偶数，
当个位数是0时，有种情形；
当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有种情形，
因此，能被2整除的三位数的个数是种.
故选：B
方法提示：本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题.
5. 甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析，5人的名次排列有（ ）种不同情况.
A. 9B. 18C. 54D. 108
答案：C
解析：
思路：分步确定受限元素的位置，再计算剩余元素的全排列.
解答过程：确定冠军人选：有A31=3 种选法，
确定乙的名次：有A31=3 种选法，
安排剩余3人的名次：有A33=3!=6 种排法，
所以总排列数为.
6. 已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可．
解答过程：根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故
所以
，
，
故选：D．
7. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解.
解答过程：因为，
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，则；
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，所以；
又，综上可得的取值范围是.
故选：B.
8. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值.
解答过程：设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，
设“次传球后球在甲手中”，则，
则．
即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，所以，，
所以次传球后球在甲手中的概率为．
故选：A
二、多选题（共18分）
9. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，，是两两互斥的事件B. 事件与事件B相互独立
C. D.
答案：AC
解析：
思路：根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.
解答过程：由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确；
，，
，故C正确；
由
事件与事件B不独立，故B、D错误；
故选：AC
10. 已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：对A，由递推关系求出通项公式，运算判断；对B，将代入求出通项，求解判断；对C，根据，的通项公式计算判断；对D，根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前10项的和.
解答过程：对于A，因为，即，
所以，
故数列为等比数列，又，所以，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，，，，
又，，，
因为，
为正奇数组成，的项也是奇数，
由上面推理可得，…是由的前14项去掉的前4项余下的项组成，
所以
故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. 方程有三个不等实根
B. 是的一个极值点
C. 不等式的解集为
D. 当时，恒成立
答案：ACD
解析：
思路：由于当时，，利用导数研究在的单调性，结合奇函数的性质依次判断A,B,C选项即可，对于D，将问题转化为验证，令​，结合导数研究其单调性以及值域情况即可求解.
解答过程：选项A，函数是定义在上的奇函数，所以，
当时，
当时，，则
选项 A，当时，
，
令，
则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，所以对恒成立，在上单调递增；
因此时，只有一个根，
由奇函数性质可知当时，，所以是一个根，
又，所以的根为共三个不等实根，A 正确；
选项 B，由A可得在上单调递增，没有极值点，B 错误
选项 C，
当时单调递增，且，所以的解集为，
当时，是奇函数，等价于，即，
因为，且对应，即，
所以时，的解集为，
综上，不等式的解集为，C 正确
选项 D，当时，恒成立
即证：
化简得：
即：
令​，
，
令，
则
所以在上单调递增，
由于，，
所以存在，使得，即，即
当时，，单调递减；当时，单调递增，
所以，
令，
则，
由于在上单调递减，则，所以在上单调递减，则，
所以，
则，
即当时，恒成立，故D 正确
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（共15分）
12. 已知的展开式中的系数为5，则______．
答案：
解析：
思路：根据产生的两种可能分别得到其系数的等式解出．
解答过程：因为的展开式中的系数为5，则，即，解得；
故．
13. 已知函数，，当函数取最大值时，则_________.
答案：
解析：
思路：利用导数判断函数的单调性进而求出极值点.
解答过程：，，
由f'x=1+2csx ，当x∈[0,2π3)，f'x>0 ，为增函数；
当x∈(2π3,π] ，，为减函数，
所以当时，取得最大值.
14. 一种游戏规则如下：投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面分别标注的点数为），若掷出的点数为6，则游戏终止，否则一直进行投掷，直到掷出的点数为6，规定最多投掷次游戏强制终止.记为投掷骰子的总次数，则的数学期望______（用含的式子表示）.
答案：
解析：
思路：易得投掷一次掷出的点数为6的概率为，且当时，，当时，，，，再利用期望公式求解.
解答过程：由题意得每次投掷骰子相互独立，投掷一次掷出的点数为6的概率为，
当时，.
当时，，，，
则，
将上式左右两侧同乘以，得：
，
两式作差得：
，即，
符合上式，故.
故
四、解答题
15. 已知函数的图象经过点，且是的极值点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间和最值.
答案：（1）
（2）增区间为，减区间为，最小值为，无最大值
解析：
思路：（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）知，求得函数的单调区间，进而求得其最值.
（1）解：由函数，可得，
因为函数过点，且是的极值点，
可得，解得，经检验符合题意；
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，
令，解；令，解，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值.
即函数的增区间为，减区间为，最小值为，无最大值.
16. 某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，.
（1）求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率；
（2）若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望.
答案：（1）
（2）分布列见解析，52
解析：
思路：（1）利用概率的乘法和加法公式即可求解；
（2）根据已知条件求出随机变量的取值，再利用概率的乘法和加法公式求出随机变量对应的概率，进而得出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解.
（1）记A={该同学在上学路上恰好遇到一个红灯},
.
（2）的可能取值为，
,
,
,
X的分布列为：
.
17. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得.
（1）解：设等差数列的公差为，则，可得，
由可得，即，解得，，
故.
（2）解：，
因此，
.
18. 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，，，设人工抽检的综合指标不达标率为（）．
（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；
（3）若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．
答案：（1）
（2） （3）该企业需对生产工序进行改良，理由见解析
解析：
思路：（1）设每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件，视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，根据对立事件的性质及事件独立性的定义即可求解；
（2）根据条件得到（），利用导数对进行讨论即可；
（3）设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，根据条件概率得到，再由乘法公式得到，即可判断.
（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记芯片智能检测不达标为事件.
视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，
则有，，，
由对立事件的性质及事件独立性的定义得：，
所以每个芯片智能检测不达标的概率为.
（2）人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为（），
因此
令，得.
当时，；当时，.
则在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值点.
（3）设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
由（2）得：，
由（1）得：，
所以，
因此，该企业需对生产工序进行改良.
19. 洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
（1）证明：在区间上单调递减；
（2）对于恒成立，求实数的取值范围；
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）求得，令，得到，再令，求得，分和，两种情况分类讨论，进而得到函数的单调性；
（2）当时，得到恒成立；当时，转化为，令，求得，由（1）得到在上单调递减，转化为，结合洛必达法则，即可求解.
（1）解：由函数，可得，
令，则，
令，则，
若，则，单调递减，可得，单调递减，
则，所以在上单调递减，
若，则，单调递增，
所以，即，
所以存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，且，所以，
所以在区间上单调递减，且在上连续，
综上可得，函数在区间上单调递减.
（2）解：当时，，所以恒成立；
当时，由，可得，即，
令，可得，
由（1）知，，在上单调递减，则，
因为两个函数，当时，，
可得，
所以，解得，所以实数的取值范围为.X
0
48
96
144
P