第4单元 圆 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学六年级上册

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第五讲 圆 知识梳理 + 考点精讲 + 综合测试第一部分：知识梳理 本讲包含的知识点清单： 知识点1：圆的认识 知识点2：圆的周长 知识点3：圆的面积 知识点4：圆环的面积 知识点5：扇形的认识 知识点6：组合图形中圆的面积计算 本讲涉及的易错点/重难点： 1. 半径和直径的关系搞反：d = 2r 而不是 r = 2d，直径是半径的2倍，不是半径是直径的2倍 2. 周长公式和面积公式混淆：周长 C = 2πr 或 C = πd，面积 S = πr²，注意 r² 是 r 乘 r 而不是 r 乘 2 3. 用 π ≈ 3.14 计算时乘法出错，如 3.14×5 = 15.7 算成 15.07，建议列竖式仔细计算 4. 圆环面积忘记用大圆面积减小圆面积，或把外圆半径和内圆半径搞混，导致结果错误 5. 半圆的周长误认为就是圆周长的一半 πr，实际上半圆的周长 = πr + 2r（还要加上一条直径） 知识点1：圆的认识 圆是由到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。圆心通常用字母O表示，半径通常用字母r表示，直径通常用字母d表示。圆的重要特征：（1）在同一个圆中，直径等于半径的2倍，即 d = 2r，反过来 r = d/2。（2）在同一个圆中，有无数条半径，且所有半径都相等；有无数条直径，且所有直径都相等。（3）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。（4）圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径（或直径）决定。（5）两端都在圆上的线段中，直径最长。注意：直径必须是经过圆心的弦，不能把不过圆心的弦误认为直径。 知识点2：圆的周长 圆的周长是指围成圆的一周的长度。圆周率（π）：圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。π是一个无限不循环小数，π=3.14159265……，计算时一般取π≈3.14。圆的周长公式：（1）C = πd（已知直径求周长）（2）C = 2πr（已知半径求周长）由周长公式可以推导出：（1）已知周长求直径：d = C ÷ π（2）已知周长求半径：r = C ÷ 2 ÷ π = C ÷ (2π)半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径 = πr + 2r = (π+2)r注意：半圆的周长不等于圆周长的一半（πr），还要加上直径（2r）。 知识点3：圆的面积 圆的面积是指圆所围成的平面的大小。圆的面积公式推导：将圆平均分成若干份（如32份、64份），剪开后拼成一个近似的长方形。分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。这个长方形的长等于圆周长的一半（πr），宽等于圆的半径（r），所以圆的面积 = 长×宽 = πr×r = πr²。圆的面积公式：S = πr²已知不同条件求面积：（1）已知半径r：S = πr²（2）已知直径d：先求半径 r = d/2，再求 S = πr² = π(d/2)²（3）已知周长C：先求半径 r = C/(2π)，再求 S = πr²半圆的面积 = 圆面积的一半 = πr²/2 知识点4：圆环的面积 圆环是由两个同心圆（圆心相同的两个圆）组成的图形，也就是大圆中间挖去一个小圆后剩下的部分。圆环面积公式：S = πR² - πr² = π(R² - r²)其中 R 为外圆（大圆）的半径，r 为内圆（小圆）的半径。注意区分：（1）外圆半径R > 内圆半径r（2）圆环的宽度 = R - r（3）已知外圆直径和内圆直径时，要先分别除以2求出半径R和r（4）圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积，一定要用大圆减小圆 知识点5：扇形的认识 扇形是由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。扇形的特征：（1）扇形有一个顶点就是圆心，两条边是圆的半径。（2）扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大。（3）扇形的圆心角范围是大于0°小于360°。（4）圆可以看作圆心角为360°的特殊扇形。扇形的周长 = 弧长 + 两条半径 = 弧长 + 2r扇形面积（了解）：扇形面积 = (圆心角/360°) × πr²例如：圆心角为90°的扇形面积 = (90/360) × πr² = πr²/4圆心角为180°的扇形就是半圆。 知识点6：组合图形中圆的面积计算 在实际问题中，经常需要将圆的知识与组合图形结合，求阴影部分或不规则图形的面积。常见方法：（1）分割法：将组合图形分成若干个基本图形（圆、半圆、长方形、正方形等），分别求出面积再相加或相减。（2）填补法：先求出一个大的规则图形面积，再减去不需要的部分。（3）割补法：将图形切割后重新拼补，转化成规则图形。常见组合图形类型：（1）正方形内的最大圆：圆的直径 = 正方形的边长（2）长方形内的最大圆：圆的直径 = 长方形的宽（3）跑道形：两个半圆 + 一个长方形（4）外方内圆：阴影面积 = 正方形面积 - 圆面积 = a² - πr²（其中 a = 2r）  第二部分：考点精讲与练习 考点1：圆的认识——圆心、半径、直径的关系 【例1】一个圆的直径是10cm，求它的半径是多少厘米？另一个圆的半径是6dm，求它的直径是多少分米？ 【分析】根据直径和半径的关系：d = 2r，r = d÷2。第一个问题已知直径求半径，用 d÷2；第二个问题已知半径求直径，用 r×2。 【解答】解： （1）直径 d = 10cm，半径 r = d÷2 = 10÷2 = 5（cm） （2）半径 r = 6dm，直径 d = 2r = 2×6 = 12（dm） 答：直径10cm的圆，半径是5cm；半径6dm的圆，直径是12dm。 【点评】本题考查直径与半径的基本关系。牢记 d = 2r 和 r = d÷2，注意不要搞反倍数关系。 配套练习： 1. 一个圆的半径是4.5cm，它的直径是（ ）cm；一个圆的直径是18dm，它的半径是（ ）dm。 【分析】利用 d = 2r 和 r = d÷2 的关系来求。已知半径求直径用乘法，已知直径求半径用除法。 【解答】解： 半径4.5cm，直径 d = 2×4.5 = 9（cm） 直径18dm，半径 r = 18÷2 = 9（dm） 答：直径是9cm；半径是9dm。 【点评】d = 2r 是圆中最基本的数量关系，注意已知谁求谁来决定用乘法还是除法。 2. 判断：圆的直径是半径的2倍。（ ）；在同一个圆中，所有的半径都相等。（ ） 【分析】第一问要强调'在同一个圆中'这个前提条件；第二问考查同圆中半径的性质。 【解答】解： （1）在同一个圆中，直径是半径的2倍，这个说法是正确的。 （2）在同一个圆中，有无数条半径，且所有半径都相等，说法正确。 答：第一题对；第二题对。 【点评】注意'在同一个圆中'这个前提条件，不同圆的大小不同，不能直接比较。 3. 在一个长8cm、宽5cm的长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径是多少厘米？半径是多少厘米？ 【分析】在长方形内画最大的圆，圆的直径受到长方形宽的限制。圆的直径最大等于长方形的宽（较短的边），否则圆就会超出长方形的边界。 【解答】解： 长方形内最大的圆，直径 = 长方形的宽 = 5（cm） 半径 r = d÷2 = 5÷2 = 2.5（cm） 答：这个圆的直径是5cm，半径是2.5cm。 【点评】长方形内最大圆的直径等于长方形的宽，正方形内最大圆的直径等于正方形的边长。 考点2：圆的周长计算 【例2】一个圆形花坛的直径是6m，求它的周长是多少米？（π取3.14） 【分析】已知直径求周长，使用公式 C = πd。将 π = 3.14，d = 6 代入公式计算。 【解答】解： C = πd = 3.14 × 6 = 18.84（m） 答：这个圆形花坛的周长是18.84m。 【点评】本题考查圆的周长公式 C = πd 的直接运用。计算时注意小数乘法的准确性。 配套练习： 1. 一个圆的半径是5cm，求它的周长。（π取3.14） 【分析】已知半径求周长，使用公式 C = 2πr。将 π = 3.14，r = 5 代入公式计算。 【解答】解： C = 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4（cm） 答：这个圆的周长是31.4cm。 【点评】已知半径用 C = 2πr，已知直径用 C = πd，两个公式本质相同。 2. 一个圆形水池的周长是25.12m，求它的直径是多少米？（π取3.14） 【分析】已知周长求直径，由 C = πd 推导出 d = C÷π。将 C = 25.12，π = 3.14 代入计算。 【解答】解： d = C ÷ π = 25.12 ÷ 3.14 = 8（m） 答：这个圆形水池的直径是8m。 【点评】已知周长求直径用 d = C÷π，已知周长求半径用 r = C÷π÷2。 3. 求下面半圆的周长。（半圆所在圆的直径为10cm，π取3.14） 【分析】半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径 = πr + 2r = πd÷2 + d。注意不能只算圆周长的一半，还要加上直径！这是常见易错点。 【解答】解： 直径 d = 10cm，半径 r = 10÷2 = 5（cm） 圆周长的一半 = πd÷2 = 3.14×10÷2 = 15.7（cm） 半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径 = 15.7 + 10 = 25.7（cm） 答：这个半圆的周长是25.7cm。 【点评】半圆的周长 ≠ 圆周长的一半！半圆周长 = 半个圆弧 + 直径 = πr + 2r。 考点3：圆的面积计算 【例3】一个圆的半径是4cm，求它的面积。（π取3.14） 【分析】已知半径求面积，直接使用圆的面积公式 S = πr²。注意 r² 表示 r×r，即 4×4 = 16，而不是 4×2 = 8。 【解答】解： S = πr² = 3.14 × 4² = 3.14 × 16 = 50.24（cm²） 答：这个圆的面积是50.24cm²。 【点评】本题考查圆面积公式的直接应用。特别注意 r² 是 r 的平方（r×r），不是 r 乘以 2。 配套练习： 1. 一个圆形桌面的直径是1.2m，求它的面积。（π取3.14） 【分析】已知直径求面积，需要先求出半径 r = d÷2，再代入面积公式 S = πr² 计算。 【解答】解： 半径 r = d÷2 = 1.2÷2 = 0.6（m） S = πr² = 3.14 × 0.6² = 3.14 × 0.36 = 1.1304（m²） 答：这个圆形桌面的面积是1.1304m²。 【点评】已知直径时，一定要先除以2求出半径，再代入面积公式，不能直接用直径代入。 2. 一个圆的周长是31.4cm，求它的面积。（π取3.14） 【分析】已知周长求面积，需要先由 C = 2πr 求出半径 r = C÷2π，再代入面积公式 S = πr²。 【解答】解： r = C ÷ (2π) = 31.4 ÷ (2×3.14) = 31.4 ÷ 6.28 = 5（cm） S = πr² = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5（cm²） 答：这个圆的面积是78.5cm²。 【点评】已知周长求面积需要两步：先用周长公式求半径，再用面积公式求面积。 3. 一个半圆形的花坛，半径是3m，求这个半圆形花坛的面积。（π取3.14） 【分析】半圆的面积 = 圆面积的一半 = πr²÷2。将 r = 3 代入公式计算。 【解答】解： 圆的面积 = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（m²） 半圆的面积 = 28.26 ÷ 2 = 14.13（m²） 答：这个半圆形花坛的面积是14.13m²。 【点评】半圆面积 = 圆面积÷2，注意区分：半圆面积是圆的一半，但半圆周长不是圆周长的一半。 考点4：圆环的面积 【例4】一个圆环，外圆半径是10cm，内圆半径是6cm，求圆环的面积。（π取3.14） 【分析】圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积 = πR² - πr² = π(R² - r²)。已知 R = 10，r = 6，代入公式计算。 【解答】解： S = π(R² - r²) = 3.14 × (10² - 6²) = 3.14 × (100 - 36) = 3.14 × 64 = 200.96（cm²） 答：圆环的面积是200.96cm²。 【点评】圆环面积的关键是用大圆面积减小圆面积。注意先算括号里的减法再乘π，可以简化计算。 配套练习： 1. 一个圆环，外圆直径是20cm，内圆直径是10cm，求圆环的面积。（π取3.14） 【分析】已知直径需要先求半径。外圆半径 R = 20÷2 = 10cm，内圆半径 r = 10÷2 = 5cm。再用圆环面积公式 S = π(R² - r²)。 【解答】解： 外圆半径 R = 20÷2 = 10（cm） 内圆半径 r = 10÷2 = 5（cm） S = π(R² - r²) = 3.14 × (10² - 5²) = 3.14 × (100 - 25) = 3.14 × 75 = 235.5（cm²） 答：圆环的面积是235.5cm²。 【点评】已知直径时务必先除以2求出半径，再代入圆环面积公式。 2. 一个环形铁片，外圆半径是8dm，环宽（外圆半径与内圆半径之差）是3dm，求这个环形铁片的面积。（π取3.14） 【分析】环宽 = R - r，已知 R = 8dm，环宽 = 3dm，则内圆半径 r = R - 环宽 = 8 - 3 = 5dm。再用公式 S = π(R² - r²)。 【解答】解： 外圆半径 R = 8（dm） 内圆半径 r = R - 环宽 = 8 - 3 = 5（dm） S = π(R² - r²) = 3.14 × (8² - 5²) = 3.14 × (64 - 25) = 3.14 × 39 = 122.46（dm²） 答：环形铁片的面积是122.46dm²。 【点评】遇到'环宽'要先求内圆半径 r = R - 环宽，再代入圆环面积公式。 3. 一块圆形草地，中间有一个圆形喷泉。草地的直径是30m，喷泉的直径是10m，求草地的面积（不含喷泉）。（π取3.14） 【分析】草地面积 = 大圆面积（含喷泉）- 小圆面积（喷泉）。大圆半径 R = 30÷2 = 15m，小圆半径 r = 10÷2 = 5m。 【解答】解： 大圆半径 R = 30÷2 = 15（m） 小圆半径 r = 10÷2 = 5（m） 草地面积 = πR² - πr² = 3.14 × (15² - 5²) = 3.14 × (225 - 25) = 3.14 × 200 = 628（m²） 答：草地的面积（不含喷泉）是628m²。 【点评】本题本质是圆环面积问题，关键是分清大圆和小圆的半径。 考点5：扇形与组合图形面积 【例5】在边长为6cm的正方形内画一个最大的圆，求正方形与圆之间部分的面积。（π取3.14） 【分析】正方形内最大的圆，直径等于正方形的边长，即 d = 6cm，r = 3cm。阴影部分面积 = 正方形面积 - 圆面积。 【解答】解： 正方形边长 a = 6cm，圆半径 r = 6÷2 = 3（cm） 正方形面积 = a² = 6² = 36（cm²） 圆面积 = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（cm²） 阴影面积 = 36 - 28.26 = 7.74（cm²） 答：正方形与圆之间部分的面积是7.74cm²。 【点评】正方形内最大圆的直径等于正方形的边长。组合图形面积 = 大图形 - 小图形。 配套练习： 1. 一个长方形的长是10cm，宽是6cm，在这个长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【分析】长方形内最大的圆，直径等于长方形的宽（较短的边），即 d = 6cm，r = 3cm。 【解答】解： 长方形内最大的圆，直径 = 宽 = 6（cm） 半径 r = 6÷2 = 3（cm） 圆面积 = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26（cm²） 答：这个圆的面积是28.26cm²。 【点评】长方形内最大圆的直径等于长方形的宽，不是长，因为宽是较短的边，限制了圆的大小。 2. 如图，一个正方形的边长是8cm，以正方形的一个顶点为圆心，以边长为半径画一个四分之一圆（圆心角为90°的扇形），求这个扇形的面积。（π取3.14） 【分析】圆心角为90°的扇形是整个圆的 90/360 = 1/4。半径 r = 8cm，先求圆面积，再取四分之一。 【解答】解： 扇形的圆心角为90°，占整个圆的 90/360 = 1/4 圆面积 = πr² = 3.14 × 8² = 3.14 × 64 = 200.96（cm²） 扇形面积 = 200.96 × 1/4 = 50.24（cm²） 答：这个扇形的面积是50.24cm²。 【点评】圆心角90°的扇形面积 = 圆面积÷4，圆心角180°的扇形（半圆）面积 = 圆面积÷2。 3. 一块草坪的形状如图所示：中间是一个长20m、宽10m的长方形，两端各有一个以宽为直径的半圆。求这块草坪的周长和面积。（π取3.14） 【分析】这个组合图形可以看作：中间一个长方形 + 两端各一个半圆 = 一个长方形 + 一个完整的圆（两个半圆拼成）。圆的直径 = 长方形的宽 = 10m。周长由长方形的两条长边和两个半圆弧（=一个整圆的周长）组成。面积 = 长方形面积 + 圆面积。 【解答】解： 半圆的直径 = 长方形的宽 = 10（m），半径 r = 5（m） 两个半圆拼成一个整圆 周长 = 两条长边 + 一个圆的周长 = 20×2 + 2×3.14×5 = 40 + 31.4 = 71.4（m） 面积 = 长方形面积 + 圆面积 = 20×10 + 3.14×5² = 200 + 78.5 = 278.5（m²） 答：草坪的周长是71.4m，面积是278.5m²。 【点评】跑道形组合图形中，两个半圆合成一个整圆。周长不包含长方形两条宽（被半圆取代），面积是长方形加整圆。 考点6：圆的实际应用 【例6】一个圆形牛栏的半径是15m，要用粗铁丝把牛栏围上3圈，需要多长的粗铁丝？（π取3.14） 【分析】围3圈需要铁丝的长度 = 圆的周长 × 3。先求圆的周长 C = 2πr，再乘以3。 【解答】解： C = 2πr = 2 × 3.14 × 15 = 94.2（m） 3圈铁丝长度 = 94.2 × 3 = 282.6（m） 答：需要282.6m的粗铁丝。 【点评】围多圈的问题先求一圈的长度（周长），再乘以圈数。 配套练习： 1. 一只羊拴在草地上的木桩上，拴羊的绳长4m。这只羊最多能吃到多大面积的草？（π取3.14） 【分析】羊能吃到草的范围是一个以绳长为半径的圆。绳长 = 半径 r = 4m，求圆的面积。 【解答】解： r = 4m S = πr² = 3.14 × 4² = 3.14 × 16 = 50.24（m²） 答：这只羊最多能吃到50.24m²面积的草。 【点评】拴绳放牧问题的本质是圆的面积，绳长就是圆的半径。 2. 一个钟表的分针长10cm，经过30分钟后，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【分析】分针走30分钟，走了半圈（180°）。分针尖端走过的路程 = 半圆的弧长 = 圆周长的一半。分针扫过的面积 = 半圆面积 = 圆面积的一半。分针长度 = 半径 r = 10cm。 【解答】解： 分针走30分钟，走了半圈 路程 = 圆周长的一半 = 2πr÷2 = πr = 3.14×10 = 31.4（cm） 面积 = 圆面积的一半 = πr²÷2 = 3.14×10²÷2 = 3.14×100÷2 = 157（cm²） 答：分针尖端走过的路程是31.4cm，扫过的面积是157cm²。 【点评】钟表问题要结合圆心角分析：60分钟走一圈（360°），30分钟走半圈（180°），15分钟走四分之一圈（90°）。 3. 一个运动场跑道由两个半圆和一个长方形组成（如图）。长方形的长是50m，宽是20m（即半圆的直径为20m）。求跑道的周长。（π取3.14） 【分析】跑道的周长 = 长方形的两条长边 + 两个半圆的弧长（合成一个整圆的周长）。两个半圆的直径 = 长方形的宽 = 20m，半径 r = 10m。 【解答】解： 两个半圆的直径 = 20m，半径 r = 10m 两个半圆弧合成一个整圆的周长 = 2πr = 2×3.14×10 = 62.8（m） 跑道周长 = 两条长边 + 一个整圆的周长 = 50×2 + 62.8 = 100 + 62.8 = 162.8（m） 答：跑道的周长是162.8m。 【点评】跑道形图形的周长 = 长方形两条长边 + 两个半圆弧合成的整圆周长，不包含长方形的两条宽。  第三部分：综合测试 ★ 综合测试（一）（基础卷） 一、选择题（共5小题） 1．一个圆的半径是3cm，它的直径是（ ）。 A．3cm B．6cm C．9cm 2．一个圆的周长是12.56cm，它的半径是（ ）。（π取3.14） A．2cm B．4cm C．6cm 3．大圆的半径是4cm，小圆的半径是2cm，圆环的面积是（ ）cm²。（π取3.14） A．37.68 B．50.24 C．12.56 4．半圆的周长等于（ ）。 A．πr B．πr+2r C．2πr 5．在一个边长是4dm的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）dm²。（π取3.14） A．50.24 B．12.56 C．25.12 二、填空题（共5小题） 6．一个圆的直径是8cm，它的半径是____cm，周长是____cm，面积是____cm²。（π取3.14） 7．圆环的面积公式是S = ____，其中R表示____，r表示____。 8．一个圆的周长是18.84cm，它的直径是____cm，半径是____cm。（π取3.14） 9．一个半圆的直径是10cm，这个半圆的周长是____cm。（π取3.14） 10．大圆的半径是小圆半径的3倍，大圆的面积是小圆面积的____倍。 三、判断题（共5小题） 11．圆的直径是半径的2倍。 【 】 12．圆的半径扩大到原来的2倍，面积也扩大到原来的2倍。 【 】 13．半圆的周长就是圆周长的一半。 【 】 14．在同一个圆中，所有的直径都相等。 【 】 15．圆的面积公式 S = πr² 中，r² 表示 r 乘以 2。 【 】 四、计算题（共1小题） 16．求下面图形的面积。（1）圆的半径为5cm，求圆的面积。（2）圆环外圆半径为8cm，内圆半径为5cm，求圆环面积。（π取3.14） 五、应用题（共5小题） 17．一个圆形水池的半径是5m，沿水池外边走一圈，要走多少米？（π取3.14） 18．用一根31.4cm长的铁丝恰好围成一个圆形，求这个圆形的面积。（π取3.14） 19．一块圆形菜地的直径是20m，其中四分之一种了白菜，种白菜的面积是多少平方米？（π取3.14） 20．一个正方形的边长是10cm，在正方形内画一个最大的圆，求正方形与圆之间部分（四个角）的面积。（π取3.14） 21．一辆自行车车轮的直径是0.6m，如果车轮每分钟转100圈，那么自行车每分钟前进多少米？（π取3.14）  ★ 综合测试（二）（提升卷） 一、选择题（共5小题） 1．圆的半径缩小到原来的1/2，面积缩小到原来的（ ）。 A．1/2 B．1/4 C．1/8 2．一个圆的直径和一个正方形的边长相等，圆的面积和正方形面积相比，（ ）。 A．圆的面积大 B．正方形面积大 C．一样大 3．在一张长12cm、宽8cm的长方形纸上剪半径为2cm的圆，最多能剪（ ）个。 A．6 B．8 C．12 4．一个圆的周长扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（ ）倍。 A．3 B．6 C．9 5．如图，外圆半径为5cm，内圆半径为3cm，圆环面积是（ ）cm²。（π取3.14） A．25.12 B．50.24 C．28.26 二、填空题（共5小题） 6．一个圆的半径扩大到原来的4倍，周长扩大到原来的____倍，面积扩大到原来的____倍。 7．一个钟表的分针长12cm，从12时走到12时15分，分针尖端走过的路程是____cm，分针扫过的面积是____cm²。（π取3.14） 8．一个半圆的半径是6cm，它的周长是____cm，面积是____cm²。（π取3.14） 9．在一张长10cm、宽10cm的正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是____cm，面积是____cm²。（π取3.14） 10．圆环的外圆直径是16cm，内圆直径是8cm，圆环的宽是____cm，圆环的面积是____cm²。（π取3.14） 三、判断题（共5小题） 11．周长相等的两个圆，面积一定相等。 【 】 12．半圆形纸片的周长就是圆周长的一半。 【 】 13．两个圆的半径之比是2:3，它们的面积之比也是2:3。 【 】 14．圆的半径增加1cm，圆的周长增加2π cm（约6.28cm）。 【 】 15．扇形是轴对称图形。 【 】 四、计算题（共1小题） 16．求下面阴影部分的面积。（单位：cm，π取3.14）一个长方形的长是16cm，宽是8cm，在长方形内部有两个相同的圆，圆的直径等于长方形的宽的一半（即4cm），两个圆并排紧挨着放在长方形中间。求长方形中去掉两个圆后剩余部分的面积。 五、应用题（共5小题） 17．一个圆形喷水池的周长是62.8m，在喷水池周围铺一条1m宽的石板路。求石板路的面积。（π取3.14） 18．一根铁丝恰好可以围成一个边长为7.85cm的正方形。如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 19．一个直径为8m的圆形花坛，在花坛外围铺一圈2m宽的草坪。求草坪的面积。（π取3.14） 20．已知一个半圆形鸡舍的直径是6m，求这个鸡舍的占地面积和围栏的长度。（π取3.14） 21．在一个边长为20cm的正方形铁板上冲下4个同样大小的圆（如图，4个圆排成2×2的方阵，每个圆都与正方形的边和相邻的圆相切）。求每个圆的面积以及剩余铁板的面积。（π取3.14）  参考答案 综合测试（一）（基础卷） 答案 一、选择题 1． 【分析】直径 d = 2r = 2×3 = 6cm。 【解答】解： d = 2r = 2×3 = 6（cm） 故选：B。 【点评】直径是半径的2倍，d = 2r。 2． 【分析】由 C = 2πr 得 r = C÷(2π) = 12.56÷(2×3.14) = 12.56÷6.28 = 2cm。 【解答】解： r = C÷(2π) = 12.56÷6.28 = 2（cm） 故选：A。 【点评】已知周长求半径用 r = C÷(2π)。 3． 【分析】圆环面积 = π(R²-r²) = 3.14×(4²-2²) = 3.14×(16-4) = 3.14×12 = 37.68cm²。 【解答】解： S = π(R²-r²) = 3.14×(16-4) = 3.14×12 = 37.68（cm²） 故选：A。 【点评】圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积 = π(R²-r²)。 4． 【分析】半圆的周长 = 半个圆弧 + 直径 = πr + 2r。 【解答】解： 半圆周长 = 圆弧长 + 直径 = πr + 2r 故选：B。 【点评】半圆周长 ≠ 圆周长的一半，还要加上一条直径。 5． 【分析】正方形内最大的圆，直径 = 边长 = 4dm，半径 r = 2dm。面积 = πr² = 3.14×2² = 3.14×4 = 12.56dm²。 【解答】解： r = 4÷2 = 2（dm） S = πr² = 3.14×2² = 3.14×4 = 12.56（dm²） 故选：B。 【点评】正方形内最大圆的直径 = 正方形的边长。 二、填空题 6． 【分析】半径 r = 8÷2 = 4cm；周长 C = πd = 3.14×8 = 25.12cm；面积 S = πr² = 3.14×4² = 3.14×16 = 50.24cm²。 【解答】解： r = 8÷2 = 4（cm） C = πd = 3.14×8 = 25.12（cm） S = πr² = 3.14×4² = 3.14×16 = 50.24（cm²） 故答案为：4，25.12，50.24。 【点评】已知直径求半径、周长、面积，分三步逐一计算。 7． 【分析】圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积 = π(R²-r²)，R为外圆半径，r为内圆半径。 【解答】解： 圆环面积公式 S = π(R²-r²) R是外圆（大圆）半径，r是内圆（小圆）半径 故答案为：π(R²-r²)，外圆半径，内圆半径。 【点评】圆环面积公式是考试常考公式，注意R和r的含义不能混淆。 8． 【分析】d = C÷π = 18.84÷3.14 = 6cm；r = d÷2 = 6÷2 = 3cm。 【解答】解： d = C÷π = 18.84÷3.14 = 6（cm） r = d÷2 = 6÷2 = 3（cm） 故答案为：6，3。 【点评】已知周长求直径用 d = C÷π，求半径再除以2。 9． 【分析】半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径 = πd÷2 + d = 3.14×10÷2 + 10 = 15.7 + 10 = 25.7cm。 【解答】解： 半圆周长 = πd÷2 + d = 3.14×10÷2 + 10 = 15.7 + 10 = 25.7（cm） 故答案为：25.7。 【点评】半圆周长 = 圆弧 + 直径，不要漏掉直径部分。 10． 【分析】设小圆半径为r，大圆半径为3r。大圆面积 = π(3r)² = 9πr²，小圆面积 = πr²，比值 = 9。 【解答】解： 大圆面积 = π(3r)² = 9πr² 小圆面积 = πr² 倍数 = 9πr²÷πr² = 9 故答案为：9。 【点评】面积之比是半径之比的平方。半径比3:1，面积比就是9:1。 三、判断题 11． 【分析】在同一个圆中，直径 d = 2r，直径确实是半径的2倍。 【解答】解： d = 2r，说法正确。 故答案为：对。 【点评】在同一个圆中，d = 2r 是基本关系。 12． 【分析】面积 S = πr²，半径扩大2倍，新面积 = π(2r)² = 4πr² = 4S，面积扩大到原来的4倍，不是2倍。 【解答】解： 半径扩大2倍，面积 = π(2r)² = 4πr² 面积扩大到原来的4倍，不是2倍。 故答案为：错。 【点评】面积扩大的倍数 = 半径扩大倍数的平方。 13． 【分析】半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径 = πr + 2r，不是只有 πr。 【解答】解： 半圆周长 = πr + 2r 圆周长的一半 = πr 两者不相等。 故答案为：错。 【点评】半圆周长 = 圆弧 + 直径，不能漏掉直径。 14． 【分析】在同一个圆中，所有直径都等于2r，所以所有直径都相等。 【解答】解： 同一个圆中，直径 d = 2r 是固定的。 所有直径都相等，说法正确。 故答案为：对。 【点评】同圆中半径相等、直径相等，这是圆的基本性质。 15． 【分析】r² 表示 r 的平方，即 r×r，不是 r×2。例如 r=3 时，r²=3×3=9，不是 3×2=6。 【解答】解： r² = r×r（r的平方），不是 r×2 故答案为：错。 【点评】r² 是 r 的平方（r×r），这是常见的计算错误，一定要区分清楚。 四、计算题 16． 【分析】（1）直接用面积公式 S = πr²。（2）用圆环面积公式 S = π(R²-r²)。 【解答】解： （1）S = πr² = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5（cm²） （2）S = π(R² - r²) = 3.14 × (8² - 5²) = 3.14 × (64 - 25) = 3.14 × 39 = 122.46（cm²） 答：（1）圆的面积是78.5cm²。（2）圆环面积是122.46cm²。 【点评】圆和圆环面积计算的基本功，注意 r² 是 r 的平方。 五、应用题 17． 【分析】沿水池走一圈就是求圆的周长。已知半径 r = 5m，用公式 C = 2πr。 【解答】解： C = 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4（m） 答：沿水池外边走一圈要走31.4m。 【点评】沿圆形走一圈 = 求圆的周长。 18． 【分析】铁丝长度 = 圆的周长，即 C = 31.4cm。先由 C 求出半径 r = C÷(2π)，再求面积 S = πr²。 【解答】解： r = C÷(2π) = 31.4÷(2×3.14) = 31.4÷6.28 = 5（cm） S = πr² = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5（cm²） 答：这个圆形的面积是78.5cm²。 【点评】已知周长求面积需要先求半径再求面积，分两步完成。 19． 【分析】先求整个圆形菜地的面积 S = πr²，其中 r = 20÷2 = 10m。种白菜的面积 = 圆面积 × 1/4。 【解答】解： r = 20÷2 = 10（m） 圆面积 = πr² = 3.14 × 10² = 3.14 × 100 = 314（m²） 白菜面积 = 314 × 1/4 = 78.5（m²） 答：种白菜的面积是78.5m²。 【点评】求圆的几分之几，先求总面积再乘以对应的分数。 20． 【分析】正方形内最大圆的直径 = 边长 = 10cm，r = 5cm。四个角的面积 = 正方形面积 - 圆面积。 【解答】解： 正方形面积 = 10² = 100（cm²） 圆半径 r = 10÷2 = 5（cm） 圆面积 = πr² = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5（cm²） 四个角面积 = 100 - 78.5 = 21.5（cm²） 答：四个角部分的面积是21.5cm²。 【点评】外方内圆问题：阴影面积 = 正方形面积 - 圆面积。 21． 【分析】车轮转一圈前进的距离 = 车轮的周长 C = πd。每分钟转100圈，前进距离 = 周长 × 100。 【解答】解： C = πd = 3.14 × 0.6 = 1.884（m） 每分钟前进 = 1.884 × 100 = 188.4（m） 答：自行车每分钟前进188.4m。 【点评】车轮滚动问题：转一圈 = 前进一个周长的距离。  综合测试（二）（提升卷） 答案 一、选择题 1． 【分析】面积 S = πr²，半径缩小到1/2，新面积 = π(r/2)² = πr²/4 = S/4。 【解答】解： 新面积 = π(r/2)² = πr²/4 = 原面积的1/4 故选：B。 【点评】面积变化倍数 = 半径变化倍数的平方。 2． 【分析】设直径 = 边长 = a。圆面积 = π(a/2)² = πa²/4 ≈ 3.14a²/4 ≈ 0.785a²。正方形面积 = a²。因为 0.785 < 1，所以正方形面积大。 【解答】解： 设直径 = 边长 = a 圆面积 = π(a/2)² ≈ 0.785a² 正方形面积 = a² 0.785a² < a²，正方形面积大 故选：B。 【点评】直径等于边长时，圆面积约为正方形面积的78.5%。 3． 【分析】每个圆的直径 = 2×2 = 4cm。沿长边可剪 12÷4 = 3个，沿宽边可剪 8÷4 = 2个，共 3×2 = 6个。 【解答】解： 每个圆直径 = 2×2 = 4（cm） 长边方向：12÷4 = 3（个） 宽边方向：8÷4 = 2（个） 共 3×2 = 6（个） 故选：A。 【点评】剪圆问题要先求直径，再看长和宽各能放几个直径。 4． 【分析】周长扩大3倍说明半径也扩大3倍（C=2πr，C与r成正比），面积 = π(3r)² = 9πr²，扩大9倍。 【解答】解： 周长扩大3倍→半径扩大3倍 面积 = π(3r)² = 9πr² = 9倍原面积 故选：C。 【点评】周长比 = 半径比，面积比 = 半径比的平方 = 周长比的平方。 5． 【分析】圆环面积 = π(R²-r²) = 3.14×(5²-3²) = 3.14×(25-9) = 3.14×16 = 50.24cm²。 【解答】解： S = π(R²-r²) = 3.14×(25-9) = 3.14×16 = 50.24（cm²） 故选：B。 【点评】圆环面积 = π(R²-r²)，注意先算括号内再乘π。 二、填空题 6． 【分析】周长与半径成正比（C=2πr），半径扩大4倍，周长也扩大4倍。面积与半径的平方成正比（S=πr²），半径扩大4倍，面积扩大4²=16倍。 【解答】解： 周长比 = 半径比 = 4 面积比 = 半径比的平方 = 4² = 16 故答案为：4，16。 【点评】周长变化倍数 = 半径变化倍数，面积变化倍数 = 半径变化倍数的平方。 7． 【分析】从12时到12时15分，分针走了15分钟，即90°（四分之一圈）。路程 = 圆周长的1/4 = 2πr/4 = πr/2。面积 = 圆面积的1/4 = πr²/4。 【解答】解： 15分钟走了四分之一圈 路程 = 2πr÷4 = 2×3.14×12÷4 = 75.36÷4 = 18.84（cm） 面积 = πr²÷4 = 3.14×12²÷4 = 3.14×144÷4 = 452.16÷4 = 113.04（cm²） 故答案为：18.84，113.04。 【点评】钟表问题要先分析走了几分之几圈，再按比例计算路程和面积。 8． 【分析】半圆周长 = πr + 2r = 3.14×6 + 2×6 = 18.84 + 12 = 30.84cm。半圆面积 = πr²÷2 = 3.14×36÷2 = 56.52cm²。 【解答】解： 半圆周长 = πr + 2r = 3.14×6 + 12 = 18.84 + 12 = 30.84（cm） 半圆面积 = πr²÷2 = 3.14×36÷2 = 113.04÷2 = 56.52（cm²） 故答案为：30.84，56.52。 【点评】半圆周长要加直径，半圆面积是圆面积的一半。 9． 【分析】正方形内最大圆直径 = 边长 = 10cm，r = 5cm。C = πd = 3.14×10 = 31.4cm。S = πr² = 3.14×5² = 78.5cm²。 【解答】解： d = 10cm，r = 5cm C = πd = 3.14×10 = 31.4（cm） S = πr² = 3.14×5² = 3.14×25 = 78.5（cm²） 故答案为：31.4，78.5。 【点评】正方形内最大圆的直径 = 正方形的边长。 10． 【分析】外圆半径 R = 16÷2 = 8cm，内圆半径 r = 8÷2 = 4cm。环宽 = R - r = 8 - 4 = 4cm。面积 = π(R²-r²) = 3.14×(64-16) = 3.14×48 = 150.72cm²。 【解答】解： R = 16÷2 = 8（cm），r = 8÷2 = 4（cm） 环宽 = R - r = 8 - 4 = 4（cm） S = π(R²-r²) = 3.14×(64-16) = 3.14×48 = 150.72（cm²） 故答案为：4，150.72。 【点评】环宽 = 外圆半径 - 内圆半径。先求半径再算面积。 三、判断题 11． 【分析】周长相等说明 2πr 相等，则 r 相等，面积 πr² 也一定相等。 【解答】解： 周长相等→半径相等→面积相等 说法正确。 故答案为：对。 【点评】周长唯一确定圆的大小，所以周长相等则面积必相等。 12． 【分析】半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径 = πr + 2r，比圆周长的一半多了一条直径。 【解答】解： 半圆周长 = πr + 2r 圆周长的一半 = πr 两者不相等 故答案为：错。 【点评】半圆周长 = 圆弧 + 直径，不是只有圆弧部分。 13． 【分析】面积比 = 半径比的平方 = 2²:3² = 4:9，不是 2:3。 【解答】解： 半径比 = 2:3 面积比 = 2²:3² = 4:9 不是2:3，故答案为：错。 【点评】面积比是半径比的平方，这是重要规律。 14． 【分析】原周长 = 2πr，新周长 = 2π(r+1) = 2πr + 2π。周长增加量 = 2π ≈ 6.28cm。 【解答】解： 新周长 - 原周长 = 2π(r+1) - 2πr = 2π ≈ 6.28（cm） 说法正确。 故答案为：对。 【点评】半径增加固定值，周长增加 2π×增量。 15． 【分析】扇形沿圆心角的平分线所在的直线对折，两边完全重合，所以扇形是轴对称图形，有1条对称轴。 【解答】解： 扇形沿圆心角平分线对折两边重合。 扇形是轴对称图形，有1条对称轴。 故答案为：对。 【点评】扇形是轴对称图形，对称轴是圆心角平分线所在的直线。 四、计算题 16． 【分析】长方形内去掉两个圆。圆的直径 d = 4cm（宽8cm的一半），半径 r = 2cm。长方形面积 = 16×8 = 128cm²。两个圆面积 = 2×πr² = 2×3.14×4 = 25.12cm²。阴影面积 = 128 - 25.12 = 102.88cm²。 【解答】解： 圆的直径 = 8÷2 = 4（cm），半径 r = 2（cm） 长方形面积 = 16×8 = 128（cm²） 两个圆面积 = 2×πr² = 2×3.14×2² = 2×3.14×4 = 25.12（cm²） 阴影面积 = 128 - 25.12 = 102.88（cm²） 答：阴影部分面积是102.88cm²。 【点评】组合图形面积 = 长方形面积 - 两个圆面积，先求各部分再相减。 五、应用题 17． 【分析】喷水池周长62.8m，先求内圆半径 r = C÷(2π)。石板路宽1m，外圆半径 R = r + 1。石板路面积 = 圆环面积 = π(R²-r²)。 【解答】解： 内圆半径 r = 62.8÷(2×3.14) = 62.8÷6.28 = 10（m） 外圆半径 R = 10 + 1 = 11（m） 石板路面积 = π(R²-r²) = 3.14×(11²-10²) = 3.14×(121-100) = 3.14×21 = 65.94（m²） 答：石板路的面积是65.94m²。 【点评】环状路径问题：先由周长求内圆半径，外圆半径 = 内圆半径 + 路宽，再用圆环面积公式。 18． 【分析】铁丝长度 = 正方形周长 = 4×7.85 = 31.4cm。围成圆后，圆的周长 = 31.4cm。由 C = 2πr 求出半径，再求面积。 【解答】解： 铁丝长 = 4×7.85 = 31.4（cm） 圆的周长 C = 31.4cm r = C÷(2π) = 31.4÷(2×3.14) = 31.4÷6.28 = 5（cm） S = πr² = 3.14×5² = 3.14×25 = 78.5（cm²） 答：这个圆的面积是78.5cm²。 【点评】同一根铁丝围成正方形和圆，周长相等。注意正方形和圆面积不同。 19． 【分析】花坛直径8m，内圆半径 r = 4m。草坪宽2m，外圆半径 R = 4+2 = 6m。草坪面积 = 圆环面积。 【解答】解： 内圆半径 r = 8÷2 = 4（m） 外圆半径 R = 4 + 2 = 6（m） 草坪面积 = π(R²-r²) = 3.14×(6²-4²) = 3.14×(36-16) = 3.14×20 = 62.8（m²） 答：草坪的面积是62.8m²。 【点评】外围铺草坪 = 圆环面积问题，外圆半径 = 内圆半径 + 草坪宽度。 20． 【分析】鸡舍是半圆形。直径 d = 6m，半径 r = 3m。占地面积 = 半圆面积 = πr²÷2。围栏长度 = 半圆周长 = 圆弧 + 直径 = πr + 2r。 【解答】解： r = 6÷2 = 3（m） 占地面积 = πr²÷2 = 3.14×3²÷2 = 3.14×9÷2 = 28.26÷2 = 14.13（m²） 围栏长度 = πr + 2r = 3.14×3 + 2×3 = 9.42 + 6 = 15.42（m） 答：鸡舍占地面积14.13m²，围栏长度15.42m。 【点评】半圆形问题中，面积是圆的一半，周长要加直径。 21． 【分析】4个圆排成2×2方阵，每个圆的直径 = 正方形边长÷2 = 20÷2 = 10cm，半径 r = 5cm。4个圆面积 = 4×πr²。剩余面积 = 正方形面积 - 4个圆面积。 【解答】解： 每个圆直径 = 20÷2 = 10（cm），半径 r = 5（cm） 每个圆面积 = πr² = 3.14×5² = 3.14×25 = 78.5（cm²） 4个圆总面积 = 4×78.5 = 314（cm²） 正方形面积 = 20² = 400（cm²） 剩余面积 = 400 - 314 = 86（cm²） 答：每个圆的面积是78.5cm²，剩余铁板面积是86cm²。 【点评】多圆排列问题要先根据排列方式确定每个圆的直径，再用总面积减去所有圆面积。