2025--2026学年福建厦门第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建厦门第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共20页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍
A. 9B. 27C. 81D. 729
2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 复数的值是（ ）
A. B. 1C. D.
5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
8. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ）

A. 和异面B. 和共面
C. 平面平面D. 平面与平交
10. 一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ）
A. 北偏东方向B. 南偏东方向
C. 北偏东方向D. 南偏东方向
11. 满足下列条件的四面体存在的是（ ）
A. 1条棱长为，其余5条棱长均为1B. 1条棱长为1，其余5条棱长均为
C. 2条棱长为，其余4条棱长均为1D. 2条棱长为1，其余4条棱长均为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______．
13. 某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶点的仰角分别为，，，米，则雕像高为________米.

14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在复平面内，复数对应的点为.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
16. 如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点B到平面的距离.
17. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足.
（1）若，求该几何体的体积.
（2）若正四棱锥的侧面是正三角形
①求正四棱锥的侧面积.
②若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
18. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型，为正三角形，，，为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）过点的平面交于点，沿平面将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情：
①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤）；
②在木质四棱锥模型中确定点的位置，求的值．
19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”.
（1）若在中，，求常数的值；
（2）求证：；
（3）若，试判断的形状，并说明理由.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍
A. 9B. 27C. 81D. 729
答案：B
解析：
思路：由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方.
解答过程：设扩大后球半径分别为，而球原来的半径为，
由表面积之比为，得，
则体积之比为.
故选：B.
2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据斜二测画法还原图形，结合图形求解.
解答过程：根据斜二测画法还原得下图：
因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，
又因为，，则，
同理可得，，
因此，原图形的周长为.
故选：B.
3. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
解答过程：，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，
故选：A
4. 复数的值是（ ）
A. B. 1C. D.
答案：A
解析：
思路：由复数的乘方运算可得答案.
解答过程：=
.
故选：A．
5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.
解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，即，
所以，又，则，
又，则，
所以.
故选：C
6. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为为正三角形，，所以，
又因为，所以，
即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的高为，可得圆台的母线长为，
所以圆台的表面积为.
7. 在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
答案：C
解析：
思路：解法1，设，利用余弦定理可得，令，可得，利用三角变换和三角函数性质求得，得解；
解法2，作，则是的重心，设，可得，，根据运算，结合三角函数性质得解；
解法3，作，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，可得，由三角形面积公式结合基本不等式求解.
解答过程：解法1：令，在内由余弦定理，可知
，化简得：，故，
所以的面积，令，所以，
又，
所以，所以，所以，当且仅当时，取等号.
解法2：如图，作，垂足为，交于，则是的重心，，
设，所以，，故的面积等于，
所以的面积，当且仅当时取等号.
解法3：如图，作，垂足为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系.
设，，则，，
所以的面积，当且仅当时取等号.
8. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用转化法求得数量积，即可得最值.
解答过程：
如图所示，易知，，，
过点作于点，则四边形为矩形，
则，
又，
所以，
即的最大值为，
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ）

A. 和异面B. 和共面
C. 平面平面D. 平面与平交
答案：ABD
解析：
思路：对于A，由异面直线的性质可判断；对于B，由基本事实1的推论可判断；对于CD，由基本事实3判断.
解答过程：对于A，在四棱台中，，
所以与确定平面，
因为与相交，且与平交，由所以和异面，故A正确；

对于B，在正四棱台中，，
所以与确定平面，所以和共面，故B正确；

对于C，因为面，而面，面，
由基本事实3可知，平面与平交，故C错误；

对于D，因为在正四棱台中，，
所以与可以确定一个平面，
又因为，所以与交于一点设为，
所以，而平面，所以平面，
又，而平面，所以平面，
由基本事实3可知，平面与平交，故D正确.

故选：ABD
10. 一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ）
A. 北偏东方向B. 南偏东方向
C. 北偏东方向D. 南偏东方向
答案：BC
解析：
思路：根据题意利用正弦定理运算求解.
解答过程：如图所示，由题意得，，，
则，解得，
且，所以或，
如图所示：则有：
当货轮在处时，，所以；
当货轮在处时，，所以；
综上所述：灯塔S在处的北偏东或南偏东方向.
故选：BC.

11. 满足下列条件的四面体存在的是（ ）
A. 1条棱长为，其余5条棱长均为1B. 1条棱长为1，其余5条棱长均为
C. 2条棱长为，其余4条棱长均为1D. 2条棱长为1，其余4条棱长均为
答案：BCD
解析：
思路：对于选项A和B，作图，设棱，取其对棱的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围，从而判断四面体是否存在.对于选项C和D，分两种情况讨论，①当长为的两条棱为相对棱时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；②当长为的两条棱有公共顶点时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；从而判断四面体是否存在.
解答过程：选项A：设四面体有1条棱长为，5条棱长为1，
如图1，四面体满足，，
取的中点，连接，，则，
由三角形的三边关系知，，
所以，即，故A错误；
选项B：与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为，5条棱长为时，
因为，所以B正确；
选项C：设四面体有2条棱长为，4条棱长为1，分两种情况：
①当长为的两条棱为相对棱时，
如图2，不妨设为，，
取的中点，连接，，则，
由三角形的三边关系知，，
所以，解得，不符合题意；
②当长为的两条棱有公共顶点时，
如图3，不妨设，
取的中点，连接，，
则，，
由三角形的三边关系知，，
所以，解得；
综上可知，.
因为，所以C正确；
选项D：与选项C同理可得，
当四面体有2条棱长为，4条棱长为时，，
因为，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______．
答案：1
解析：
思路：根据题意，方程的另一个根为，再结合韦达定理求解即可．
解答过程：由是关于x的方程的一个根，则另一个根为，
，解得，
所以．
13. 某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶点的仰角分别为，，，米，则雕像高为________米.

答案：
解析：
解答过程：令，由在处测得雕像顶点的仰角分别为，垂直于地面，
得，在与中，，
因此，整理得，解得，
所以雕像高为米.
14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
解答过程：观察图形可知，三点共线，且，
因为，
且，
则，
所以，即；
由正六边形的性质可得
，
所以
.
故；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在复平面内，复数对应的点为.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解；
（2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解.
（1）由已知得，
为纯虚数，，
解得.
（2）设，则，
又，
由，夹角为锐角得：，且与不共线，
，
解得且，
故的取值范围为.
16. 如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点B到平面的距离.
答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：
思路：（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论；
（2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离.
（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点
所以且，又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）由题设，
在中，，，
得，
，
，
设点B到平面的距离为h，又，
所以，则，从而.
17. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足.
（1）若，求该几何体的体积.
（2）若正四棱锥的侧面是正三角形
①求正四棱锥的侧面积.
②若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
答案：（1）312 （2）①；②
解析：
思路：（1）利用锥体、柱体体积公式计算得解.
（2）①利用正棱锥的侧面积公式计算即可；②将矩形，正和展开置于同一平面内，利用两点间距离最短求解.
（1）依题意，正四棱柱的高，则正四棱柱的体积为，
正四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
（2）①设，则，而，且为正三角形，
则，由，得，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为.
②将长方形，和展开在一个平面，
，，
，，
由几何意义知，，
当且仅当重合于点时，最短，
所以的最小值为.
18. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型，为正三角形，，，为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）过点的平面交于点，沿平面将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情：
①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤）；
②在木质四棱锥模型中确定点的位置，求的值．
答案：（1）证明见解析
（2）①答案见解析；②位置见解析，
解析：
思路：（1）取为的中点，连接，，由题意可证，平面，平面，即可得：平面平面，再利用面面平行证线面平行即可；
（2）①根据平面的基本性质即可确定在木料表面应该怎样画线；②过点作交于点，由题意可证四点共面，再根据平行线所截线段成比例即可求解.
（1）记为的中点，连接，，如图，
因为分别为的中点，所以为的中位线，
所以，因为平面平面，
所以平面；
又因为为正三角形，所以，
又为中点，所以，
又为等腰三角形，，所以，
所以，即，
所以，又平面平面，
所以平面；
又，平面，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面．
（2）①延长、相交于点，连接交于点，连接，
②过点作交于点，如图，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知：
，，，
得，
故，又因为，所以，
则有，故．
方法提示：关键点点睛：本题关键在于通过平面的基本性质确定点，再过点作交于点，由平行线所截线段成比例即可求解比例关系.
19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”.
（1）若在中，，求常数的值；
（2）求证：；
（3）若，试判断的形状，并说明理由.
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）等腰三角形或直角三角形，理由见解析
解析：
思路：（1）根据题设数据先得到，再结合“莱莫恩点”的定义求解即可；
（2）结合（1）可得，延长交于点，进而得到，，进而求证即可；
（3）由结合（2）可得，进而分、两种情况讨论求解即可.
（1）因为，所以，
所以，
连接，将分割为，
根据“莱莫恩点”的定义，点到三边的距离分别为.
所以
.
代入已知数据，得，故.
（2）由（1）可知，点到三边的距离分别为，
则.
如图，延长交于点，根据面积法可知，
所以.
另一方面，因为与同底，所以到的距离之比等于三角形面积之比，
即，所以.
所以.
（3）为等腰三角形或直角三角形，理由如下：
由可知，
由（2）知，所以，
展开得，
又因为，所以.
因为，所以有以下两种情况：
当时，即，此时为等腰三角形；
当时，即，此时为直角三角形.
综上所述，为等腰三角形或直角三角形.