新高考数学二轮复习核心专题讲练第1讲 等差（等比）数列（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
突破二：等差（等比）中项
突破三：等差（等比）数列下标和性质
突破四：等差（等比）数列的单调性
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
突破六：等差（等比）数列片段和性质
突破七：两个等差数列前项和比的问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
2、等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
3、等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
4、等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
5、等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
6、等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
7、等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
8、等比数列前项和的性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时,
当是奇数时,
(3)
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
1．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022·山东省莒南第一中学高三期中）“数列为等比数列”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知等比数列满足，，则（ ）
A．数列是等差等列B．数列是等差数列
C．数列是递减数列D．数列是递增数列
4．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2022·全国·高三专题练习）数列中，“，”是“是公比为2的等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列是（ ）
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
突破二：等差（等比）中项
1．（2022·广西河池·模拟预测（文））已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知正项等比数列满足，若是和的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山西·高三期中）已知数列是等差数列，且．若是和的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且，若，，成等比数列，则______．
5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知，若是与的等比中项，则的最小值为__________．
6．（2022·天津河东·高二期末）设各项均为正数的等差数列的前n（）项和为，，且是与的等比中项，则数列的公差d为______．
突破三：等差（等比）数列下标和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足（，），则_____．
2．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.
3．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则___________.
4．（2022·福建省福州第八中学高三阶段练习）在正项等比数列中，若，则______．
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，则___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列中，，是方程的两根，则的值为___________.
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则___________.
突破四：等差（等比）数列的单调性
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列中，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，则使成立的最大自然数的值为（ ）
A．9B．10
C．18D．19
4．（2022·安徽·高三开学考试）设正项等比数列的前项乘积为， 已知，则的（ ）
A．最大值为 32B．最大值为 1024
C．最小值为D．最小值为
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10B．20C．30D．40
4．（2020·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3B．4C．7D．9
突破六：等差（等比）数列片段和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．B．13C．-13D．-18
2．（2022·全国·高二课时练习）等差数列中其前n项和为, 则为．
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列的前n项和为，则= .
5．（2022·四川南充·三模（理））若等比数列的前项和为，且，，则_____．
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则________.
7．（2022·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）已知为等比数列的前n项和，若，，则_____________.
8．（2022·全国·高二课时练习）一个等比数列的前项和为10，前项和为30，则前项和为_____________.
9．（2022·全国·高二课时练习）已知数列是等比数列，其前项和为.若，，则___________.
突破七：两个等差数列前项和比的问题
1．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列的前n项和分别为，则的公差为___________.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
3．（2022·天津·南开中学高二期末）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.
4．（2022·上海·高二课时练习）已知两个等差数列和的前项和的比，则它们相应的第项的比______．
5．（2022·四川·达州市第一中学校高一阶段练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.
6．（2022·全国·高二课时练习）等差数列，的前项和分别为，，且，则______.
7．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知 、 分别是等差数列 、 的前 项的和，且.则 ______.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知是各项不全为零的等差数列，前n项和是，且，若，则正整数m＝（ ）
A．2020B．2019C．2018D．2017
3．（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1B．2C．3D．2022
4．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知正项等比数列满足（其中），则的最小值为（ ）．
A．6B．16C．D．2
5．（2022·全国·模拟预测）已知，，是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最大值为D．
7．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10B．12C．32D．33
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．，使得
D．，都有
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列D．的最小值为0，最大值为20
11．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列B．
C．是数列中的最大项D．
12．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）设公比为的等比数列的前项和为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．数列：，，，成等比数列
B．当时，数列是等比数列
C．是等比数列
D．是等比数列
三、填空题
13．（2022·河南开封·一模（文））在数列中，，.记是数列的前项和，则______.
14．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列中，，，已知，则___________.
15．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设等比数列满足，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和___________.
16．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））由正数组成的等比数列中，若，则__________．