第13讲《积的变化规律》（四年级核心考点）暑假衔接学案-人教版三升四数学（2026新教材适配）

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基础层（全员掌握）
1.熟记两条基础积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘/除以几（0除外），积也乘/除以几。
2.能根据已知算式，直接写出变式算式得数，不笔算。
3.区分“乘几”“除以几”两种基础变化题型。
提升层（中等生突破）
1.攻克易错点：忘记0除外、两个乘数同时变化、变化倍数混淆颠倒。
2.掌握两个乘数同时扩大/缩小的综合变化规律。
3.结合三位数乘两位数，利用规律简化口算、估算，解决简单应用题。
拓展层（优等生拔高）
1.逆向推理：已知积的变化，反推乘数变化倍数。
2.规律综合变式：一个乘数乘a，另一个除以b，求最终积。
3.结合总价、路程情境，用积的变化规律快速对比两组数据。
二、知识清单（四上核心重难点）
1.规律1（单一乘数变化）
两数相乘，一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。
例：12×5=60 → 12×10=120（乘数×2，积×2）
2.规律2（两个乘数同时变化）
①一个乘数×a，另一个×b，积×(a×b)；
②一个乘数×a，另一个÷b，积×a÷b；
3.关键限制条件
乘、除数字不能为0，0不能作除数；乘数缩小必须能整除，无余数。
4.应用技巧
计算大数乘法时，可先缩小乘数算出简单积，再按规律还原。
5.易错警示
①忽略“0除外”限制；
②两个乘数同时变化时，倍数直接加减而非相乘；
③逆向推导时乘数与积变化倍数搞反。
三、基础闯关（单一乘数变化、直接写得数）
1. 根据36×12=432，直接写结果
36×24= 36×6= 72×12= 18×12=
2. 填空基础
（1）两个数相乘，一个乘数不变，另一个乘数乘5，积（）。
（2）A×B=240，A不变，B除以4，积变为（）。
3. 判断
（1）一个乘数乘0，积不变。（）
（2）25×8=200，25×16=400（）
4. 简单口算应用
已知14×3=42，求14×300=？写出规律思路。
四、提升闯关（双乘数变化、易错判断、情境题）
1. 根据28×15=420，直接写得数
56×30= 14×45= 84×5=
2. 判断说理
（1）一个乘数乘3，另一个乘数乘2，积乘5。（）理由：
（2）一个乘数除以2，另一个乘数乘2，积不变。（）
3. 购物情境题
每箱苹果135元，买8箱总价1080元。如果箱数扩大4倍，单价不变，总价变为多少？
4. 简便计算
利用规律口算：480×25（提示：480÷4=120，25×4=100）
五、拓展闯关（逆向推理、混合倍数变化、综合对比）
1.逆向推理：A×B=360，积变成1080，乘数A不变，乘数B怎么变化？
2.混合倍数计算：已知16×25=400，求(16×5)×(25÷5)=？；(16×2)×(25×3)=？
3.综合行程对比
汽车速度120千米/时，行驶14小时，路程1680千米。若速度乘2，时间除以2，路程是多少？说明规律。
六、新知抢先（2026四上单元衔接）
1.积的变化规律全程贯穿三位数乘两位数、路程总价计算，是简便计算核心工具；
2.后续除法商的变化规律与本知识点逻辑对应，可类比学习；
3.预习思考题：已知45×18=810，90×54等于多少？
七、分层当堂训练
基础必做题（全员完成）
1.根据24×15=360，直接写：24×30、12×15
2.填空：M×N=150，M不变，N×6，积=（）
3.判断：一个乘数除以3，积也除以3（前提另一个乘数不变）（）
提升选做题（中等生选做）
1.根据32×18=576，直接算64×36、16×54
2.应用题：一本书单价48元，买15本720元，数量扩大3倍，总价多少？
3.判断：乘数都乘2，积乘2（）说理
拓展挑战题（优等生挑战）
1.逆向：a×b=480，积缩小到原来一半，a不变，b如何变化？
2.综合：已知25×32=800，求(25×4)×(32÷8)的结果
八、自我评价
□ 单一乘数变化规律熟练，可直接快速写得数，无颠倒错误
□ 掌握两个乘数同时扩大缩小的综合变化，应用题能快速简化计算
□ 会逆向推导乘数变化，复杂混合倍数题型分步分析不出错
错题整理：_________________________________________
薄弱知识点：_______________________________________
参考答案
三、基础闯关
1.864、216、864、216
2.（1）乘5 （2）60
3.（1）×，积变为0 （2）√
2.3扩大100倍，积42×100=4200
四、提升闯关
1.1680、630、420
2.（1）×，积乘3×2=6 （2）√，一乘一除相同倍数积不变
2.1080×4=4320（元）
3.120×100=12000
五、拓展闯关
1.1080÷360=3，乘数B乘3
2.400；2400
3.路程不变，还是1680千米；一个乘数×2，一个÷2，积不变
六、新知抢先思考
90=45×2，54=18×3，积810×2×3=4860
七、分层当堂训练答案
基础必做
1.720、180
2.900
3.√
提升选做
4.64×36=2304；16×54=864
5.720×3=2160（元）
6.×，积乘2×2=4
拓展挑战
7.b除以2
8.4×8=32倍变化，800×4÷8=400