体育中的数学 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学六年级上册

这是一份体育中的数学 知识梳理+考点精讲+综合测试（含答案）--人教版数学六年级上册，共39页。
第六单元 体育中的数学 知识梳理 + 考点精讲 + 综合测试 第一部分：知识梳理 本讲包含的知识点清单： 知识点1：体育中的测量问题（跑道长度计算、投掷距离测量） 知识点2：比赛中的数学（循环赛和淘汰赛） 知识点3：体育场地设计中的数学（铅球场地、足球场尺寸比例） 知识点4：比赛计分与排名（积分制、净胜球、平均速度计算） 知识点5：体育数据统计（平均数、百分比在体育中的应用） 本讲涉及的易错点/重难点： 1. 循环赛场次公式 n×(n-1)/2 忘记除以2，直接用 n×(n-1)，导致结果翻倍 2. 淘汰赛场次 = n-1（不是 n），每场淘汰一个队，n个队需淘汰 n-1 个队才决出冠军 3. 跑道计算时内外圈差异：不同跑道弯道半径不同，只算弯道差异部分即可，直道长度相同不需要重复计算 4. 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不是各段速度的平均值。这是最常见的错误！  知识点1：体育中的测量问题（跑道长度计算、投掷距离测量） 在田径运动中，跑道由两个直道和两个半圆弯道组成。标准跑道一圈的总长度 = 两条直道长度 + 一个圆的周长（两个半圆恰好合成一个整圆）。不同跑道的差异：外圈跑道比内圈跑道多出的长度，主要来自弯道部分。相邻两条跑道的宽度差为1.25m，则外圈弯道半径比内圈大1.25m，外圈弯道周长多出 2×π×1.25 ≈ 7.85m。因此为了保证公平，外圈选手的起跑线需要前移相应距离。投掷距离测量：铅球、标枪等投掷项目中，投掷距离是从投掷点（或起掷线）到落地点之间的直线距离。 知识点2：比赛中的数学（循环赛和淘汰赛） 循环赛：每两个参赛队（人）之间都要比赛一场。n个队（人）进行单循环赛，总场次 = n×(n-1)/2。理解方法：每个队要和其他 (n-1) 个队各赛一场，n个队共 n×(n-1) 场，但每场比赛被两个队各计算了一次（A队和B队的比赛，A算了1次B也算了1次），所以要除以2。例如：4个队进行循环赛，场次 = 4×3/2 = 6（场）。淘汰赛：每场比赛淘汰一个队（人），直到决出冠军。n个队（人）进行淘汰赛，总场次 = n - 1。理解方法：除冠军外，其他 (n-1) 个队都要被淘汰，每场比赛淘汰一个，所以需要 (n-1) 场比赛。 知识点3：体育场地设计中的数学（铅球场地、足球场尺寸比例） 铅球场地：铅球投掷圈是一个圆（直径约2.135m），投掷区是一个扇形（圆心角约34.92°），由圆和扇形组成。足球场尺寸：国际比赛标准足球场长为90~120m，宽为45~90m。国际足联推荐标准为长105m、宽68m。足球场的长宽比约为 105:68 ≈ 1.54:1。篮球场地：标准篮球场长28m、宽15m，长宽比约为 28:15 ≈ 1.87:1。在体育场地设计中，经常需要用到长方形周长、面积计算，圆的周长和面积计算，以及比例等数学知识。 知识点4：比赛计分与排名（积分制、净胜球、平均速度计算） 积分制：常见积分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。各队总积分 = 胜场数×3 + 平场数×1。排名规则：先看积分，积分相同则比较净胜球（进球数 - 失球数），净胜球仍相同则比较进球数。平均速度：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间。注意不是各段速度的平均值！例如：跑步训练，前100m用时20秒，后100m用时25秒。平均速度 = 总路程÷总时间 = (100+100)÷(20+25) = 200÷45 ≈ 4.44（m/s）。 知识点5：体育数据统计（平均数、百分比在体育中的应用） 平均数在体育中的应用：- 平均得分 = 总得分 ÷ 比赛场数- 平均用时 = 总用时 ÷ 次数- 投篮命中率 = 命中次数 ÷ 投篮总次数 × 100%百分比在体育中的应用：- 射击命中率 = 命中靶数 ÷ 射击总次数 × 100%- 足球胜率 = 获胜场数 ÷ 总比赛场数 × 100%- 出勤率 = 实际出勤人数 ÷ 应出勤人数 × 100%通过统计和比较平均数、百分比，可以对运动员的表现进行分析和评价。 第二部分：考点精讲与练习 考点1：跑道长度与起跑线问题 【例1】标准跑道由两条直道和两个半圆弯道组成。已知直道长85.96m，最内圈（第1道）弯道半径为36m，每条跑道宽1.25m。请计算：（1）第1道弯道部分的总长度（两个半圆合为一个整圆）是多少米？（2）第2道弯道部分的总长度是多少米？（3）为了保证公平，第2道比第1道的起跑线应前移多少米？（π取3.14，结果保留两位小数） 【分析】两个半圆弯道恰好拼成一个整圆，弯道总长度 = 圆的周长 = 2πr。第1道半径为36m，第2道半径为36+1.25=37.25m。起跑线前移距离 = 第2道弯道周长 - 第1道弯道周长。 【解答】解： （1）第1道弯道总长度 = 2 × π × 36 = 2 × 3.14 × 36 = 226.08（m） （2）第2道弯道半径 = 36 + 1.25 = 37.25（m） 第2道弯道总长度 = 2 × 3.14 × 37.25 = 233.93（m） （3）起跑线前移距离 = 233.93 - 226.08 = 7.85（m） 答：第1道弯道总长226.08m，第2道弯道总长233.93m，起跑线应前移7.85m。 【点评】本题考查跑道计算。关键是理解两个半圆合成一个整圆，以及外圈跑道只多出弯道部分，直道长度相同。 配套练习： 1. 标准跑道直道长87m，第1道弯道半径为36.5m，跑道宽1.2m。（1）第1道一圈的总长度是多少米？（2）第3道弯道半径是多少米？（π取3.14，结果保留两位小数） 【分析】跑道一圈 = 两条直道 + 两个半圆（= 一个整圆）。第3道在第1道外面隔了2条跑道，半径增加 2×1.2=2.4m。 【解答】解： （1）第1道一圈 = 2×87 + 2×3.14×36.5 = 174 + 229.42 = 403.42（m） （2）第3道弯道半径 = 36.5 + 2×1.2 = 36.5 + 2.4 = 38.9（m） 答：第1道一圈约403.42m，第3道弯道半径为38.9m。 【点评】注意第n道与第1道之间隔了(n-1)条跑道，半径增加(n-1)×跑道宽。 2. 学校运动会的跑道由两条长50m的直道和两个半圆弯道组成，弯道半径为15m。小明沿着最内圈跑了3圈，他一共跑了多少米？（π取3.14） 【分析】先算一圈的长度：两条直道 + 一个整圆的周长 = 2×50 + 2×π×15，再乘以3。 【解答】解： 一圈长度 = 2×50 + 2×3.14×15 = 100 + 94.2 = 194.2（m） 3圈总长度 = 194.2 × 3 = 582.6（m） 答：小明一共跑了582.6m。 【点评】跑道一圈 = 直道×2 + 圆的周长，不要遗漏直道部分。 3. 400m比赛中，跑道宽1.25m。如果比赛只跑一个弯道（200m比赛跑两个弯道），那么相邻跑道的起跑线相差多少米？（π取3.14，结果保留两位小数） 【分析】一个弯道的长度是半圆弧长 = πr。相邻跑道半径差1.25m，一个弯道相差 π×1.25。 【解答】解： 一个弯道为半圆弧，相邻跑道一个弯道之差 = π × (r+1.25) - π × r = π × 1.25 = 3.14 × 1.25 = 3.925 ≈ 3.93（m） 答：如果只跑一个弯道，相邻跑道起跑线相差约3.93m。 【点评】200m比赛跑一个弯道，起跑线差距是400m比赛的一半，因为400m跑两个弯道。 考点2：循环赛与淘汰赛场次计算 【例2】学校举行足球比赛，六年级有6个班参加。（1）如果采用单循环赛制（每两个班之间都要赛一场），一共需要多少场比赛？（2）如果采用淘汰赛制（每场比赛淘汰一个班），一共需要多少场比赛？ 【分析】（1）循环赛：6个班单循环，总场次 = n×(n-1)/2 = 6×5/2。（2）淘汰赛：每场淘汰一个班，6个班需淘汰5个才能决出冠军，所以总场次 = n-1 = 5。 【解答】解： （1）循环赛场次 = 6 × 5 ÷ 2 = 15（场） 理解：每班要和其他5个班各赛一场，6个班共 6×5=30 场，但每场被两队各算一次，所以除以2。 （2）淘汰赛场次 = 6 - 1 = 5（场） 理解：每场淘汰1个班，要淘汰5个班才决出冠军，所以需要5场。 答：循环赛需要15场，淘汰赛需要5场。 【点评】循环赛用 n×(n-1)/2，别忘了除以2！淘汰赛用 n-1，这是两个不同的公式。 配套练习： 1. 乒乓球小组有8名同学进行单循环赛（每两人之间赛一场），一共要赛多少场？ 【分析】8名同学单循环，代入公式 n×(n-1)/2，其中 n=8。 【解答】解： 场次 = 8 × 7 ÷ 2 = 56 ÷ 2 = 28（场） 答：一共要赛28场。 【点评】循环赛公式 n×(n-1)/2，n=8 代入计算，注意不要忘记除以2。 2. 学校篮球比赛有10个队参加，采用淘汰赛制。请问：（1）一共要进行多少场比赛？（2）要决出冠军，需要淘汰几个队？ 【分析】淘汰赛总场次 = n-1。每场比赛淘汰一个队，要决出冠军需淘汰 n-1 个队。 【解答】解： （1）总场次 = 10 - 1 = 9（场） （2）需淘汰 10 - 1 = 9（个队） 答：一共要进行9场比赛，需要淘汰9个队。 【点评】淘汰赛中，每场比赛恰好淘汰一个队，所以场次 = 淘汰数 = n-1。 3. 六年级4个班进行足球单循环赛。甲班已经赛了3场，乙班已经赛了2场，丙班已经赛了1场。请问丁班已经赛了几场？ 【分析】4个班单循环共 4×3/2=6 场。甲赛了3场说明甲和乙、丙、丁各赛了1场。丙只赛了1场（就是和甲那场），所以丙没和乙、丁赛过。乙赛了2场，其中1场是和甲赛的，另1场只能和丁赛（因为丙没和乙赛）。所以丁赛了：和甲1场、和乙1场，共2场。 【解答】解： 甲赛了3场 → 甲与乙、丙、丁各赛1场 丙赛了1场 → 丙只和甲赛过，没和乙、丁赛过 乙赛了2场 → 其中1场对甲，另1场不能对丙（丙只和甲赛过）→ 只能对丁 所以丁和甲赛了1场、和乙赛了1场 = 共2场 验证：甲3场、乙2场、丙1场、丁2场，合计 3+2+1+2=8 = 6场×2 ✓ 答：丁班已经赛了2场。 【点评】这类题需要用排除法逐步推理，关键是找到信息最多的入手点（甲赛了3场）。 考点3：体育场地的面积与周长计算 【例3】一块标准足球场长105m、宽68m。（1）足球场的面积是多少平方米？（2）足球场周长是多少米？（3）足球场的长与宽的比是多少？化为最简整数比。 【分析】足球场是长方形，面积 = 长 × 宽，周长 = 2×(长+宽)，长宽比 = 长:宽，再化简为最简整数比。 【解答】解： （1）面积 = 105 × 68 = 7140（m²） （2）周长 = 2 × (105 + 68) = 2 × 173 = 346（m） （3）长:宽 = 105:68 105和68的最大公因数是1（互质），所以最简整数比为105:68 答：足球场面积为7140m²，周长为346m，长宽最简比为105:68。 【点评】本题考查长方形面积、周长和比的化简。105和68互质，比值已经是最简。 配套练习： 1. 标准篮球场长28m、宽15m。请计算：（1）篮球场的面积；（2）篮球场的周长；（3）篮球场的长是宽的多少倍？（结果保留一位小数） 【分析】篮球场是长方形，用面积公式和周长公式计算。长是宽的倍数 = 长 ÷ 宽。 【解答】解： （1）面积 = 28 × 15 = 420（m²） （2）周长 = 2 × (28 + 15) = 2 × 43 = 86（m） （3）28 ÷ 15 ≈ 1.87 ≈ 1.9（倍） 答：篮球场面积420m²，周长86m，长约为宽的1.9倍。 【点评】体育场地常用长方形，熟练掌握面积和周长公式。 2. 铅球投掷区是一个扇形，已知扇形的半径为25m，圆心角约为35°。请计算投掷区扇形的弧长约为多少米？（π取3.14，结果保留一位小数） 【分析】扇形弧长 = 圆周长 × (圆心角/360°) = 2πr × (圆心角/360)。 【解答】解： 弧长 = 2 × 3.14 × 25 × (35/360) = 157 × 35/360 = 5495/360 ≈ 15.3（m） 答：投掷区扇形的弧长约为15.3m。 【点评】扇形弧长 = 整圆周长 × (圆心角÷360°)，注意圆心角要除以360。 3. 某学校要建一个长方形游泳池，长50m、宽25m。如果在游泳池四周铺设宽2m的防滑地砖，求防滑地砖的面积。 【分析】防滑地砖在游泳池四周，形成一个更大的长方形（长50+2×2=54m，宽25+2×2=29m），地砖面积 = 大长方形面积 - 游泳池面积。 【解答】解： 大长方形长 = 50 + 2×2 = 54（m） 大长方形宽 = 25 + 2×2 = 29（m） 大长方形面积 = 54 × 29 = 1566（m²） 游泳池面积 = 50 × 25 = 1250（m²） 地砖面积 = 1566 - 1250 = 316（m²） 答：防滑地砖的面积为316m²。 【点评】四周铺设问题，外圈长和宽各增加2倍的铺设宽度，用大面积减小面积。 考点4：比赛计分、积分与平均速度 【例4】某足球联赛有甲、乙、丙三支球队，积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。各队比赛情况如下：甲队赛4场，胜3场平1场；乙队赛4场，胜2场平1场负1场；丙队赛4场，胜1场平0场负3场。（1）各队积分分别是多少？（2）请按积分从高到低排名。 【分析】按积分规则，甲队积分 = 3×3 + 1×1 = 10分，乙队积分 = 2×3 + 1×1 = 7分，丙队积分 = 1×3 + 0×0 = 3分。按积分排名即可。 【解答】解： （1）甲队积分 = 3×3 + 1×1 = 9 + 1 = 10（分） 乙队积分 = 2×3 + 1×1 = 6 + 1 = 7（分） 丙队积分 = 1×3 + 0×0 = 3（分） （2）排名：甲队10分 > 乙队7分 > 丙队3分 答：甲队10分排第1，乙队7分排第2，丙队3分排第3。 【点评】积分计算：胜场×3 + 平场×1 + 负场×0。积分高者排名靠前。 配套练习： 1. 小明参加200m跑步比赛，前100m用了16秒，后100m用了14秒。（1）小明前100m的平均速度是多少米/秒？（2）小明跑完全程的平均速度是多少米/秒？（结果保留两位小数） 【分析】前段速度 = 路程÷时间。全程平均速度 = 总路程÷总时间，不是两段速度的平均值！ 【解答】解： （1）前100m平均速度 = 100 ÷ 16 = 6.25（m/s） （2）全程平均速度 = 200 ÷ (16+14) = 200 ÷ 30 ≈ 6.67（m/s） 注意：如果错误地取速度平均值 = (6.25+100/14)/2 = (6.25+7.14)/2 ≈ 6.70，这是错误的！ 答：前100m平均速度6.25m/s，全程平均速度约6.67m/s。 【点评】平均速度 = 总路程÷总时间，绝对不能把各段速度直接求平均！ 2. 某篮球联赛中，A队赛了5场，胜3场负2场；B队赛了5场，胜2场平1场负2场；C队赛了5场，胜3场平0场负2场。（篮球比赛中胜得2分，负得1分，没有平局。）请排出三队的名次。 【分析】篮球积分：胜得2分，负得1分。A队 = 3×2+2×1=8分，B队 = 2×2+1×1+2×... 注意题目说没有平局但B队有平1场，需要审题。重新理解：篮球胜2分负1分，B队胜2平1负2不合理（篮球无平局），这里按题意计算：B积分=2×2+1×1=5分（负场不计分，或负场0分）。 【解答】解： A队积分 = 3×2 + 2×1 = 6+2 = 8（分） B队：胜2场得2×2=4分，负2场得2×1=2分，平1场按题意不计（篮球无平局，此数据按胜2负2处理） 更正理解：按题意 B胜2平1负2，胜得2分负得1分，B积分 = 2×2 + 2×1 = 4+2 = 6（分）（平场不计分） C队积分 = 3×2 + 2×1 = 6+2 = 8（分） A和C都是8分，题目未给净胜球信息，按积分排：A和C并列第1，B第3 答：A队8分、C队8分并列第1，B队6分排第3。 【点评】注意不同运动积分规则不同，足球胜3平1负0，篮球胜2负1，审题要仔细。 3. 在一次体育测试中，小刚50m跑用了7.5秒，小强50m跑用了8.0秒。（1）小刚的平均速度是多少m/s？（结果保留一位小数）（2）小强的平均速度是多少m/s？（结果保留一位小数）（3）小刚每秒比小强多跑多少米？（结果保留两位小数） 【分析】平均速度 = 路程÷时间。两人速度差 = 小刚速度 - 小强速度。 【解答】解： （1）小刚平均速度 = 50 ÷ 7.5 ≈ 6.7（m/s） （2）小强平均速度 = 50 ÷ 8.0 = 6.25 ≈ 6.3（m/s） （3）速度差 = 6.67 - 6.25 = 0.42（m/s） （用精确值计算：50/7.5 - 50/8 = 6.667 - 6.25 = 0.42） 答：小刚约6.7m/s，小强约6.3m/s，小刚每秒比小强多跑约0.42m。 【点评】速度差要用精确值计算再保留，避免先取近似值再相减导致误差。 考点5：体育数据统计（命中率、胜率与平均数） 【例5】篮球队进行投篮训练，甲队员投了40次，命中28次；乙队员投了50次，命中30次。（1）甲的投篮命中率是多少？（2）乙的投篮命中率是多少？（3）谁的命中率更高？ 【分析】命中率 = 命中次数 ÷ 投篮总次数 × 100%。分别计算两人命中率后比较。 【解答】解： （1）甲的命中率 = 28 ÷ 40 × 100% = 0.7 × 100% = 70% （2）乙的命中率 = 30 ÷ 50 × 100% = 0.6 × 100% = 60% （3）70% > 60%，甲的命中率更高。 答：甲的命中率为70%，乙的命中率为60%，甲的命中率更高。 【点评】命中率 = 命中次数÷总次数×100%。注意不能只看命中次数，投篮总数不同时要用百分比比较。 配套练习： 1. 射击训练中，小明打了20发子弹，命中18发；小华打了25发子弹，命中20发。谁的射击命中率更高？ 【分析】分别计算两人命中率再比较。命中率 = 命中数÷总射击数×100%。 【解答】解： 小明命中率 = 18 ÷ 20 × 100% = 90% 小华命中率 = 20 ÷ 25 × 100% = 80% 90% > 80%，小明命中率更高。 答：小明的命中率（90%）更高。 【点评】命中数多不代表命中率高，必须用命中率（百分比）来比较才公平。 2. 一支足球队上半年共进行了12场比赛，其中胜7场、平3场、负2场。（1）这支球队的胜率是多少？（结果化为百分数，保留一位小数）（2）负场占总场数的百分之几？（3）如果下半年胜率达到60%，且下半年也是12场比赛，那么下半年至少要胜几场？ 【分析】胜率 = 胜场÷总场数×100%。下半年要达到60%，即 12×60% = 7.2，向上取整为8场。 【解答】解： （1）胜率 = 7 ÷ 12 × 100% ≈ 58.3% （2）负场占比 = 2 ÷ 12 × 100% ≈ 16.7% （3）下半年至少胜：12 × 60% = 7.2，至少8场（因为7场胜率为58.3%