【e精卷】系列：2026_2027学年度北师大版第一学期初中九年级数学科目期中重点题型培优原创信息卷（含答案解析）

这是一份【e精卷】系列：2026_2027学年度北师大版第一学期初中九年级数学科目期中重点题型培优原创信息卷（含答案解析）试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（ ）
A．3B．6C．12D．25
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求面积
【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，，，
∴．
2．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．6B．9C．10D．25
【答案】B
【知识点】位似图形相关概念辨析
【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
其中，，，
∴，
化简得，
解得．
4．某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【详解】解：由题意可得，.
5．关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断根的情况
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程，可得，，，
，
又无论取任意实数，都有，
，即，
该方程有两个不相等的实数根．
6．下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④B．①③C．①②④D．②③④
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的定义、利用两角对应相等判定相似
【详解】解：①所有等边三角形的内角都为，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，因此所有等边三角形都相似，①正确；
②等腰三角形两底角相等，若两个等腰三角形有一个底角相等，则两个三角形的底角都对应相等，顶角也相等，三个内角对应相等，因此两个三角形相似，②正确；
③若相等的角一个是等腰三角形的顶角，另一个是等腰三角形的底角，则两个三角形的内角不对应相等，不一定相似，③错误；
④两个直角三角形都有一个直角，且都有一个角，因此两个三角形有两个角对应相等，两个三角形相似，④正确．
7．下列说法正确的是（ ）
A．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【知识点】等边对等角、正方形的判定定理理解、利用平移的性质求解、利用两角对应相等判定相似
【详解】解：如图，已知是的边上的中线，且．
∵，
∴，
同理，
∵，
即，
∴，即．
∴是直角三角形．
因此A正确；
若一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形的底角，两个三角形内角不对应相等，不相似，因此B错误；
平移后两组对应点的连线平行或在同一直线上，不是一定平行，因此C错误；
对角线垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直且相等的四边形不一定是正方形，因此D错误．
8．如图①，点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动，点运动到点时，停止运动．图②是点运动时，的面积（）随时间（s）变化的关系图象，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．8
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、从函数的图象获取信息、根据矩形的性质求线段长
【分析】设，，点运动的时间为，的面积为，分点P在上和点P在上两种情况，结合勾股定理，求解即可．
【详解】解：矩形，
，
设，，
点运动的时间为，的面积为，
当点P在上时，，，
根据图象，得时，点P在上，且当时，，此时点P恰好运动到了点D的位置上，故，
，
解得，
故；
当点P在上时，根据图象，得点P运动时间，
故，
根据勾股定理，得，
故，
解得．
9．如果关于的方程有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集、三角形三边关系的应用
【分析】原方程已有一个根，方程有三个根要求二次式对应的一元二次方程有两个实根，则，再结合三角形三边关系列出不等式求解的范围即可．
【详解】解：由方程，可得一个根，
∵方程有三个根，
∴有两个实根，
∴，
解得，
设一元二次方程的两个根为，
∴，，
∵三角形边长为正数，，
∴，
∵三个根可作为三角形三边，，已满足两边之和大于第三边，
∴，
∴，
∴，
代入，得，，
解得，
综上所述，的取值范围为．
10．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割
【分析】根据垂直平分线的性质即可判断①正确，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可计算得出，即②正确，通过证明，得到对应线段成比例，进行等量代换后得到点是线段的黄金分割点，继而得到，即③正确，根据，得出，即可判断④错误．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是线段的黄金分割点且，
∴，
∴，故③正确；
∵且，
∴，故④错误．
故选：．
二、填空题
11．已知方程的一个根是1，则_____．
【答案】
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解: 因为是方程的根，
将代入方程得：，
整理得，
移项得．
12．是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________．
【答案】或/或
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解．
【详解】解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为，
已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，
有，，
或者，，
∴点的坐标为或．
13．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________．
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：由作法可知，，
，
，
，
．
14．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果．
【详解】解：∵对于实数，定义新运算：，
∴，
∴，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
15．如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、圆的基本概念辨析
【分析】过点作交于点，先证，根据全等三角形的性质结合已知条件，得到，在中，运用勾股定理，求得；取的中点，过点作交于点，连接，由可知点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接，由，可得当点与点重合时，有最小值，最小值为的长，然后运用勾股定理求出和的长，最后求得的长．
【详解】如图1，过点作交于点．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，，
，，
．
在和中，
，
，
，
在中，；
如图2，取的中点，过点作交于点，连接．
，
，
点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接，
，
当点与点重合时，有最小值，最小值为的长．
点为的中点，，
，
，，
．
四边形是正方形，
，
，
，
在中，．
在中，，
的半径为，
，
，
即的最小值为．
三、解答题
16．解方程：．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
17．解方程：
【答案】
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
，或，
解得：， ．
18．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
即，且，
∴且．
19．某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率．
【答案】这两日定制量的日平均增长率是
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：

解得：，（不合题意舍去）
答：这两日定制量的日平均增长率是．
20．已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根：
(2)若方程的一个根比另一个根大3，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题．
（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解；
（2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解．
【详解】（1）证明：，
因为，所以，
所以方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得，
整理，得或，
∵方程的一个根比另一个根大3，∴或，
∴或．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)该方程的另一个根为2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键．
（1）判断即可证明；
（2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根．
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为m，则，
解得，
故该方程的另一个根为2．
22．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)6
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积
【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解；
（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】（1）解：菱形ABCD的周长为24，
，
又∠BAD＝60°，
是等边三角形，
，
故对角线BD的长为6；
（2）解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，
，，
又，
，
，
菱形ABCD的面积，
故菱形ABCD的面积是．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
∴，
，
四边形是菱形；
(2)24
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形；
（2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，，
，
，，
四边形的面积．
24．如图1所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，，）
(1)直接写出的度数；
(2)求醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径的长度；（结果保留一位小数）
(3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查平行线的性质，解直角三角形，勾股定理，
（1）延长至H，根据平行线的性质得，即可求解．
（2）过点B作于点Q，连接，根据题意得到四边形是矩形，得出，得到，再根据解直角三角形计算即可；
（3）过点B作直线，分别交于点E，F，过点A作直线，交于点D，连接，根据题意得到四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据矩形的性质得到，再利用解直角三角形得到，最后用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图：延长至H，

由题意可得：，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，过点B作于点Q，连接．
依题意，，
四边形是矩形，
即
（3）解：如图，过点B作直线，分别交于点E，F，过点A作直线，交于点D，连接．
由题意得，
∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，
，
．
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
即“采青”路径AC的长度约为．
25．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和．
(1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标；
(2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出．
【答案】(1)
如图所示，点D即为边的中点，
点D的坐标为．
(2)
如图所示，即为所求作的三角形．
【知识点】在坐标系中画位似图形、中点坐标
【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键．
（1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可；
（2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可．
【详解】（1）略
（2）略
26．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍．
(1)求、两款水杯的售价分别是多少元？
(2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？
【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元
(2)A款水杯降低了6元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，
根据题意，可列出方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
B款水杯的售价为（元），
∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元．
（2）解：B款水杯的进价为（元），
九月份A款水杯销量为（只），
九月份B款水杯销量为（只），
设A款水杯降低了元，
根据题意，可列出方程：，
解得，，
因为是降价促销，所以不符合题意，舍去，
∴A款水杯降低了6元．
27．阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键：
（1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得：，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上：或；
（2）∵方程有两个实根，，
∴，
∴，
解得：或，
当，方程化为：，
∴，满足条件；
当，方程化为：，此时，舍去；
故；
（3）∵方程有两个实根，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）或（舍去），
当时，原方程化为：，
此时，满足题意，
∴．
28．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班 李明
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小．
【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
（1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．
（2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
（3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值．
【模型迁移】
（4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值．
【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为
【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可；
（2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
（3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可；
（4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可．
【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M，
∴米，
在中，米，米，
（米），
∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米；
（2）问题2：如图，连接，
设与交于点P，
∵四边形是正方形，
∴点B与D关于对称，
∴，
∴最小．
即P在与的交点上时，最小，为的长度．
∵中，，，，
∴．
故答案为：．
（3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求：
利用对称的性质得到，则，的值最小；
A点关于x轴对称的点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴P点坐标为；
的最小值；
（4）问题4．过A作，交于P，连接，
此时线段最小，且，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
设，则，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴，
∴线段的最小值是．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．