新高考数学二轮复习提升讲与练专题01第2讲 三角函数的图象与性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题01第2讲 三角函数的图象与性质（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考点透析，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
第2讲 三角函数的图象与性质
一、考点透析
考点1 三角函数的值域、最值
1．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ．
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．
(1)求;
(2)设函数，求的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间.
【详解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
3．（2025·山西·三模）已知．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)设，若函数和在有相同的最大值，求的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为，，
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，利用和整体代换法计算即可求解；
（2）根据正弦函数的图象与性质求出在上的最大值，进而得在上的最大值，建立关于的方程，得，即可求解.
【详解】（1），
所以函数的最小正周期为．
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，．
（2）当，得，
所以在上的最大值为，
则在上的最大值也是．
由，，得，，
因为，所以，，
又，所以或．
综上,的取值范围为.
考点2 三角函数的图象与解析式
1．（多选题2025·重庆·三模）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递增
D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数
【答案】AC
【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D.
【详解】对于A，由得，由得，
由得，故，
化简得，
由图可知该函数的周期，故，解得，
所以，故A正确；
对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误；
对于C，由，可得，
由，得函数在上单调递增，故C正确；
对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误.
故选：AC.
2．已知函数），如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________.
【答案】
【详解】设，，由可得.
由可知，或，，则由题图可知，
，即，所以，
所以.
因为，所以，，即，，
所以，，
所以或.
又因为，所以，所以.
3.函数y＝2tanx1－tan2x的最小正周期为 .
【答案】π
【详解】y＝2tanx1－tan2x＝tan 2x，x≠kπ±π4且x≠kπ＋π2，k∈Z，每π个单位长度的区间上，函数图象要去掉一个点（π2＋kπ，0），函数图象是每两个π2个单位长度的区间上，重复出现一次完全相同的图象，所以周期是π.
考点3 三角函数的性质及应用
1．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：；（答案不唯一）
2．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，
即，
又，则时最小，最小值是，
即.
故选：B
3．（2025·江苏苏州·三模）设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据零点个数得到的取值范围，再根据各个的值得出零点个数判断各个选项即可判断.
【详解】当时，
因为在内恰有3个零点，，即存在有3个不同的解使得，
当时，，所以满足的值有，符合题意；
当时，，所以满足的值有，符合题意；
当时，，所以满足的值有，不符合题意；
当时，，所以满足的值有，符合题意；
故选：C
4.（2023·全国乙）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（π6，2π3）上单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－5π12）＝（ ）
A.－32B.－12
C.12D.32
【详解】D 由函数f（x）在区间（π6，2π3）上单调递增，且直线x＝π6和x＝2π3是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得2πω＝2（2π3－π6），解得ω＝2，则f（π6）＝sin（π3＋φ）＝－1，所以φ＝－π2＋2kπ－π3＝－5π6＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－5π6＋2kπ），k∈Z，则f（－5π12）＝sin（－5π3＋2kπ）＝sin（－5π3）＝32.故选D.
二、跟踪练习
1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】设的最小正周期为，根据题意有，，
由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
2．（多选题2025·内蒙古赤峰·三模）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．为偶函数B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称D．在上的最大值为2
【答案】BC
【分析】求出变换之后的解析式，依次判断选项可得结果.
【详解】由
则，
所以，
，
所以函数定义域为，
令，则，
所以为奇函数，故A错误.
的最小正周期为，B正确.
由，
得的图象关于点对称，C正确.
令，
由，得，
又在单调递增，
所以 时，取得最大值，
则在上的最大值为，D错误
故选：BC
3．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦函数的性质求出结果.
【详解】（1）,
令，
解得：，
所以的单调递减区间为
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到，
则，
因为，所以，
所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点，
结合正弦函数的图象：

可得当或，即或，
即或，或时，与只有一个交点，
所以实数的取值范围为