第3单元 分数除法 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学六年级上册

这是一份第3单元 分数除法 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学六年级上册，共43页。
第三讲 分数除法知识梳理 + 考点精讲 + 综合测试第一部分：知识梳理本讲包含的知识点清单：知识点1：倒数的认识知识点2：分数除以整数知识点3：一个数除以分数知识点4：分数混合运算知识点5：分数除法应用题知识点6：工程问题本讲涉及的易错点/重难点：1. 倒数概念混淆：互为倒数是两个数之间的关系，不能说"38是倒数"，必须说"38和83互为倒数"。倒数不是相反数（如-3和3是相反数，但不是倒数）。2. 除以分数忘记变乘倒数：分数除法的核心是"除变乘，倒数替换"，很多同学忘记把除号变成乘号或忘记取倒数。3. 0没有倒数容易忽略：0和任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数。做题时遇到"所有数都有倒数"等说法要注意判断。4. 应用题中单位"1"的判断错误：单位"1"通常是"是""占""比"后面的那个量。找准单位"1"是解题的关键，单位"1"未知时用除法，已知时用乘法。5. 混合运算顺序出错：分数混合运算和整数一样先乘除后加减，但计算过程中容易把加减和乘除的优先级搞混。知识点1：倒数的认识乘积是1的两个数互为倒数。例如，38 × 83 = 1，所以38和83互为倒数。 求一个数的倒数（0除外），只需要把这个数的分子、分母交换位置。 特殊情况： • 1的倒数是1（因为1×1=1） • 0没有倒数（因为0和任何数相乘都得0，不可能得1） • 真分数的倒数大于1（如23的倒数是32） • 假分数的倒数小于或等于1（如54的倒数是45） 注意："互为倒数"是指两个数之间的关系，不能单独说某一个数是倒数，必须说"谁是谁的倒数"或"谁和谁互为倒数"。知识点2：分数除以整数分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 计算方法：a/b ÷ n = a/b × 1/n = a/(b×n) 例如：47 ÷ 2 = 47 × 12 = 414 = 27理解：把47平均分成2份，每份就是47的12，即47 × 12。 注意：计算结果能约分的要约成最简分数。知识点3：一个数除以分数一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。 整数除以分数：a ÷ b/c = a × c/b 分数除以分数：a/b ÷ c/d = a/b × d/c 例如：2 ÷ 23 = 2 × 32 = 3 56 ÷ 512 = 56 × 125 = 2 核心法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。这个法则统一了所有分数除法运算。 注意：计算时先约分再乘，可以简化计算过程。知识点4：分数混合运算分数混合运算的运算顺序与整数相同： • 同级运算从左到右依次计算 • 先算乘除，后算加减 • 有括号的先算括号里面的 整数运算定律对分数同样适用： • 乘法交换律：a×b = b×a • 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c) • 乘法分配律：(a+b)×c = a×c + b×c 合理利用运算定律可以使计算更简便。例如：35 × 47 + 35 × 37 = 35 × (47 + 37) = 35 × 1 = 35知识点5：分数除法应用题已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 解题思路： 1. 找准单位"1"（即所求的那个数） 2. 确定对应关系：单位"1" × 几分之几 = 对应的量 3. 列式：单位"1" = 对应的量 ÷ 几分之几 例如：小明体内水分有28kg，水分占体重的45，小明体重多少千克？ 分析：体重是单位"1"，体重 × 45 = 水分28kg 列式：28 ÷ 45 = 28 × 54 = 35（kg） 也可以用方程：设体重为x千克，45 × x = 28，x = 28 ÷ 45 = 35。知识点6：工程问题工程问题的基本关系： • 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 • 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 • 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 解题方法：把工作总量看作单位"1"。 • 甲单独完成需要a天，甲的工作效率就是1/a • 乙单独完成需要b天，乙的工作效率就是1/b • 合作完成：工作时间 = 1 ÷ (1/a + 1/b) 例如：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，甲乙合作几天完成？ 甲的效率 = 110，乙的效率 = 115合作效率 = 110 + 115 = 330 + 230 = 530 = 16合作时间 = 1 ÷ 16 = 6（天）第二部分：考点精讲与练习考点1：倒数的认识【例1】写出下列各数的倒数：35、7、1、29、0.4。【分析】求一个数的倒数，先把这个数化成分数形式（如果不是分数），然后把分子分母交换位置。注意：0没有倒数，1的倒数是1。【解答】解：35的倒数是53（分子分母交换位置）7 = 71，7的倒数是171的倒数是129的倒数是920.4 = 410 = 25，0.4的倒数是52答：35的倒数是53；7的倒数是17；1的倒数是1；29的倒数是92；0.4的倒数是52。【点评】本题考查求倒数的方法。关键是先把数化成分数，再交换分子分母位置。特别注意小数要先化成分数再求倒数。配套练习：1. 填空：（1）58 ×（ ）= 1；（2）（ ）× 49 = 1；（3）（ ）的倒数是0.6；（4）最小的质数的倒数是（ ）。【分析】（1）乘积为1，求58的倒数，交换分子分母。（2）求49的倒数。（3）0.6=35，求35的倒数。（4）最小的质数是2，求2的倒数。【解答】解：（1）58 × 85 = 1，填85。（2）94 × 49 = 1，填94。（3）0.6 = 35，35的倒数是53，填53。（4）最小的质数是2，2=21，倒数是12，填12。答：（1）85；（2）94；（3）53；（4）12。【点评】求倒数要先化成分数形式再交换分子分母。最小质数是2，最小合数是4，1的倒数是1，0没有倒数。2. 判断：（1）34和43互为倒数。（2）得数是1的两个数互为倒数。（3）真分数的倒数都大于1，假分数的倒数都小于1。【分析】（1）验证乘积是否为1。（2）"得数"不等于"乘积"，加法得1的两个数不是倒数关系。（3）假分数包括分子等于分母的情况（值为1），1的倒数还是1，不小于1。【解答】解：（1）34 × 43 = 1，乘积是1，所以34和43互为倒数。对。（2）"得数是1"可能是加法，如12+12=1，但12和12的乘积是14≠1，不互为倒数。必须"乘积是1"。错。（3）真分数的倒数确实大于1，但假分数如1（11），它的倒数是1，并不小于1。错。答：（1）对；（2）错；（3）错。【点评】注意"互为倒数"的严格定义是"乘积为1"。假分数包含值为1的情况，不能一概而论说倒数小于1。3. 已知a和b互为倒数，求 a/3 × b/4 的值。【分析】a和b互为倒数，说明a×b=1。利用这个条件来化简 a/3 × b/4 = (a×b)/(3×4) = 112。【解答】解：因为a和b互为倒数，所以a×b = 1。a/3 × b/4 = (a×b) / (3×4) = 112答：a/3 × b/4 的值为112。【点评】本题利用互为倒数的性质（乘积为1）来简化计算，体现了整体代入的思想。考点2：分数除以整数和一个数除以分数【例2】计算：（1）67 ÷ 3；（2）5 ÷ 56；（3）34 ÷ 98。【分析】分数除法的核心法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。整数除以分数先把整数看作分母为1的分数。【解答】解：（1）67 ÷ 3 = 67 × 13 = 621 = 27（2）5 ÷ 56 = 5 × 65 = 305 = 6（3）34 ÷ 98 = 34 × 89 = 2436 = 23答：（1）27；（2）6；（3）23。【点评】计算分数除法的关键步骤：除号变乘号，除数变倒数，然后按分数乘法计算。结果要约成最简分数。配套练习：1. 计算：（1）89 ÷ 4；（2）712 ÷ 76；（3）10 ÷ 25。【分析】按照分数除法法则：除号变乘号，除数变倒数，然后计算。计算时注意先约分再乘。【解答】解：（1）89 ÷ 4 = 89 × 14 = 836 = 29（2）712 ÷ 76 = 712 × 67 = 4284 = 12（3）10 ÷ 25 = 10 × 52 = 502 = 25答：（1）29；（2）12；（3）25。【点评】计算时先约分再乘可以简化运算。（2）中7和7约掉，12和6约分后得2，结果为12。2. 一根绳子长56米，平均分成5段，每段长多少米？每段占全长的几分之几？【分析】求每段长度用总长度÷段数，即56÷5。求每段占全长的几分之几，把全长看作单位"1"，平均分成5段，每段占15。【解答】解：每段长：56 ÷ 5 = 56 × 15 = 530 = 16（米）每段占全长的：1 ÷ 5 = 15答：每段长16米，每段占全长的15。【点评】注意区分两个问题："每段长多少"求的是具体长度（带单位），"每段占几分之几"求的是分率（不带单位）。3. 在括号里填上">""""