新高考数学二轮复习专题三 数列第一讲 等差（等比）数列 (2份打包，原卷版+解析版）

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第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
突破二：等差（等比）中项
突破三：等差（等比）数列下标和性质
突破四：等差（等比）数列的单调性
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
突破六：等差（等比）数列片段和性质
突破七：两个等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和比的问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、等差中项
由三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项.这三个数满足关系式 SKIPIF 1 < 0 .
2、等差数列的单调性
①当 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列
②当 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列
③当 SKIPIF 1 < 0 ，等差数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列
3、等差数列的四种判断方法
(1)定义法 SKIPIF 1 < 0 （或者 SKIPIF 1 < 0 ）( SKIPIF 1 < 0 是常数) SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
(2)等差中项法： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
(3)通项公式： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数) SKIPIF 1 < 0 是等差数列．（ SKIPIF 1 < 0 可以看做关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数）
(4)前 SKIPIF 1 < 0 项和公式： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数) SKIPIF 1 < 0 是等差数列．( SKIPIF 1 < 0 可以看做关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，但是不含常数项 SKIPIF 1 < 0 ）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
4、等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和性质
(1)若数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列,则数列 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列,且公差为 SKIPIF 1 < 0
(2)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和,则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,…组成公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
(3)在等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，它们的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别记为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
(4)若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的项数为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
(5)若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的项数为 SKIPIF 1 < 0 ,则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
5、等比中项
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项．即： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项⇔ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列⇔ SKIPIF 1 < 0 .
6、等比数列的单调性
已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0
1、当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列；
2、当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为递减数列；
3、当 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列（ SKIPIF 1 < 0 ）
4、当 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列 SKIPIF 1 < 0 为摆动数列.
7、等比数列的判断（证明）
1、定义： SKIPIF 1 < 0 （或者 SKIPIF 1 < 0 ）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证 SKIPIF 1 < 0 （特别注意 SKIPIF 1 < 0 ）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于 SKIPIF 1 < 0 的指数型函数（只可判断）
8、等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的性质
公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ,关于 SKIPIF 1 < 0 的性质常考的有以下四类:
(1)数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,…组成公比为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的等比数列
(2)当 SKIPIF 1 < 0 是偶数时, SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 是奇数时, SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
第二部分：重难点题型突破
突破一：判断（证明）等差（等比）数列
1．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
但 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不为等比数列，故数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列，
故“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”推不出“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”，
若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
故“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”可推出“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”，
故“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（2022·山东省莒南第一中学高三期中）“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设其公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 也为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
反之，若数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，例如 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
满足数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，但推不出“数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列”（ SKIPIF 1 < 0 正负随取构不成等比数列）.
所以，“数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差等列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列
【答案】B
【详解】解：因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故数列 SKIPIF 1 < 0 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确；
由A知： SKIPIF 1 < 0 。故数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故C错误；
由B知： SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，故D错误；
故选：B
4．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等比数列．
反之不成立， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设公比为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，只有 SKIPIF 1 < 0 时才能成立满足 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（2022·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 中，“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：若 SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列，则一定有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不一定为等比数列，例如当 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但此时该数列不是等比数列.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件.
故选：B
6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列是（ ）
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】C
【详解】当n=1时，a1=S1=a-1;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).
当a-1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a≠1时，该数列为等比数列.
故选:C
突破二：等差（等比）中项
1．（2022·广西河池·模拟预测（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
故选：A
2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
故选：A.
3．（2022·山西·高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或-1（舍），
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
故选：A．
4．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设a，b，c的公差为d，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．（2022·天津河东·高二期末）设各项均为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n（ SKIPIF 1 < 0 ）项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差d为______．
【答案】1
【详解】设各项均为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
经检验满足题意.
故答案为：1.
突破三：等差（等比）数列下标和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】55
【详解】由题意知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设公差为d， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：55
3．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 为公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】13122
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，所以 SKIPIF 1 < 0
所以公比 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故答案为：13122
4．（2022·福建省福州第八中学高三阶段练习）在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2
5．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题设知： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由等比数列的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 .
在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由等差数列的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
突破四：等差（等比）数列的单调性
1．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 记 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】C
【详解】解：依题意可得公差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 无最大项，数列 SKIPIF 1 < 0 有最小项 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为1的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项的积为 SKIPIF 1 < 0 ，并且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大自然数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．9B．10
C．18D．19
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 一个大于 SKIPIF 1 < 0 ，另一个小于 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 大于 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 其中一个大于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 都大于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 均大于 SKIPIF 1 < 0 ，与题意矛盾.
故 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，于是此时 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，而 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 时都有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 是满足 SKIPIF 1 < 0 成立的最大自然数 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·安徽·高三开学考试）设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项乘积为 SKIPIF 1 < 0 ， 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．最大值为 32B．最大值为 1024
C．最小值为 SKIPIF 1 < 0 D．最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且等比数列各项为正，所以 SKIPIF 1 < 0
即等比数列是递减数列，且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为32.
故选:A.
突破五：等差（等比）数列奇偶项和
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
【答案】B
【详解】奇数项共有 SKIPIF 1 < 0 项，其和为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
偶数项共有n项，其和为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，若数列 SKIPIF 1 < 0 中奇数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项的和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公差 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10B．20C．30D．40
【答案】B
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，项数为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即这个数列的项数为20，故选择B.
4．（2020·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ,所有偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,又它的首项为1，所以通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
中间两项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以项数为8，故选B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为 SKIPIF 1 < 0 ，项数是偶数，其奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则这个数列的项数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设这个等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
等比数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此，这个等比数列的项数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6．（2022·全国·高二课时练习）等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，其中 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项和为84，奇数项和为170，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．4C．7D．9
【答案】A
【详解】因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，所以等比数列中偶数项有 SKIPIF 1 < 0 项，奇数项有 SKIPIF 1 < 0 项，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以偶数项和为 SKIPIF 1 < 0 ，奇数项和为 SKIPIF 1 < 0 ，相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：A
突破六：等差（等比）数列片段和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．13C．-13D．-18
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可设 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 为等差数列，∴S3，S6 SKIPIF 1 < 0 S3，S9 SKIPIF 1 < 0 S6为等差数列，
即a， SKIPIF 1 < 0 6a， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故选:D.
2．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 为．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和性质可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
本题正确选项： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = .
【答案】16
【详解】由等差数列性质知： SKIPIF 1 < 0 也成等差，
所以 SKIPIF 1 < 0 成等差，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ,故答案为16.
5．（2022·四川南充·三模（理））若等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】511
【详解】因为等比数列中 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：511
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·广东·潮州市湘桥区南春中学高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________.
【答案】30
【详解】 SKIPIF 1 < 0 由等比数列的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成首项为10，公比为1 的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0
8．（2022·全国·高二课时练习）一个等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和为10，前 SKIPIF 1 < 0 项和为30，则前 SKIPIF 1 < 0 项和为_____________.
【答案】70
【详解】试题分析：由题意得 SKIPIF 1 < 0
9．（2022·全国·高二课时练习）已知数列是等比数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】
【详解】解：因为等比数列等长连续片段的和为等比数列，因此设前10项的和为20,那么依次得到40,80,160,这样可知前30项的和为140，那么比值即为140:2=7
突破七：两个等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和比的问题
1．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为___________.
【答案】8
【详解】 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的公差为8.
故答案为：8.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为正项等比数列， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （常数），
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，同理可知，数列 SKIPIF 1 < 0 也为等差数列，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·天津·南开中学高二期末）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对任意自然数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由等差数列的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ．
对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·上海·高二课时练习）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和的比 SKIPIF 1 < 0 ，则它们相应的第 SKIPIF 1 < 0 项的比 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由等差数列的求和公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·四川·达州市第一中学校高一阶段练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·全国·高二课时练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
故答案为 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是等差数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和，且 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】
【详解】试题分析：由等差数列性质可知 SKIPIF 1 < 0
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为递增的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 有最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 是各项不全为零的等差数列，前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则正整数m＝（ ）
A．2020B．2019C．2018D．2017
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
3．（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．2022
【答案】A
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：A.
4．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）．
A．6B．16C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【详解】解：因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由等比数列的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2．
故选：D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由等比中项定义知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号），
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ．则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不合乎题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
这与已知条件矛盾，所以 SKIPIF 1 < 0 不符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为各项为正的递减数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 无最大值，故C错误；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项，故B正确.
故选：B.
7．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设公比为q（显然 SKIPIF 1 < 0 ），
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 递增且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
8．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．10B．12C．32D．33
【答案】B
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C错误，D正确.
故选：ABD.
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项之和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为等差数列B．若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则公差为2
C． SKIPIF 1 < 0 可能为等比数列D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，最大值为20
【答案】CD
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 此时为等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；故A错误；B错误；C正确；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；故D正确.
故选：CD.
11．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为递减数列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 异号，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 同号，且一个大于1，一个小于1.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.
对于A：公比 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 为递减数列.故A正确；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故B错误；
对于C：等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项.故C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故D错误.
故选：AC
12．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）设公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．数列： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
【答案】BD
【详解】解：A选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，但 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 就不能构成等比数列，故A错误；
B选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为常数，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，故B正确；
C选项中，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不能构成等比数列，故C错误；
D选项中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为常数，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2022·河南开封·一模（文））在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 中奇数项和偶数项都是以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中在区间 SKIPIF 1 < 0 中的项的个数，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前50项和 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】114
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中在区间 SKIPIF 1 < 0 中的项的个数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为：114.
16．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））由正数组成的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知，数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由等比中项性质可知： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .