2025--2026学年福建省泉州第五中学高二下册期中考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建省泉州第五中学高二下册期中考数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 设，则方差（ ）
A. B. C. D.
2. 设为随机事件，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 和互斥C. 和相互独立D.
3. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则称为上的凹函数．下列函数中，在定义域上为凹函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（ ）
A. 9种B. 36种C. 64种D. 81种
6. 已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
7. 将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（ ）
A. 5100种B. 4800种C. 4500种D. 4200种
8. 若函数的图象与过的直线交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的4个选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时），则下列选项正确的有（ ）
A. 第2026行中，从左到右数，第1013个数最大
B. 第2026行中，所有奇数项的和为
C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为3
D.
10. 已知函数，下列选项正确的有（ ）
A. 函数一定有极值点
B. 函数必有对称中心
C. 存在唯一一条函数的切线与函数的图象只有一个公共点
D. 若函数有3个零点，设，则的取值范围为
11. 乒乓球，被称为中国的"国球"，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为"小球推动大球"．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ）
A. 三局就结束比赛的概率为B.
C. D. 最大值为
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知二项式展开式中的系数为，则实数___________．
13. 若实数满足：，则的最大值为___________．
14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________．
四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤．）
15. 已知函数，
（1）当时，，求实数的最大值；
（2）若在处有极小值，求实数的值．
16. 一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个，
（1）从中有放回地抽取4个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，求的分布列和数学期望；
（2）从中不放回地抽取10个小球作为样本，用表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？
（要求写出推导过程）．
17. 已知椭圆的离心率，且过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点，
（i）证明：以线段为直径的圆过点；
（ii）求面积的最大值．
18. 甲同学在连续学习过程中的学习状态（认真学习或不认真学习）仅与前一天状态有关．若当天认真学习，当天完成作业的概率为0.8，且第二天继续认真学习的概率为0.8，转为不认真学习的概率为0.2；若当天不认真学习：当天完成作业的概率为0.2，且第二天继续不认真学习的概率为0.7，转为认真学习的概率为0.3．已知甲同学第1天一定认真学习，且约定：连续认真学习满3天，即可获得一次奖励．
（1）求甲同学第2天完成作业的概率；
（2）求甲同学在前5天的学习中，能获得奖励的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．求甲同学在前天完成作业天数的期望．
19. 已知函数
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得，求证：．
数学
满分150分 考试时间120分钟
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 设，则方差（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，所以.
2. 设为随机事件，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 和互斥C. 和相互独立D.
答案：A
解析：
解答过程：由可得：，故A正确，B错误；
因为，所以和不相互独立，故C错误；
由，故D错误.
3. 若定义在区间上的函数的导函数为增函数，则称为上的凹函数．下列函数中，在定义域上为凹函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：选项A：，一阶导：，由一阶导函数是减函数，不满足题意，故A错误；
选项B：，一阶导：y'=12x，由一阶导函数是减函数，不满足题意，故B错误；
选项C：，一阶导：，再二阶导：y″=2+xex，
当时，y″=2+xex0 ，
所以一阶导函数在上递减，在上递增，不满足题意，故C错误；
选项D：，一阶导：y′=2x−2sinx=2x−sinx，
二阶导：y″=21−csx≥0 ，因此一阶导在定义域上是增函数，符合凹函数定义，故D正确.
4. 设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以，
从而有，所以.
5. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（ ）
A. 9种B. 36种C. 64种D. 81种
答案：D
解析：
思路：由分步计数原理求解.
解答过程：四人依次选择电影，每人都有3种选择，
则不同的选择共有种.
故选：D.
6. 已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：B
解析：
思路：设到准线的距离为，则．然后求出．判断当与抛物线相切时，最小，即取得最大值，再利用切线性质计算即可得.
解答过程：抛物线的准线方程为，
设到准线的距离为，则，

则，
则当与抛物线相切时，最小，即取得最大值，
设过点的直线与抛物线相切，
联立，得，
，解得，
即有，解得，把代入得，
或，此时.
7. 将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（ ）
A. 5100种B. 4800种C. 4500种D. 4200种
答案：A
解析：
解答过程：先排红球，有1种排法，然后排白球，分两类讨论，
第一类情况是将两白球插空排入红球形成的5个空位有种，然后插入黑球，有种，故共有种不同的排法；
第二类情况是2个白球之间仅有1个黑球，先将2个白球和1个黑球捆绑成一个整体(形如W-B-W)，有A22C31=6 种方法；
再将此整体与4个红球排列，有种方法；然后将剩下的2个黑球插入形成的6个空位中，有A62=30 种方法，故此种情况有6×5×30=900 种。
故要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有5100种.
8. 若函数的图象与过的直线交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先根据S△OPQ=S△OPM+S△OQM 得到的表达式，再通过斜率公式构建出包含两点坐标的等式，并通过变量代换转为两个单变量函数，分别分析其变化情况，从而判断出何时取最小值.
解答过程：设直线方程为，因为单调递增，
由题意，直线与函数的图象有两个交点，结合图象可知，直线的斜率，
设交点，在上方，根据在图像右下方，
可知y2>0>y1,x2>1>x1>−1 ，则S△OPQ=S△OPM+S△OQM
=12OMy1+12OMy2=12y2−y1=12lnx2+1x1+1，
令t1=x1+1,t2=x2+1,m=t2t1，
则S△OPQ=12lnm ，由k=y1x1−1=y2−y1x2−x1=lnx1+1x1−1=lnx2+1−lnx1+1x2−x1，
可得k=lnt1t1−2=lnt2t1t2−t1即t1lnt1t1−2=lnmm−1，设p(m)=lnmm−1，，
则p'(m)=m−1m−lnmm−12=m−mlnm−1mm−12，设q(m)=m−mlnm−1 ，
则q'(m)=−lnm0 ，则在时单调递增，
当 时，g′b=1−bb0 ，
则在单调递增，
即，
所以当时，g'x=exsinx+x⋅sinx−x⋅csxsin2x>0 ，
当时，sinx>0,csx≤0,g'x=exsinx+x⋅sinx−x⋅csxsin2x>0 ，
即gx=xexsinx在上单调递增，
当时，由limx→0xexsinx=limx→01+xexcsx=1 ，
当时，gx=xexsinx→+∞ ，则gx=xexsinx的值域为
所以由在有零点，则，
即实数的取值范围为；
（3）由已知得：fx0=0⇒x0ex0+asinx0=0⇒−a=x0ex0sinx0，
f′x1=0⇒1+x1ex1+acsx1=0⇒−a=1+x1ex1csx1，
由（2）得，则csx1>0⇒x1∈0,π2，即2x1∈0,π，
由（2）知gx=xexsinx在上单调递增，
要证明，只需要证明，
又因为1+x1ex1csx1=−a=x0ex0sinx0，所以即证明1+x1ex1csx10 ，
所以在上单调递增，
nx=x−sinx 在上单调递增，
则mx=ex−x−1>m0=0 ，nx=x−sinx>n0=0 ，
即ex1>1+x1>0 ，，
利用不等式性质可得：ex1>1+x1sinx1x1，
即原不等式得证.
0
1
2
3
4