新高考数学二轮复习提升讲与练专题02数列 第1讲 等差、等比数列（2份，原卷版+解析版）

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第1讲 等差、等比数列
一、考点透析
考点1 等差(比)数列的基本运算
1．（2025·全国二卷·真题）记为等差数列的前n项和，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.
故选：B.
2.(2025·安徽省芜湖市·模拟题)若等比数列an的第3项和第5项分别为48和12，则an的首项a1=( )
A. −192B. 192C. ±192D. −193
【答案】B
【详解】由a3=48，a5=12，得a1q2=48a1q4=12，得q2=14，所以a1=48q2=48×4=192．
故选：B．
3．（2025·全国二卷·真题多选题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
考点2 等差(比)数列的性质及应用
1.(2025·四川省成都市·期中)已知an为等差数列，an前n项和为Sn，a1+a4+a7=1，S5=5，则a6=( )
A. −1B. −13C. 12D. 3
【答案】A
【解析】解：因为 S5=5 ，
所以 5(a1+a5)2=5a3=5 ，
所以 a3=1 ，
又因为 a1+a4+a7=1 ，
即 3a4=1 ，解得 a4=13 ，
所以等差数列的公差 d=a4−a3=−23 ，
所以 a6=a3+3d=1−2=−1 ．
故选：A．
2.(2025·湖北省武汉市·联考)已知等差数列{an}的公差d≠0，若a2，a5，a9构成等比数列，则a2a1= ．
【答案】98
【解析】解：据题意得a2=a1+d，a5=a1+4d，a9=a1+8d，
因为a2，a5，a9构成等比数列，所以a52=a2⋅a9，
得：(a1+4d)2=(a1+d)(a1+8d)，则a12+8a1d+16d2=a12+9a1d+8d2，可得a1=8d，
所以a2a1=a1+da1=1+18=98，
故答案为98．
3.(2025·河南省·期中)一个等差数列共有2n+1项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第n+1项为( )
A. 31B. 30C. 29D. 28
【答案】C
【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：a1+a3+⋯+a2n+1=(n+1)an+1=319a2+a4+⋯+a2n=nan+1=290,
所以an+1=(n+1)an+1−nan+1=319−290=29．
故选：C．
4．（2025·全国一卷·真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
故答案为：.
5.(2025·江西省九江市·模拟)九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是( )
A. 736公里B. 724公里C. 692公里D. 660公里
【答案】C
【解析】解：记第一周跑步量为a1=2，
由题意，则S4=2+4+8+16=30，
所以前4周的跑步量为等比数列，
所以a5=16×2=32,则a10=32+5×2=42,a11=42+2=44，
故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则(32+42)×62=222，
第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，
所以小宝同学跑步的总量是30+222+440=692公里．
故选：C．
考点3 等差、等比数列的判断与证明
1.(2025·河南省·联考)已知{an}为非常数数列，则“{2an}为等比数列”是“{an}为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】解：因为{an}为非常数数列，
若{2an}为等比数列，则2an+12an=2an+1−an=q(q≠1)为常数，
所以an+1−an为非零常数，所以数列{an}为等差数列，充分性成立;
若{an}为等差数列，则an+1−an=d(d≠0)为常数，
所以2an+12an=2an+1−an=2d(2d≠1)为常数，所以2an为等比数列，必要性成立;
所以“{2an}为等比数列”是“{an}为等差数列”的充要条件．
故选C．
2.(2025·江苏省·模拟)正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点A1，B1，C1，D1作第二个正方形A1B1C1D1，然后再取正方形A1B1C1D1各边中点A2，B2，C2，D2作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为( )
A. 2−1212B. 2(1−1210)C. 2−1211D. 2(1−1211)
【答案】D
【解析】解：第一个正方形的边长为1，面积S1=12=1，
取各边中点作第二个正方形时，原正方形各边中点连线形成的新正方形边长为原正方形边长的 22(由勾股定理计算可得)，
因此第二个正方形的面积S2= 222=12，
同理，第三个正方形的面积S3=12×S2=14，
以此类推，各正方形面积构成首项a1=1，公比q=12的等比数列，
前11个正方形的面积和为等比数列前11项和，根据等比数列求和公式
S11=1×1−(12)111−12=2(1−1211)．
故选：D．
3.(2025·湖北省武汉市·模拟)数列{an}满足an+1an=4an−4，下列说法正确的是( )
A. {an}可能为常数列B. 数列{1an−2}是等差数列
C. 若a1=3，则n=1101an−2=652D. 数列{1an}可能为公差不为0的等差数列
【答案】ABC
【解析】解：对于A，令an+1=an=a，
由an+1an=4an−4，可得a2=4a−4，解得a=2，
所以{an}可能为常数列，A正确；
对于B，当a1=2时，
由an+1an=4an−4，得an(an+1−2)=2(an−2)，
则a2=2,a3=2,a4=2,⋯,an=2，
此时1an−2无意义，
an+1an=4an−4中，若an=0，则0=−4，矛盾，故an≠0，
当a1≠2时，则an+1=4−4an，则1an+1−2=14−4an−2=12−4an=an2an−4=1an−2+12，
数列{1an−2}是公差为12的等差数列，B正确；
对于C，a1=3，由选项B得等差数列{1an−2}的首项为1a1−2=1，公差为12，
1an−2=1+12(n−1)=n+12，其中1a10−2=10+12=112，
则由等差数列求和公式得i=1101ai−2=10×(1+112)2=652，C正确；
对于D，若数列{1an}为公差不为0的等差数列，由B知，an≠0，
由an+1an=4an−4，得an+1=4−4an，
则1an+1−1an=14−4an−1an=an2−4an+44an(an−1)不会是非零常数，D错误．
故选：ABC．
4．（2025·全国一卷·真题）设数列满足，
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
二、跟踪练习
1．（2025·北京·真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
2.(2025·山东省菏泽市·模拟)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4=4a3−4a2，则S4a1+a2=( )
A. 5B. 9C. −9D. −5
【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
由a4=4a3−4a2，可得a2q2=4a2q−4a2，
因为a2≠0，所以(q−2)2=0，所以q=2，
所以S4a1+a2=a1+2a1+4a1+8a1a1+2a1=15a13a1=5．
故选A．
3.(2025·福建省厦门市·期中)已知首项为正数的等差数列an的前n项和为Sn，若(S15−S11)(S15−S12)